Etterutdanningskonferansen 2018 Dag 2

Den andre dagen startet med Ruth Parker igjen, med tittelen "Transforming Mathematics Teaching and Learning: Making Number Talks Matter". (Og jeg switcher til engelsk igjen.) Her starting claim was that Number Talks has a potential like no others to transform mathematics classrooms. To create a safe environment, students are told that they will not be put on the spot, students decide when and what to share. In retrospect, students say that knowing that they didn´t have to talk, made them want to talk.

First, she gave an example of Dot Talk. (Aren't Americans amazing at creating catchy names for ideas?) We were shown a pattern, and got as much time as we needed to find the number of dots. Then different solutions were presented - students (or in this case: we) described their methods, and the teacher´s role is not to take over the description, but to let the student describe. Dot Talks communicate that there are many ways of seeing things, that mathematics is creative, that we should listen to each other and try to understand each others´ explanations. The teacher does not have the "right answer", but helps getting students´ answers across. And there are lots of mathematical concepts included.

Then she went on to talk about "Number Talks", with examples from subtraction. 63-28. (Of course, we saw a similar problem the day before, and the same strategies go.) For some strategies, it is useful to ask the students if the strategy would work for other numbers as well, and perhaps the students get to think about that till next day. (By the way, the coolest solution was 9x7-4x7=5x7=35 - but that's not so easy to generalize...) The hard part for the teacher is not to assume - very often, children think a bit differently than the teacher thinks. One student in 3rd grade gave the answer "60-20=40, 3-8=-5, so the answer is 40-5=35"). Then, going on to the next question, 81-26, the teacher asks: "Did someone use a strategy that they haven´t used before?"

Can the same strategies be used for other numbers? For instance 8.32-5.85. Of course, many of the same strategies work, but with a bit more demand on the memory (unless paper and pencils are allowed).

What about 26x48? I changed 26 to 25 or 48 to 50 and adjusted the result accordingly (Another option is 52x24=50x24+2x24=1200+48, for instance.)

She ended by saying that we have far too long been training students by giving recipes or formulas, but that what we need to help them see.

Så var det parallell igjen - jeg valgte Jorryt van Bommel og temaet "Problemlösning och digitalisering". Utgangspunktet var prosjektet PiF - problemløsning i førskoleklass. (Førskoleklass tilsvarer på en del måter norsk 1. klasse, hvilket vel er årsaken til at norsk TIMSS-undersøkelse har gått over til å teste 5. og 9. klasse for å kunne sammenlikne med svensk 4. og 8. klasse.) Prosjektet består av en rekke problemer som brukes på 6-åringer og med intervju før og etter.

Før prosjektet hadde barna rimeligvis ingen fornuftige formeninger om hva matematisk problemløsning var, bare hverdagseksempler: det er å løse problemer.
Eksempel 1: "Nallarna" - du har en sofa med tre plasser, og bamser med tre farger som skal sitte der. På hvor mange måter kan bamsene sitte i sofaen? Elevene tegner, med ulike abstraksjonsnivåer (konkret, halvkonkret osv). Det er ikke slik at mer abstrakte representasjoner bidrar til at man får med flere løsninger og færre dubletter. Snarere er det systematikken som bidrar til det, selv om det er halvkonkret.
I prosjektet gikk man over til å jobbe digitalt, slik at det blir mindre tegneproblemer, samtidig som man kunne tilføre tilbakemelding når man får dubletter og at det blir lettere å holde oversikt. Ei nettside ligger her: Combibears.hotell.kau.se

Spørsmålet var om man lærer noe annet når man gjør det digitalt. Resultatene hun la fram var hvordan elevene gjør det etter at de først gjør det digitalt og så på papir, mot hvis de bare gjør det på papir. (Mitt spørsmål er vel om det ikke da heller burde vært sammenliknet med å gjøre det på papir to ganger, fordi man vel må lære noe av å gjøre det en gang...)

Eksempel 2: Tårnet. Hvor mange klosser er det i tårnet? (3d-tårn, sammensatt av de tre første trekanttallene). På papir løser de fleste det ved å telle de seks synlige klossene.
Igjen valgte man å lage en digital løsning hvor elevene fikk se sidekantene, snu rundt på figurene og mulighet til å lagre: https://kubus.hotell.kau.se (for flere, se https://apparjorryt.hotell.kau.se).

Som lærer er det naturlig å supplere det digitale arbeidet med klosser osv., men hun presiserte at i dette prosjektet var det et poeng i seg selv å ha "rene" aktiviteter (enten bare digitalt eller bare uten det digitale) for å kunne studere det digitale bidraget tydeligere.

