En blogg om lærerutdanning i matematikk i Norge?

Jeg har jo i en del år vært redaktør for HPM Newsletter, og nylig gikk vi "på nett" og fikk en egen wordpress-basert hjemmeside. Nyhetsbrevet og hjemmesiden er et viktig "lim" i HPM-gruppa, med informasjon om hva som skjer - konferanser, nye bøke og så videre. Det bringer også smånotiser om matematikkhistorie og så videre.

En stund har jeg lurt på om matematikklærerutdanningsmiljøet i Norge burde hatt noe liknende - altså et felles nettsted hvor det legges informasjon om konferanser, om nye bøker og artikler, om forskningsprosjekter som settes i gang (eller avsluttes) her og der, om undervisningen og så videre. Én idé kunne rett og slett være å opprette en blogg (a la HPM Newsletter-sida) hvor slikt kunne legges. I en slik blogg kan interesserte fra hele lærerutdannings-Norge få skrivetilgang hvis de vil, og vi kan oppdatere hverandre om ting som foregår.

Jeg har laget et lite utkast om hvordan en slik nettside kan se ut: Lærerutdanning i matematikk. Det er ikke noe spesielt med denne, blant annet er layoutmulighetene noe begrensede siden det er en gratis bloggplattform som ligger bak. Men det er enkelt og greit, og kan være et supplement til diskusjonene som foregår på "notodden-lista" (ei god, gammeldags mailingliste som de fleste som underviser matematikk i lærerutdanning i Norge er med på). I tillegg vil en blogg være mer åpen for resten av verden.

Altså: hvis noen synes dette er en god idé, er det bare å slenge seg på!

Lærerstudenters holdninger til matematikkfaget

Sammen med kollegene Geir Martinussen, Helga Kufaas Tellefsen og Elisabeta Eriksen hadde jeg et innlegg i Dagsavisen denne uka. Innlegget handlet om lærerstudenters holdninger til matematikkfaget, og bygger på en undersøkelse som ble presentert på konferansen "FoU i praksis" i april.

Konferanse for lærerutdannere i matematikk dag 4

Morten Blomhøj var den internasjonale gjesten på denne konferansen. Hans tema var "Modellering i almendannende matematikundervisning". Blomhøj ser på modellering både som et mål i undervisningen og et middel for læreren. Modellering er sterkt framme i læreplanene og har fått en større plass i matematikkdidaktikken de siste årene. Modelleringskompetanse er viktig for samfunnet - både det å kunne lage modeller og være kritisk til andres modeller. Modellering er også et middel, for det kobler matematikken til elevenes erfaringer og gir innhold til begrepene. I Primas-prosjektet (EU) er inquiry-begrepet sentralt, og det knyttes til modellering.

Blomhøj bruker trinnene problemformulering, systematisering, matematisering, matematisk analyse, fortolkning og evaluering og validering til å beskrive modelleringsprosessen. Hans eksempel i forelesningen var medisinering mot astma, hvor elevene skal planleggene medisineringen, som er praktisk gjennomførbar og holder mengde astmamedisin i blodet innenfor et passende intervall. Styring av elevene skjedde gjennom rammene og gjennom dialogen med elevene. Prosjektet var realistisk, bortsett fra at tallene var justert slik at elevene ville oppdage den eksponentiale sammenhengen raskt.

Blomhøj (og Hoff Kjeldsen) skiller mellom interne og eksterne refleksjoner - refleksjoner om modellen og refleksjoner om de samfunnsmessige konsekvenser. Han viste et eksempel på en modell for biltrafikk i Roskilde, hvor parametre man valgte i modellen var avgjørende for om EU-direktivet om analyse av miljøkonsekvenser ble gjeldende eller ikke. Hvordan man lager modellen kan derfor ha store konsekvenser for de som bor i området.

