Tangenten 4/09: Skriving i matematikkfaget

Visste du at den nye formeleditoren i Word støtter direkte innskriving i LaTeX (det klassiske "programmeringsspråket" for å skrive matematikk? Jeg visste faktisk ikke det, til tross for at jeg bruker Word daglig og er en gammel tilhenger av LaTeX (jeg skrev for eksempel hovedoppgaven min i LaTeX). For alle som vil skrive matematikk raskt og enkelt på datamaskin, bør nok litt LaTeX læres.

Øistein Gjøvik og Anders Sanne har en artikkel om dette i Tangenten 4/09. Artikkelen ligger også på nett. Der går de også inn på hvordan man kan bruke GeoGebra som "dynamisk hjelpefigur" (altså ikke kun til å lage figurene etter at man har tenkt ferdig om hvordan den skal lages).

Det er artig når artikler kan fortelle deg noe nytt om noe du trodde du kunne...

xkcd: Numbers

xkcd er en flott "vitsetegning"-side som ofte kommer innom matematikk. Her er grafer og Google brukt til å gi overraskende innsikter:



(Advarsel fra xkcd: this comic occasionally contains strong language (which may be unsuitable for children), unusual humor (which may be unsuitable for adults), and advanced mathematics (which may be unsuitable for liberal-arts majors).)

Tegningen er CC-lisens.

Ikke så late likevel?

Min kollega Geir Martinussen og jeg hadde tidligere denne uka et debattinnlegg i Aftenposten med tittelen ”Ikke så late likevel”. På basis av noen undersøkelser vi har gjort blant lærerstudenter ved HiO setter vi spørsmålstegn ved om bildet av lærerstudentene som late, slappe og uengasjerte er for negativt.

Våre resultater så langt vil bli lagt fram i mer detalj ved konferansen ”FoU i praksis” i Trondheim i mai.

Tangenten 4/09: Elektroniske tavler

Trude Fosse har i Tangenten 4/09 en artikkel om potensialet elektroniske tavler har i matematikkundervisningen.

Elektroniske tavler (ev. interaktive tavler - interactive whiteboards) har ganske raskt fått en veldig sterk posisjon i norske klasserom. Jeg besøker stadig skoler hvor mange eller alle klasserommene har slike. Og ofte møter jeg lærere som ikke kan huske å ha bedt om dette og som ikke vet helt hvordan de kan brukes.

Fosse går gjennom mange av arbeidsformene. Interaktive tavler kan naturligvis brukes akkurat som ei vanlig tavle - til å skrive på. Og man kan lagre det man har skrevet og legge det på klassens LMS (læringsmiljøsystem) hvor elevene kan se nærmere på det senere. Tavlene har også mange innebygde aktiviteter og spill, man kan ha terninger og spill oppe på tavla. Man kan tegne en stor figur når den skal ha oppmerksomheten, og så kan man raskt forminske den og ha den stående i et hjørne av tavla til påminnelse resten av timen. Man kan bruke regneark og geometriprogrammer (som GeoGebra).

Sommeren 2008 var jeg på ICME, den store internasjonale matematikkundervisningskonferansen (The International Congress on Mathematical Education). Jeg deltok blant annet i ei gruppe som snakket om interaktive tavler. Disse forskerne mente at det var en spesielt iøynefallende fordel med interaktive tavler: man kan la elevene holde på med konkretiseringsmateriell, og når man skal oppsummere, kan man ha bilder av det samme materiellet på den interaktive tavla. Slik kan elevene vise hva de har gjort for hele klassa på en enkel måte (uten at læreren trenger å ha et eget "tavlesett" av konkretene). Slik kan altså arbeid med tangram, med tellebrikker, tibasemateriell, spikerbrett og så videre oppsummeres.

Akkurat dette: å kunne oppsummere og diskutere elevenes aktiviteter på en bedre måte enn det man tidligere har klart, vil kunne bli det viktigste bidraget interaktive tavler gir. Hvis man får det til.