Etter en finfin tur på Telemarkkanalen (inkludert lunsj) var vi så tilbake i plenumssalen for å høre Uffe Thomas Jankvist snakke om "Matematikvejledning og elevers læringsvanskeligheder i matematik". Matematikvejlederuddannelsen (30 stp over tre semestre) er utviklet av Mogens Niss og Uffe Jankvist. Bakgrunnen var at 74 prosent av danske kull velger gymnaset etter fullført grunnskoleutdanning. Dette er en sterk økning fra tidligere, og det krever en omstilling.

Mens matematikkveiledere i grunnskolen veileder sine kolleger, skal matematikkveilederne i gymnaset veilede elever som har læringsvanskeligheter i matematikk. Målet var at lærerne skulle kunne identifisere, diagnostisere og arbeide med læringsvanskeligheter. Tre temaer ble valgt: begreper og begrepsdannelse, resonnemenenter og bevisførelse i matematikk, modeller og modellering i matematikk. Hvert tema ble behandlet med en blanding av teori og praksis. Niss og Jankvist har også utviklet en deteksjonstest som brukes. Ut fra eksemplene han ga, er det en blanding av "snille" og diagnostiske oppgaver. For eksempel ser de at rundt hver femte elev har problemer med tallet 0, og for eksempel har problemer med å godta 0 som løsning på en likning. Han ga et par detaljerte case som jeg ikke klarer å yte rettferdighet her. De viser hvordan det er mulig å forstå elevenes syn på matematikk og begynne å gå inn og arbeide med dette, slik at elevene kommer videre.

Det viser seg at ikke alle teorier er like lette for lærerne å bruke i praksis. For eksempel Sfard og Chevallard er ikke så lette å bruke, men Duvals teorier om semiotiske representasjoner kan fungere. Jankvist reklamerte for CERME-gruppa om implementation research, som nettopp handler om tilbakeføring av matematikkdidaktiske teorier til klasserommene. Han reklamerte også for en forening av eksaminerede matematikkveiledere (F3M): matematikvejleder.dk.

Og dermed var vi kommet litt over halvveis i konferansen, men jeg kastet meg på en buss-for-tog, for å rekke toget til Oslo og nattoget til Trondheim. Dermed gikk jeg glipp av mange godbiter - men har da likevel fått med meg en del å gruble på i året som kommer.

Jeg var på min første av disse konferansene i 1999 og har vært med på de fleste siden. De er et viktig møtepunkt for matematikklærerutdanningsmiljøene. Naturligvis er det viktig å dele ideer og perspektiver gjennom innlegg og foredrag, men det er viktig i seg selv å vite hvem som jobber på de andre institusjonene og ikke minst hvem som kan tenkes å være opptatt av det samme. Derfor seg jeg fram til neste års konferanse - og konferansen deretter og deretter...

Etterutdanningskonferansen 2018 Dag 1

Så var det plutselig etterutdanningskonferanse igjen. Denne gang i Skien, og denne gang ble den for min del litt preget av at jeg holdt åpningsforedraget, noe som gjorde oppladningen til konferansen mindre frydefull og mer skrekkblandet. Den andre tingen som kommer til å prege bloggingen min fra konferansen, er at jeg allerede tirsdag ettermiddag må svikte kollegene i Skien for å ta (buss for) tog nordover for å rekke den utdanningshistoriske konferansen i Trondheim, hvor jeg skal ha innlegg på onsdag.

Etter registrering og åpning ved dekanen, var det undertegnede selv som holdt åpningsforedraget "Matematikkhistorie og syn på matematikk. Relevans for lærerutdanning." Dette var et helt fantastisk fint foredrag - ok, jeg skal innrømme at jeg skriver disse ordene i forkant av at konferansen begynner, slik at jeg skal være klar for å notere videre når mitt foredrag er over. Så jeg aner ikke om foredraget var stotrende, usammenhengende eller fint, eller om det gikk en halvtime over eller under tida. Uansett handlet det altså om forskning som sier noe om hvordan arbeid med matematikkhistorie påvirker lærerstudenters syn på matematikk og matematikkundervisning, og ikke minst viktigheten av å ha klare, eksplisitte mål for det man gjør og vite om man holder på med heritage eller history. Og det har vært spennende å jobbe fram foredraget, såpass spennende at jeg er fristet til å jobbe videre med det til en artikkel på et eller annet tidspunkt. Men da naturligvis på en måte som ivaretar alle de kritiske kommentarene som kom etter foredraget. (Men som jeg i skrivende stund - før konferansen har startet - ikke har fått enda.)