I diskusjonen etterpå var Torgeir Onstad og Morten Blomhøj skjønt enige i at modellering i skolen og ikke minst på eksamen ofte banaliseres slik at modellene oppgis, elevene skal regne ut noen data, av og til koble resultatene tilbake til konteksten og sjelden være kritisk til modellen.det ble pekt på det vanlige høna-og-egget problemet om at ting ikke kan gis på eksamen uten at det er undervist, og at det ikke undervises uten at det gis på eksamen. Marit Johnsen-Høines kommenterte at det er viktig at vi utvikler kritisk kompetanse også ovenfor modeller hvor matematikken går over hodet på oss. Morten mente at det å selv arbeide med modeller og se de samfunnsmessige konsekvensene av valgene man gjør i modellen, kan gi en beredskap når man møter andre modeller. For meg ble dette foredraget en tankevekker - jeg tror at jeg for ofte har arbeidet med modellering av fysiske fenomener (for eksempel av en situasjon hvor kuler ruller nedover en bakke) og i altfor liten grad har trukket inn modeller med samfunnsmessig/politisk betydning.

Den siste økta handlet om GLU og hvordan ståa er rundt omkring. Gry Annette Tuset fra Stord snakket om utfordringene der. De har ca 50 studenter på GLU (pr. år), fordelt på cirka 20 på 1-7 og 30 på 5-10. Cirka 10 av de på 5-10 tar matematikk. Dette har åpenbare fordeler og ulemper. Fagene er delt i 15 stp-enheter. Matematikk går over 2. og 3. studieår i 5-10. Planleggingen gjøres av "kullteam", med kullkoordinatorm faglærere, rektorer, studentrepresentanter og noen praksislærere. Den viktigste samarbeidsarenaen er "skolestua"; studentgruppe, praksislærer og kontaktlærer.

En utfordring er å få progresjon gjennom utdanningen - dette må vi jobbe med og sikre. Hva er fagenes rolle i dette?

Noen spennende ting på Stord: en "lesson study"-variant (hvor faglærer og studenter planlegger en undervisningsøkt og vurderer den sammen) og en "studentkonferanse" (hvor studenter planlegger og arrangerer en konferanse, og hvor de selv presenterer. 1. klasse er delegater, 2. klasse arrangerer og 3. klasse presenterer ting knyttet til bacheloroppgaven). Jeg er veldig spent på hvordan dette vil fungere, og synes det høres ut som en veldig god idé. Vi kan åpenbart ikke kopiere ideen direkte til Oslo (hvor studenttallet er mange ganger større), men vi bør kanskje se på måter å "bryte ned" kullene våre i mer håndterbare enheter og få til noe liknende. 12.-13. januar arrangeres en konferanse i Bergen for å diskutere praksismodeller og hvordan man jobber med praksis på ulike steder. En brukerkonferanse. Dette vil kanskje være interessant for oss å delta på.

Vetle Rohde fortalte fra Høgskolen i Oslo og Akershus. Som eksempel på noe som er vellykket trakk han fram "oppdrag", som er skriftlige gruppeoppgaver med drøfting og litteratur knyttet til litteratur og knyttet til undervisning av elever. I starten er oppdragene knyttet til kanskje bare 3-4 elever, senere flere. Det legges mye arbeid i dette, men så opplever både faglærere og studenter at studentene lærer mye av dette. Det gis forholdsvis grundige tilbakemeldinger, og oppdragene gir grunnlag for muntlig eksamen til jul. Studenter som har problemer med å finne elever, får hjelp - det er løst ved å spørre lærere som tar videreutdanning hos oss om de kan ta imot noen.

Neste års konferanse er i Tromsø. Når man har vært med i lærerutdanningen noen år, slik jeg etterhvert har vært, ser man hvor viktige disse konferansene er for miljøet. Det har blitt en unik arena for å diskutere lærerutdanning i matematikk på tvers av institusjoner og på tvers av utdanningstyper. Det finnes mange konferanser hvor forskning legges fram, for eksempel, men opptattheten av selve utdanningene er uovertruffen her. Så jeg vil nok prøve å ta en tur nordover i september neste år.

Konferanse for lærerutdannere i matematikk dag 3

Et innslag som er nytt av året er "symposium". Temaet for symposiet var klasseromsforskning og fem forskere var bedt om å bidra. Klasseromsforskning som begrep er noe uklart - det er åpenbart ikke begrenset til å se på det som skjer inne i de fysiske klasserommene, men hva som skiller begrepet "klasseromsforskning" fra mer generell matematikkdidaktisk er litt vanskelig å se.