Osloelevene er flinke

Det snakkes mye om at mange skoler og klasser i Oslo har stor andel elever med svake norskkunnskaper. Det er jo et faktum som skaper utfordringer. Men ikke større utfordringer enn at Osloskolen er blant Norges beste. Denne gang er det karakterene VG har sett på, men nasjonale prøver viser liknende tendens. Man bruker uttrykk som "gettoskoler" om de (mest) multispråklige skolene i Oslo, men glemmer at skoleresultatene er svakere mange andre steder i landet.

Slike tall forteller ikke hele sannheten. Det finnes helt sikkert mange som vil prøve å nyansere bildet i forskjellige retninger. Men for meg virker en ting tydelig: Oslos skolepolitikere, rektorer og lærere har ikke latt høyere andel elever uten norsk som førstespråk bli en sovepute. De har ikke lent seg tilbake og tenkt at de kan skylde på det hvis resultatene blir dårlige. Når Astrid Søgnen blir spurt om framtida, sier hun ikke at "dette blir vanskelig - uff, her vil vi måtte få dårligere resultater". Nei, hun sier "Som skolesjef forholder jeg meg til elevene jeg har nå. Det er disse elevene vi skal utrette store ting og legge et godt løp for".

Det er godt å se gode resultater i skolen. Og så får bare vi lærerutdannere utdanne enda dyktigere lærere som kan utrette store ting ute i skolen for de elevene som er der i framtida.

Skikkethetsvurdering i lærerutdanningen

Det er godt at politikere interesserer seg for lærerutdanning. Mette Hanekamhaug er en slik. I bloggen sin skriver hun stadig om skole og lærere. I et innlegg nettopp skrev hun følgende:
"Lærerutdanningen må også ha en skikkethetsvurdering. Jeg kjenner ikke til noen høyskoler med lærerutdanning som har dette. Jeg har spurt flere, hvorpå svaret ofte lyder at; vi foretar jo evalueringer av dette underveis. Men ingen har klare regler, målinger eller rutiner for hvordan en persons skikkethet for yrket vurderes, og hva en eventuelt skal gjøre når hvor dette åpenbart ikke er tilfelle. Disse personene skal ha ansvaret for undervisningen av våre barn – da skal det også stilles klare krav til de som skal utføre denne jobben."

Det er overraskende at hun ikke kjenner til noen høyskoler med lærerutdanning som bedriver skikkethetsvurdering, for det skal absolutt alle drive med. Skikkethetsvurderingen foregår på flere måter. En del av skikkethetsvurderingen er den faglige, og den foregår blant annet ved hjelp av eksamener. At studentene må bestå praksis er også en del av vurderingen av skikketheten. I tillegg har man det som blir kalt "særskilt skikkethetsvurdering". Dette innebærer at man skal melde fra til høyskolens skikkethetsansvarlige dersom man er i tvil om en student er skikket til å bli lærer. En slik tvilsmelding følges opp av den skikkethetsansvarlige, og kan føre til ekstra veiledning og så videre, men kan også føre til utestengning fra studiet.

Det er ikke mange som stenges ute fra studiet på denne måten hvert år. Det innebærer likevel ikke at den særskilte skikkethetsvurderingen ikke fungerer. "Mørketallene" er store, idet det er mange studenter som avbryter studiene når de finner ut at de ikke er egnet til å bli lærere - ofte etter samtale med faglærere på høyskolen, men lenge før saken har nådd skikkethetsnemnd. Disse havner naturligvis ikke i statistikken, siden de avslutter studiet uten å erklære at "jeg slutter fordi jeg føler at jeg ikke er skikket".

Skikkethetsvurdering er lovpålagt og noe høyskolene tar alvorlig. Det skulle da også bare mangle - det er jo et av våre viktigste yrker det er snakk om.

Man må tenke litt på pi i dag...

VG minner om at det i dag er den internasjonale pi-dagen.

Det er naturligvis alltid gode grunner til å tenke litt på pi, men vi kan godt utnytte denne muligheten litt ekstra... Ikke alle har for eksempel tenkt over hvorfor vi har bare én pi. Vi vet jo at pi er forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel, og også at pi er forholdet mellom arealet av en sirkel og kvadratet på radien i sirkelen. (O = 2 pi r og A = pi r^2) Men det er ikke i utgangspunktet opplagt at disse to forholdene skal være like.