Så lente jeg meg tilbake i tilhørerstolen og hørte på Ruth Parkers foredrag "Teaching empovering mathematics to all learners". (Og jeg switcher til engelsk.) Parker is now leading a project teaching teachers, who then implement into the classrooms and go on to teach similar courses locally. Also, she is working with the Shell centre in Nottingham, creating a test called "smart and balanced assessment". But this was not the focus of this talk.

Principles that guide their work:
• all students can learn to do meaningful and challenging mathematics,
• Reveal "soft spots" early and often (starting each multi-week study with a big, messy problem and see the soft spots in students´ thinking),
• Not asking "What math are you learning today?" but "What are you trying to figure out right now?".
• Disequilibrium and cognitive conflict are a natural and desirable part of the process of learning mathematics.
• Learning mathematics is about having mathematical ideas
• There are nearly always many different ways to solve a problem.
• We must meet our students where they are when they come to us
• We must always model the change we want to see happen.
• Mathematical understandings deepen in complexity over time.

She gave us some tasks to work on, and where each of us was supposed to find a solution before talking with peers:
• Rookies task: 2/3 of rookies are paired with 3/5 of the experienced firefighters. What fraction of all the firefighters are paired up. (Hint: the answer is not supposed to be larger than 1, like I got at my first try...)
• Number talks: 63 - 27. Number talks is about you making sense of the problems in your own ways - it´s not about copying algorithms.
• Turkey problem (invented by Ruth Parker): you have three slices of turkey weighing in total a third of a pound. You are just supposed to eat a quarter of a pound of meat. How much of the turkey can you eat?
• Number bracelets (I won't give the details here).
All the time, Ruth collects questions that pupils have ("What do you now wonder?"), which pupils thereafter can choose from as new challenges. These are examples of expandable problems - access for all, but without an upper boundary. Teach students that mathematics is not about finding answers but about posing new questions.

In the end, she referred us to the website Www.mec-math.org (MSP), which includes data on the development of 32 teachers following the program.

Etter en velfortjent pause, hørte vi Jan Egil Sørensen snakke om "utviklende læring i Skien kommune". Sørensen jobber som rådgiver i kommunen. Utgangspunktet for prosjektet var at matematikkresultatene var dårlige, både på standpunkt og eksamen. De satte seg som mål å øke eksamenskarakterene fra 2,7 til 3,5 i gjennomsnitt. Cirka halvparten av elevene fikk 1 eller 2 på eksamen. De startet da et prosjekt inn mot alle matematikklærere i kommunen - ut fra mantraet om at hvis man ikke endrer noe, vil man sannsynligvis få samme resultat. De ble inspirert av Smeaheia skole ("russisk matematikk" - basert på Zankov og Vygotsky). Selv har jeg besøkt en Sandnesskole en del skoledager og sett på hvordan de jobber, og presentasjonen til Sørensen stemte rimeligvis bra overens med det jeg opplevde der - vekt på at elevene skal forklare og argumentere gjennom varierte oppgaver, hvor alle elevene skal lykkes, og hvor man legger vekt på å tilby elevene presise matematiske begreper. Men i Skien bruker de ei "læringssløyfe" hvor læreren skal (hvis jeg oppfattet det riktig) fortelle hva målet med timen er og hvor elevene skal vurdere dette på slutten av timen. Dette så jeg ikke noe av i Sandnes, og det strider også mot det Ruth Parker snakket om tidligere på dagen - det er for mange sammenhenger i matematikkfaget til at man kan holde på med ett mål per time.

Han viste mange eksempler på fine oppgaver hvor elevene kan vise argumentasjon, ofte basert på bilder, så det er ikke så lett å beskrive her. Men poenget er at det er åpne oppgaver hvor det kan være mange riktige svar og poenget er at man kan fortelle om hvordan man selv tenker.

Så var det parallellsesjoner, og jeg valgte Janne Fauskangers parallell om "Teacher Time Out (TTO) i ambisiøs matematikkundervisning". MAM-prosjektet er et prosjekt ledet av Kjersti Wæge ved Matematikksenteret hvor TTO er et hovedelement. Det er utviklet ressurser som er åpent tilgjengelig for alle. I Stavanger har man også begynt å bruke TTO i lærerutdanningen. I ambisiøs matematikkundervisning er variasjon i elevers kunnskaper og erfaringer en fordel, og det er et fokus på praksiser - "kjernepraksiser" eller "ambisiøse undervisningspraksiser".

TTO handler om at man som matematikklærerstudent kan ta en timeout i undervisningen og diskutere med praksislærer og medstudenter hvordan man går videre i timen. (Jeg tenker umiddelbart at det er stor forskjell på om det er studenten selv som ber om "hjelp" eller om det er praksislærer som bryter inn og kommer med innspill.) Kazemi er en av forskerne som har skrevet mest om dette.