Odd Tore Kaufmann hadde valgt tittelen "Elevenes første møte med multiplikasjon på småskoletrinnet. En sosiokulturell tilnærming til appropriering av multiplikasjon i klasserommet". Han har studert sju lærerer og 144 elever fra fem skoler, og sett på de tre første undervisningsøktene med multiplikasjon og analysert med abduktiv tilnærming. De sju lærerne hadde veldig liknende type innføring, med mye felles klassesamtale. Overgangen mellom gjentatt addisjon og multiplikasjon står sterkt - i langt større grad enn internasjonalt. Tellebrikker og andre tellekonkreter er sentralt. Konkretene har tidligere vært brukt i addisjon, og mange elever har problemer med å gå over til å bruke dem i addisjon. I en del tilfeller var det unødvendig å multiplisere, som når det sto to elever i hver av to grupper, hvor alle ser uten å multiplisere at det er fire elever ialt.

Kaufmann har identifisert sju kategorier av tankemåter: telle en og en, benytte addisjon, benytte gjentatt addisjon, benytter rekketelling, benytter fordobling, multiplisere og endelig å kunne samtale om forskjellige egenskaper ved multiplikasjon.

Et interessant spørsmål er naturligvis hvordan det påvirker lærerne og elevene at en forsker filmer i klasserommet. En slik forskningsmetode vil for eksempel neppe være brukbar for å undersøke "bråk" i klasserommet, men er sannsynligvis mer brukbar i mer faglige sammenhenger, hvor man "bare" risikerer at lærere og elever skjerper seg litt ekstra.

Mary Billington fra UiA snakket om: "Analyse av lærernes klasseromspraksis i forhold til [sic] bruk av digitale verktøy i matematikkundervisning i videregående skole". Dette er en del av TBM-prosjektet, og er et klasseromsstudium fra videregående skole. Da Billington kom til skolen hadde de jobbet med et prosjekt i fem år, og gradvis utviklet det. Elevene på skolen brukte for eksempel ikke kladdebøker, bare pc. Hun forsøkte å finne ut hva som skjedde med klasseromspraksisen når digitale verktøy ble brukt i stor grad.

Lærerne selv mente at det var mer utforsking i klasserommet etter at de digitale verktøyene gjorde sitt inntog. Billington observerte at undervisningen med PC var mindre engasjert enn når de samme lærerne var på tavla. Svar på studentinnspill foretok stort sett på tavla, ikke på PCen. Og den digitale læreboka gjorde at for eksempler beviser var "neat and tidy", mens prosessen ble mer borte for elevene.

Så var det Volda som hadde resten av symposiet. Arne Kåre Topphol hadde valgt tittelen "Slik går no dagane - timesignatur for matematikkfaget". KiO-prosjektet (kvalitet i opplæringa), ledet av Peder Haug, involverte 45 klasser fordelt på 3., 6. og 9. trinn, 26 skoler i 16 kommuner, med observasjon av 999 leksjoner og spørreskjemaer (til elever, foreldre, lærere og skoleledere). I en fase 2 hadde de en mer kvalitativ tilnærming.

Observasjonene ble gjort ved å ta stilling til noenogseksti kategorier hver femte minutt. Dette kan brukes til å estimere tidsbruk på forskjellige emner, og til å fortelle om en "gjennomsnittlig" matematikktime - en "timesignatur" (et begrep basert på TIMSS Video Study). Dette ga veldig interessante grafer over tidsbruken, ikke minst i sammenlikningen med naturfaget. For eksempel var læreren i matematikk mest opptatt med enkeltelever utover i timen - i større grad enn i naturfag. I naturfag skjer det oftere at klassa hører på en medelev. Arbeidsplanarbeid er vanligere i matematikkfaget. Det er liten grad av faglig oppsummering i matematikk og lite variasjon i arbeidsmåter.