Et utgangspunkt for et bevis for dette kan man se her:


Ha en fin pi-dag!

Alle kan uttale seg ved HiO

"Alle kan uttale seg er en overskrift på HiO-nytt nå. Det er HiOs rektor, Sissel Østberg, som klargjør at HiOs tilsatte naturligvis har rett til å uttrykke seg offentlig, også om forhold ved Høgskolen i Oslo.

Man vet at man har kommet dårlig ut i starten av en sak når man må rykke ut for å påpeke noe så selvfølgelig. Men likevel er det greit at det blir slått fast. En høyskole er ikke en privat bedrift hvor lojaliteten først og fremst er til bedriftens image utad. En høyskole forvalter et mandat fra samfunnet og store midler fra statskassa, og derfor må også et tema som tiltakende byråkratisering (og dermed tilhørende sløsing med ressurser, i dette tilfellet arbeidstid) være til konstant debatt også i offentligheten. Ikke minst er det viktig hvis byråkratiseringen til dels er påpresset ovenfra, fra overordnede myndigheter.

PS: se Olav Torvunds utmerkede blogginnlegg Akademisk frihet og varsomhet, byråkratisering og Nedkvitnesaken. Se også Knut Olav Åmås' kommentar i Aftenposten.

Tangenten 4/09: Bevisets stilling

I en kort artikkel i Tangenten 4/09 viser Christoph Kirfel et alternativt bevis for visse kvadratrøtters irrasjonalitet.

Mange matematikklærere synes nok at elevene bør bli kjent med noen beviser, og beviset for at kvadratroten av 2 er irrasjonal er ikke en helt urimelig kandidat. Imidlertid bygger beviset på aritmetikkens fundamentalsetning, noe som gjør det litt tungt. Kirfel viser et bevis for at kvadratroten av 3 er irrasjonal som ikke krever noe sånt. Uheldigvis krever det ørlitegranne regning med kvadratrøtter, men likevel kan det være et fint alternativ. Ideen i beviset er enkel: fra en brøk a/b som antas å være lik kvadratroten av 3 og ha minimal nevner, konstrueres en ny brøk som viser seg å ha mindre nevner.

Ikke dumt...

Mye forholdisme i det nye planverket

Språkteigen er et kjekt program, og i fjor hadde de et program om arbeid med enklere språk i staten. "Hun observerer at kansellispråket er på vei ut, men at vi i stedet har fått lange, innvikla setninger med moteord som 'fokus', 'perspektiv' og 'i forhold til'", sto det i programomtalen da Margrethe Kvarenes i Språkrådet var gjest.

Nysgjerrig som jeg er, har jeg sett på hvordan de nye nasjonale retningslinjene for de nye grunnskolelærerutdanningene klarer seg. Jeg fant 9 treff på "fokus", 37 treff på "perspektiv" og 14 treff på "i forhold til" i retningslinjene for 1-7-utdanningen - et dokument på 76 sider. Her er treffene på "i forhold til" i 1-7-utdanningen:

• "Retningslinjene er utfyllende i forhold til forskriften og skal være førende for institusjonenes programplaner."
  
• "Lærere må kunne tilpasse opplæringen i forhold til mangfoldet i elevgruppen."
  
• "Gjennom utdanningen skal det tilrettelegges for progresjon i forhold til forventet læringsutbytte tidlig i studiet."
  
• "Studenten kan vurdere skolen i forhold til samfunnsmandatet."
  
• "Studenten kan anvende fagkunnskap didaktisk og reflektert i forhold til gjeldende læreplan for grunnskolen og kritisk vurdere egen undervisning."
  
• "Studenten kan reflektere over egen læring og praksis i forhold til etiske grunnverdier og skolens ansvar for barn og unges personlige vekst."
  
• "Studenten har forståelse for betydningen av læringsfremmende vurdering, også sett i forhold til utvikling av de grunnleggende ferdighetene på barnetrinnet."
  
• "Studenten kan kritisk vurdere egen faglige praksis i forhold til gjeldende læreplan i engelsk for grunnskolen og gjennomføre et utviklingsorientert og praksisrettet fordypingsprosjekt."
  