I prosjektet bruker man en del gitte aktiviteter, som er forskningsbaserte, istedenfor at hver enkelt skal finne sine egne aktiviteter, som erfaringsmessig ofte blir for lite ambisiøse. Lærerne forbereder seg både med å tenke gjennom hva elevene vil svare (også ved å lese forskning) og ved å øve på samtalemønstre.

I datamaterialet har man 139 TTO-episoder. Ofte er det bare konkrete spørsmål studenten har ("Er det lov å skrive dette?) og som blir fort avklart. (Også i klassisk praksisopplæring kan hender det at en student spør praksislærer om ting underveis, men ikke på noen systematisk måte.) Noen tar bare ett sekund mens andre er mye lenger, og i snitt er det cirka 6 TTOer per økt på cirka 20 minutter.

Vi fikk en oppgave (et kvikkbilde) og så fikk hun fram eksempler på elevsvar og eksempler på TTO. For eksempel kan lærere ta timeout for å spørre hva som er en god måte å skrive ned elevenes svar på, for å representere det eleven faktisk har sagt. (Her på konferansen synes jeg nok at de forslagene som nedtegnelser som kom, ble litt tekniske og ikke velegnede for å tydeliggjøre elevenes tankemåte på en måte elevene ville kjenne seg igjen i.) Det var nettopp det å være tro mot elevenes tankegang og å samtidig ikke gjøre grove matematiske feil, er krevende. De tar TTO for å få ideer til hvordan de skal få fram elevenes matematiske ideer, vurdere elevenes ideer, respondere på elevenes matematiske ideer, orientere elevene mot hverandres ideer og til sist mer generelle undervisningsspørsmål.

I mange av eksemplene vi fikk konkret, tenkte jeg at det ville være like nyttig å snakke med elevene og ikke (bare) med kollegene. Men nå er jo ikke målet at elevene skal lære, men at studentene skal lære. Og for studentene er det kanskje mer interessant å diskutere med kollegene, selv om elevene vil få mer ut av å trekkes inn i diskusjonene. Men i spørsmålsrunden fortalte Janne også at elevene etter hvert blander seg mer inn i TTO-ene.

Dernest var jeg på en parallell med Christoph Kirfel, om "Programmeringsideer i et fornyet matematikkfag". Programmering skal jo inn i matematikkfaget på alle trinn, og trylleordet er "algoritmisk tenkning". Mange er skeptiske, men nå er fokus på å finne de gode ideene for å gjøre det beste ut av det.

Man kunne ha startet med standardalgoritmene (eller andre kjente algoritmer) som utgangspunkt for programmeringsaktiviteter, for eksempel i andre tallsystemer. Dette er kjent og virker overkommelig. Imidlertid gir standardalgoritmene assosiasjoner til terping og tabellkunnskaper, og Christoph har derfor valgt å starte et annet sted. I Bergen har man også laget en programmeringsgruppe ved UiB som skal jobbe fram ideer.

Kirfels valg er rotutdragning. Å trekke røtter krever en algoritme, og man kan diskutere antall siffer opp mot tiden en algoritme tar. Det kan gi rom for dybdelæring knyttet til kvadratrøtter. Kirfels parallellsesjon ga både eksempler på historiske algoritmer for å finne kvadratrøtter og hvordan disse har ulike egenskaper når de programmeres. (Som så ofte på slike konferanser, finnes det et skjæringspunkt hvor min økende slitenhet møter den varierende kompleksiteten i det jeg skal prøve å referere, og det skjer gjerne et stykke ut på ettermiddagen hvis det blir mye formler og figurer på skjermen. Derfor blir det heretter veldig lite detaljer...) Han startet med å bruke et bevis for at roten er to er irrasjonal og utvikle en algoritme for å finne roten av to (ved å snu oppbygningen av beviset). Dette gir en veldig enkel algoritme som kan programmeres i Excel på et øyeblikk. Så utforsket han egenskaper ved denne algoritmen (hvor raskt den nærmer seg roten av to) og hvordan den kan generaliseres til generelle kvadratrøtter. Ved generelle kvadratrøtter, viste han også noen triks som må gjøres for å gjøre algoritmen raskere. Noen av triksene fører fram til Herons metode for rotutdragning. Til slutt kom han også inn på Newtons metode (som ikke blir så ulik Herons metode...) og så en gammel indisk tilnærming fra Sulbasutra, som kan videreutvikles til en algoritme (og det har en mann med navn Henderson gjort).

Så må jeg innrømme at jeg tok kvelden, noe som skaffet meg 45 minutter frilek før middag (mot 15 minutter hvis jeg hadde tatt med meg dagens siste seksjon). Likevel ble det en veldig innholdsrik førstedag på konferansen.