Frode Opsvik og Leif Bjørn Skorpen presenterte et "nærstudium av matematikkundervisninga", basert på fase 2 av det samme prosjektet, med fire klasser som ble fulgt i fem etterfølgende matematikktimer med mikrofoner på hver enkelt elev og læreren, samt tre videokameraer. I tillegg ble det gjort intervjuer. De analyserte for å finne ulike handlinger og roller som lærerne valgte. Kontrollør vs tilrettelegger blir et sentralt skille på lærerrollene. "Den postmoderne matematikkundervisning" er også et artig begrep, hvor alt framstår som like gyldig. De prøvde også å analysere for å finne kvaliteter ved undervisning - og utvikle et "fokuseringsredskap". De har brukt Balls begreper som utgangspunkt, sammen med de 83 videoanalyseringskodene som Ball m fl brukte i arbeidet sitt.

Inger Elin Lilland hadde parallellsesjon om "Kontrollbegrepet som didaktisk redskap i lærerutdanningen". Kontrollbegrepet kommer fra Mellin-Olsen. Det er forskjell på å gjenskape kunnskaper innen andres kontroll og å bruke kunnskap skapende innen egen kontroll. Kontroll kan finnes på tre kontrollnivåer: målnivå, valgnivå og bruksnivå - og det vil jo finnes ulik grad av kontroll. (Samtidig tenker jeg at eleven alltid har kontroll på alle nivåer - har sine egne mål, bestemmer om han vil være med på aktiviteten og bestemmer hva han skal gjøre. Selv om det er snakk om at læreren gir eleven kontroll, er det like mye snakk om at eleven gir læreren kontroll - om eleven velger å la læreren definere hva som skal skje. Og eleven kan for eksempel gi læreren kontroll fordi det er det minst konfliktfylte.)

Empirien hennes er fra fire studenter i slutten av lærerutdanningen, med undervisning av 14-15-åringer. I prosjektet fikk elevene oppdrag fra reelle bedrifter, og elevene skulle se på seg selv som konsulenter for bedriften. Studentene opplevde dilemmaer i hvor mye de skulle lede elevene, for de ville jo egentlig at elevene skulle ta kontroll. Samtidig vil en lærer ha tanker om de faglige målene, og legge til rette for at det blir læring i matematikk ut av det.

For meg blir det problematisk å se på lærerens kontroll og elevenes kontroll som motsetninger. Som Gry kommenterte på slutten: eleven har sine mål og læreren har sine mål, og det bør neppe være noe ideal at eleven tar over kontroll over lærerens mål - eller omvendt. Men (og nå er det jeg som tenker igjen): det er kanskje et ideal å få til et visst samsvar mellom elevens mål og lærerens mål.

Så var det bare FoU-grupper og utdanningsmøte igjen. På FoU-gruppa så vi blant annet en del på GeoGebra og hvordan det kan brukes med ulike funksjonstyper og sånt. Vi så også på nettstedet mathsisfun.com, hvor det blant annet er videoer som viser ulike konstruksjoner. (Disse bør inn i eleviki etter hvert...) Vi så også litt på eleviki, og til slutt så vi litt på Trond Kirkvaag. Og så lærte vi hvordan vi i Excel kan lage et stolpediagram som består av stablede bilder. Og vi så på nettsiden Java Kali som gir artige mønstre å jobbe med.

Konferanse for lærerutdannere i matematikk dag 2

Sylfest Glimsdal, Norges Geotekniske Institutt, snakket om "Flodbølger fra Åknes - matematikk i praktisk bruk". Glimsdal er forsker på tsunamier., og han gikk gjennom ulike måter tsunamier oppstår på. Til havs vil tsunamier dempes etter hvert som de sprer seg, men i fjorder vil de ikke spre seg ut, og blir derfor ofte større jo lenger inn i fjorden de kommer.

Hvis Åknes faller ned, vil tsunamien nå Geiranger etter 10 minutter. Åknes følges kontinuerlig med en serie målestasjoner for å gi mulighet for evakuering. Maksscenarium er 54 Mm^3, med 60 meter høye bølger. Det var beroligende å høre at vårt hotell ligger noe høyere enn der bølgene vil nå...

Studier av tsunamier er et flerfaglig felt. For eksempel brukes C14-metode for å studere historiske tsunamier. Man har eksperimenter og numeriske modeller, og kan kalibrere modeller opp mot historiske hendelser. I mye arbeidet brukes mye matematikk.