• "Studenten kan reflektere over egen læring og praksis i forhold til etiske grunnverdier og skolens ansvar for barn og unges personlige vekst i et historisk perspektiv"
  
• "Studenten skal få erfaring med varierte arbeidsmetoder og ulike materialer som gir læringsutbytte i forhold til kravene i gjeldende læreplan for 1. – 7. trinn i grunnskolen."
  
• "Gjennom studiet skal studenten videreutvikle egen praktisk ferdighet i faget og få erfaring med et utvalg av materialer og arbeidsmåter som gir læringsutbytte i forhold til læreplan for grunnskolen med særlig vekt på barnetrinnet."
  
• "Studenten kan være en god rollemodell for elevene i forhold til ulike kulturelle og sosiale måltidskontekster."
  
• "Faget skal vise at naturvitenskapelige og teknologiske vurderinger gjøres i forhold til etiske verdier og idealer."
  
• "Studenten kan kritisk vurdere egen faglige praksis i forhold til gjeldende læreplan i samfunnsfag i grunnskolen."
  

Ikke alle disse er like ille. Men når det for eksempel sies at "Studenten kan være en god rollemodell for elevene i forhold til ulike kulturelle og sosiale måltidskontekster", betyr det da at studenten skal være en bedre rollemodell for elevene enn ulike kulturelle og sosiale måltidskontekster? Eller har man kommet i skade for å bruke "i forhold til" der man burde ha brukt "relatert til" eller rett og slett "i"?

Et "perspektiv"-eksempel til slutt: "I emnet arbeider ein vidare med dei åtte fagemna, samstundes som ein går nærare inn i nokre av dei og/eller arbeider med dei i eit særskilt perspektiv." Hva er forskjellen på å gå nærmere inn på noen av dem og å arbeide med dem "i et særskilt perspektiv"?

Nyord: læringsutbyttebeskrivelser

I dag har vi fagplaner for de enkelte fagene i lærerutdanningen som blant annet inneholder mål for læringen i faget. Disse målene sier altså noe om hva man ønsker at studentene skal lære i faget, og det må antas at hvis en student består faget, har han oppnådd tilfredsstillende oppnåelse av disse målene.

I de nye planene som skrives i disse dager skal det ikke være gammeldagse mål. Derimot skal det være læringsutbyttebeskrivelser. Disse læringsutbyttebeskrivelsene skal altså ikke være mål, men derimot en beskrivelse av det læringsutbyttet studentene har når de har bestått kurset. Mens et mål kan skrives som "Studenten skal danne kunnskap om..." kan læringsutbyttebeskrivelser formuleres som "Studenten har kunnskap om..."

Noen vil si at mål og læringsutbyttebeskrivelser har mye til felles. En ting de ihvertfall ikke har til felles, er lengden. Mål er på tre bokstaver enten det er i entall eller flertall, mens læringsutbyttebeskrivelse(r) har 25-26 tegn hvis jeg teller riktig. Hvilket fagområde kan i dagligtale omgi seg med ord på 26 tegn? Mitt tips: ingen. (Jeg tipper at selv høyesterettsjustitiarius, et mye kortere ord, omtales som noe annet når han ikke er til stede.) Dermed blir det til at læringsutbyttebeskrivelsene i dagligtale blir forkortet til "LUBer" - eventuelt "mål".

Men for all del, ikke tro at jeg mener at innføringen av LUBer vil være noe alvorlig hinder for en god lærerutdanning. Det er ikke formen på målene/LUBene som vil avgjøre kvaliteten på framtidig lærerutdanning, det er innholdet og hvordan innholdet så implementeres, gjennom pensum, arbeidsmetoder og ikke minst vurderingsordninger. Dessuten er nok overgangen fra mål til LUBer nyttig for å hindre at vi kopierer ordrett fra tidligere planer (uansett hvor godt de må ha fungert)...

Hva er det beste og det verste med å være lærer?

I min "private" blogg tar jeg opp spørsmålet om hva som er det beste og det verste med å være lærer. Det er sikkert også lesere av denne bloggen som har innspill på det - hopp gjerne over dit og kommenter!