Så var jeg på Smartboardkurs med (ekskollega) Anita Gustavsen og Kristian Slettene. Jeg kjenner brukbart til Smartboard fra før, men det var greit å få en repetisjon nå som vi snart har fungerende Smartboard i klasserommet jeg bruker. Noen ting har jeg ikke hørt om før, for eksempel "figurdeling" som er i en tilleggspakke som krever ekstra lisens. Dermed kan man dele figurer i brøkdeler. Notebook Math kan lage grafer til formler eller tabeller man har skrevet på tavla. Slettene viste eksempler fra egen undervisning på 4. trinn. Han la blant annet vekt på å scanne læreboksidene slik at han har det samme på tavla som elevene har i sine bøker. Og han viste mange småartige måter å arbeide med Smartboard og multiplikasjon. Og det å gjøre opptak av løsningsmåter, for eksempel, var en ganske fiffig sak.

Etter at undertegnede hadde hatt parallellsesjon om eleviki, lærerutdanningswikien, gikk jeg på Camilla Rodal og Annette Hessen Bjerkes parallellsesjon om "Tall og telling i overgangen barnehage-skole". De har observert seksåringer og skrevet et skriv for studentene våre for å gjøre dem bedre forberedt til å selv gjøre slike observasjoner. Så har de snakket med de samme barna etter et år på skolen og er i gang med denne analysen. Et viktig punkt ble å se den iveren seksåringen i barnehagen hadde for å vise sin matematikk - beholdes den iveren i skolen? Camilla og Annette er bekymret for at elevene mister noe av den fabulerende iveren i løpet av første klasse - tallene blir satt inn i et system, men kanskje på bekostning av noe? Men ellers er det også interessant å se hvordan FoU-prosjektet tar utgangspunkt i problemstillinger i undervisningen av studentene i lærerutdanningen, slik at resultatene blir direkte relevante for studentene.

Etter lunsj hadde Anne Fyhn et innlegg om samisk ornamentikk og matematikk. Det er ulike oppfatninger om hva matematikk er mellom lærerutdanneren, matematikklærerne, foreldrene og politikerne. Språkpolitikk kommer også inn i bildet, fordi undervisning om matematikk på samisk forbindes med at ordene er på samisk. Mange forbinder også matematikk med formler og utregninger, og forstår ikke at konteksten kan være vel så interessant som ordene.

Hun er også opptatt av å unngå å "kolonisere" den samiske kulturen, og at det ikke unngås uten videre bare ved å involvere en tilfeldig same. Hvordan skal man for eksempel definere "samisk ornamentikk" uten at det blir styrt av vårt syn på hva ornamentikk er? "Redningen" her er Dunfjelds begrep "tjalehtjimmie", som inneholder både det dekorative og det betydningsfylte. Og hvordan skal man trekke dette inn i undervisningen uten å presse sin egen tolkning av samisk kultur ned over elevene? Dette kompliseres av at kulturen har vært så utsatt at mange familier har sine egne versjoner.

Et (nesten) fast punkt på konferansene de siste årene har vært utdanningsmøter, hvor man samles for å diskutere forhold ved de enkelte utdanningene. Her valgte jeg å konsentrere meg om 5-10-utdanningene, som jeg riktignok bare så vidt har undervist på, men som jeg har delvis studielederansvar for. Den første økta av utdanningsmøtene denne gang gikk stort sett med til en runde rundt bordet om hvordan utdanningen er organisert rundt omkring, og hvor høyskolene trakk fram ting de syntes var interessante. Ulike måter å knytte studentoppgaver til praksis på var blant det flere nevnte. Det ble også snakket en del om hvordan 5-10-studentene skilte seg fra andre studenter - hvordan de mange steder har tatt identitet som MATEMATIKKlærere, mens det også er tendenser til at noen har valgt matematikk fordi de liker de andre alternativene (enda) dårligere. Ellers er det jo interessant å observere hvor ulike modellene er rundt om.

FoU-gruppa jeg var på til slutt ga en diskusjon om løst og fast knyttet til digital kompetanse i lærerutdanningen.

Så beveget noen av oss seg en 150 meter høyere i terrenget for å se på utsikten - vi gikk til Westerås gård og til Flydalsjuvet. Så var det middag og dag to av konferansen gikk mot slutten.

Konferanse for lærerutdannere i matematikk Dag 1

Så er det klart for årets matematikklærerutdannerkonferanse, i år arrangert av Høgskolen i Volda, og plassert i Ålesund og Geiranger.

Etter en bedre lunsj startet konferansen med et foredrag av Helge K. Lande fra Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, kalt "Matematikk som kan forlenge oljealderen". Temaet var modellering, og han startet friskt med bilder av lettkledde fotomodeller, som han kalte "forenklinger" - en idealisering av verden. Rynker og ujevnheter fjernes. Så gikk han over til å beskrive grunnleggende prinsipper for klassisk mekanikk, og forklarte (kort!) hvordan dette forholder seg til væsker, f. eks. olje, i løsmasser. Det grunnleggende om modellering var stort sett velkjent, men det er interessant å se det belyst med reelle eksempler med enorme konsekvenser i virkelighetens verden. I tillegg var det noen avstikkere, for eksempel om "Pitot-tube" (som finnes på alle fly), som var artig å lære litegranne om. Henry Darcy var også et interessant bekjentskap - kjent (i den grad han er kjent) for vannforsyning i Dijon.

Andre post på programmet var Gunnar Stave, som har vært rektor ved Høgskulen i Volda og nå leder rammeplanutvalget for ny førskolelærerutdanning. Han la fram arbeidet med ny rammeplan for FLU - som kanskje skal skifte navn til barnehagelærerutdanning. Mye i prosessen likner jo på prosessen med grunnskolelærerutdanningene, som jeg kjenner brukbart godt. For matematikk sin del er det naturligvis spesielt interessant hvordan det matematiske ivaretas, for å sikre at barnehagelærerne har tilstrekkelig kompetanse om barns utvikling av matematisk kompetanse til å fungere godt. Og mye av uenigheten i øyeblikket er knyttet til hvordan (eller hvorvidt?) dette er mulig når matematikk puttes sammen med det norskfaglige i et samlet kunnskapsområde.

Til grunn for arbeidet ligger blant annet NOKUT-evalueringen og utviklingen i barnehagefeltet. For svak profesjonsretting, manglende helhet og sammenheng og utilstrekkelig forankring i barnehagen er blant forhold rammeplanen skal rette på. Sammensetningen av barn i barnehagen har endret seg de siste årene - barna er yngre og det er flere minoritetsbarn der.

Utvalget har valgt å gå bort fra fagområdene i rammeplanen for barnehagen, og Stave begrunnet det i at denne er under evaluering og også kan endre seg. Dette forekommer meg å være en noe svak begrunnelse i seg selv. Man har isteden gått gjennom en stor diskusjon for å finne fram til seks kunnskapsområder, hvor "Språk, tekst og matematikk" er ett. De fem første kunnskapsområdene skal gis de to første årene. Tredje studieår skal gi mulighet for fordypning, internasjonalisering, bacheloroppgave og kunnskapsområde 6: ledelse, samarbeid og utviklingsarbeid i barnehagen.

Praksis skal være på 100 dager og være et felles ansvar for alle kunnskapsområdene - ikke eid av pedagogikk.

På spørsmål understreket Stave at for eksempel matematikk ikke skal låses inne i ett kunnskapsområde. Samtidig var kritiske røster i salen opptatt av den negative signaleffelten ved å ha "matematikk" i et kunnskapsområde samtidig som et annet handler om "kreativitet" - studentene kan få inntrykk av at matematikk ikke er kreativt. Stave understreket at kunnskapsområdene defineres av LUBene, ikke av overskriftene - så kunnskapsområdet om kreativitet kan godt ha med matematikk i LUBene.

Christoph Kirfel spurte om det var meningen at folk etter hvert skal få identitet som "språk, tekst og matematikk"-fagpersoner istedenfor matematikkfagpersoner. Stave svarte vel egentlig ikke på dette spørsmålet, men avviste det heller ikke.

Dette avsluttet det faglige programmet av dag 1. Dagen ble avsluttet med reise til Geiranger og middag.