Mange varianter av lærerutdanning

Nå er det snart slutt på allmennlærerutdanningen - fra høsten er det grunnskolelærerutdanninger som gjelder. Studentene må søke seg inn på enten 1-7-utdanningen (altså utdanning for barnetrinnet) eller 5-10-utdanning (altså utdanning for mellom- og ungdomstrinnet). Men i tillegg må de allerede når de søker tenke fag, og hvilke fagvalg de har varierer fra høyskole til høyskole.

I 1-7-utdanningen er matematikk (30sp), norsk (30sp) og P&E (pedagogikk og elevkunnskap, 60sp) obligatorisk. I 5-10-utdanningen er kun P&E (60sp) obligatorisk. Dermed blir det mange valg.

Min arbeidsgiver, HiO, tilbyr 1-7-utdanning hvor man det første året gjør ferdig mye av de obligatoriske fagene i utdanningen, og hvor fagvalgene først dukker opp fra andre år. Her skal det tilbys en stor vifte med fag. HiO tilbyr også 5-10-utdanning, hvor man det første året må velge enten matematikk, norsk eller engelsk. Senere i studiet skal man ha mye å velge blant.

Her er de andre variantene jeg klarer å lese meg til i søkerhåndboka fra Samordna Opptak og ved noen raske søk. Jeg har spesielt prøvd å finne ut hva som tilbys av fag på 5-10-utdanningen rundt omkring:

1-7:

• HiB: grunnskolelærer eller "grunnskolelærer med musikk"
  
• HBO: campusbasert eller nett- og samlingsbasert
  
• HiBu: med RLE
  
• HIF: språkfag, samlingsbasert
  
• HiHm: campusbasert eller nett- og samlingsbasert
  
• HiNe: konsentrerte undervisningsperioder. Alle må ha engelsk.
  
• HiNT: lite info på nettsiden
  
• HiSF: heltids- og deltids. Velger kroppsøving, engelsk eller samfunnsfag 1. år (i tillegg til norsk og P&E) i heltidsutdanningen.
  
• HSH: kan velge mellom naturfag, kunst og håndverk eller samfunnsfag i tillegg til de obligatoriske de to første år.
  
• HiST: en generell variant og en med vekt på realfag. I den generelle kan man velge mellom engelsk, kunst og håndverk, kroppsøving, naturfag og musikk i tillegg til de obligatoriske. I realfagsvarianten må man ha naturfag.
  
• HiT: ordinært eller nettbasert deltid. Oppgir et knippe med valgfag.
  
• HVE: ordinær eller traineemodell. Alle må ha 60 sp norsk.
  
• HVO: må velge mellom engelsk, samfunnsfag og kunst og håndverk i tillegg til de obligatoriske de første tre årene.
  
• HiØ: uklart hvilke valgfag de har.
  
• NLA: valgfag førte to år: RLE, naturfag, musikk og kroppsøving.
  
• UiA: ordinær eller naturfaglig. I den naturfaglige må man velge naturfag. "Bredt tilbud av skolefag" for øvrig.
  
• UiS: kan velge mellom drama, kunst og håndverk, kroppsøving, naturfag, RLE, engelsk i tillegg til de obligatoriske.
  
• UiT: femårig. Må ha 140 sp profesjonsfag og ex. phil i tillegg til matematikk og norsk. Velger i tillegg to av følgende fag: engelsk, kroppsøving, kunst og håndverk, mat og helse, musikk, naturfag, RLE og samfunnsfag.
  

5-10:

• HiB: må velge musikk, kunst/håndverk, mat og helse, matematikk, musikk, norsk eller samfunnsfag første år. Skal i tillegg ha et valgfag til 1. år.
  
• HBO: campusbasert eller nett- og samlingsbasert, uklart hvilke fag
  
• HiBu: tre linjer: realfag (matematikk), samfunnsfag eller språkfag (norsk).
  
• HiF: samlingsbasert. Uklart hvilke fag.
  
• HiHm: Norsk eller matematikk 1. år.
  
• HiNe: konsentrerte undervisningsperioder. Alle må ha 60sp norsk. Valg mellom Musikk/Naturfag/Samfunnsfag 2. år.
  
• HiNT: uklart hvilke fag som kan velges.
  
• HiSF: Første år må man ha kroppsøving.
  
• HSH: Må velge norsk eller matematikk første år. Kan velge naturfag, samfunnsfag eller kunst og håndverk i tillegg.
  
• HiST: en generell variant og en med vekt på realfag. I den generelle kan man velge mellom norsk og matematikk. I tillegg et av fagene naturfag, engelsk, samfunnsfag eller RLE. I realfagsvarianten må man ha matematikk og naturfag.
  
• HiT: Må velge norsk eller naturfag 1. år, samfunnsfag, matematikk, engelsk eller kunst og håndverk 2. og 3. år.
  
• HVE: Alle må ha matematikk eller norsk. Må også velge enten naturfag, samfunnsfag eller RLE.
  
• HVO: må velge to av fagene norsk, matematikk, samfunnsfag og engelsk.
  
• HiØ: må velge mellom norsk, naturfag, engelsk eller kroppsøving og idrett det første året.
  
• NLA: matematikk eller norsk 1. år. Må også velge et av fagene naturfag, RLE eller samfunnsfag.
  
• UiA: uklart hvilke fag man kan velge.
  
• UiS: Ramser opp en liste med fag, men uklart hvilke fag man kan velge mellom når.
  
• UiT: femårig. Må ha profesjonsfag (70 studiepoeng) og ex. phil. Må velge et av fagene engelsk, kunst og håndverk, matematikk, musikk, norsk eller samfunnsfag 1. år.
  

Med forbehold om feil.

Som ventet er dette blitt et villniss, hvor det ikke kan være helt enkelt for potensielle studenter å orientere seg. Detaljer om hvilke fag man kan velge gjennom studiet er tidvis vanskelig tilgjengelig, og de ulike utdanningsinstitusjonene har svært ulike undervisningsopplegg. Fordelen med det er imidlertid at det blir mye erfaringsutvikling og påfølgende erfaringsutveksling når vi bare har fått litt erfaring med de ulike modellene rundt om...

Det er dessuten litt kinkig for studentene at man en del steder velger fag først ved studiestart, og ikke på forhånd er garantert hvilke fag som faktisk vil bli satt i gang. Det blir en spennende høst.

Tangenten 4/09: Modellering, måling og meningsfull matematikk

Kyrre Johannesen: Modellering, måling og meningsfull matematikk. Tangenten 4/2009.

Modellering er et viktig stikkord når det gjelder å forklare hvorfor matematikk er et så sentralt kunnskapsområde. Men eksemplene på modellering som presenteres er ikke alltid overbevisende. Selv har jeg for eksempel vært med på å trille kuler ned en bakke og forsøkt å finne sammenhengen mellom hvor høyt oppe i bakken de startet og hvor lang tid de tok. Jeg har også sett at man holder på med å slippe Barbiedukker ned i strikkhopp. Begge deler unektelig morsomme aktiviteter, men det skal en del fantasi til for å overbevise elevene om at dette er matnyttig. (Og er det noe modellering jo nettopp er i den virkelige verden, er det matnyttig.)

Kyrre Johannesens artikkel viser derimot et slående nyttig eksempel: i kornlagre blir kornet gjerne liggende i kjegleaktige hauger, rett og slett fordi kornet fylles på fra et hull i taket. Det er nødvendig for de som eier kornet å kunne finne ut hvor mye korn de har - der det ligger. Det enkleste de kan måle er avstanden fra hullet i taket til toppen av haugen. Finnes det en formel?

Dette kan naturligvis testes i klasserommet og en god del matematikk kan trekkes inn. Elevene kan gjette hvordan sammenhengen er og prøve seg fram. Og de vet hele tiden at den matematikken de holder på med faktisk brukes ute i samfunnet.

Min eneste bekymring er at det fort blir relativt mye søl hvis ei klasse skal holde på med å lage sukkerkjegler i klasserommet. (Nei, det er ikke gøy å plukke sukkerkorn fra gulvet...) Kanskje man heller skulle legge denne timen til ei lokal sandkasse?

I samme nummer av Tangenten har Ragnhild Hansen en artikkel med tittelen "Modellering og kritisk demokratisk kompetanse".