Kreativ matematik i Sunne 2016

Et par dager i overgangen oktober/november tilbragte jeg sammen med kollega Ida på en svensk konferanse for lærere kalt Kreativ matematik, på Selma Spa i Sunne. Omkring 170 deltakere hadde  tatt veien.

Konferansens initiativtaker Janne Ekelöf startet med å minne om både de store skillene i utdanningsmuligheter mellom ulike land og om hvor enormt store endringer som har skjedd når det gjelder de digitale mulighetene. Og han forklarte at det finnes 10 typer mennesker, de som forstår og de som ikke forstår det binære tallsystemet. Karl XII foreslo tallsystem med base 64. Heldigvis ble han skutt av nordmennene før han fikk satt det ut i livet.

Mona Coldenberg fra Netsmart snakket om interaktive tavler, noe som mest var en presentasjon av Smartboard. For meg personlig var det vel ikke så mye nytt her, jeg har selv holdt noen kurs i bruk av Smartboard. Hun viste hvordan øvelser på Smartboarden kan deles med elevene slik at de også kan gjøre dem på egen skjerm. Dessverre var det bare fire av 170 deltakere som klarte å koble seg på aktiviteten i forsøket, og det illustrerer vel læreres skrekk formå bruke teknologi.

Neste foredrag var ved Hanna Almström og Pernilla Tengvall, som er lærebokforfattere på "Koll på matematik år 1-3". Deres tittel var "Att undervisa utifrån de matematiska förmågorna". "Förmågor" betyr vel i denne sammenhenger "kompetanser" (Google Translate foreslår "evner", og det blir jo noe ganske annet) og de tok utgangspunkt i de fem kompetansene problemløsningskompetanse, begrepskompetanse, metodekompetanse, kommunikasjons- og resonnementskompetanse. Hva betyr hver av dem og hvordan samvirker de? Og hvordan bedømmes de og hvordan synliggjøres de?

De ga noen eksempler på oppgaver knyttet til ulike kompetanser: "du vil ha fire deciliter i din skål. Du bruker to ulike mål. De rommer 3 dl og 5 dl. Hvordan kan du gjøre det?" Her finnes det jo flere svar. Hvordan man noterer dette - altså kommuniserer løsningene sine - er en del av kommunikasjonskompetansen. Og  hvis elevene i tillegg diskuterer ulike måter å kommunisere løsningene på, er vi inne i resonnementskompetansen.

De brukte begreper som "rimelig" og "urimelig" - hvilket hundehus er det rimelig at man velger til denne (store) hunden? Mer uklart: er det rimelig at et barn og en voksen løper like fort? Og det kan være like viktig å se på hva ting ikke er. Vi så på en "hvem skal ut"- oppgave, som er fine for å komme i gang med argumentasjon.

Som eksempel på metodekompetanse hadde de en oppgave med en mengde klosser som skulle telles, hvor man kan vurdere ulike metoder opp mot hverandre: telle vs. gruppere... Og de viste omkretsoppgaver hvor man skulle finne deler av omkretsen og så kontrollregne. Og vi så et spill hvor det skulle kastes terning og vi skulle plassere sifre i et tre- gange tre-nett og få en sum av de tre tresifrede tallene nærmest mulig 1000. Elevenes strategier utvikler seg etter hvert som man gjør det flere ganger. Så en liknende: kaster seks slag med sekserterning, begynner på 0 på en tallinje og hopper hele tiden enten antall tideler eller hundredeler. Skal komme nærmest mulig 1 uten å passere.

På ICME i sommer var jeg på et foredrag hvor en foreleser fnyste av all oppmerksomheten om "Singapore Math", siden hun mente at det ikke finnes én Singapore Math - på samme måte som det ikke finnes en norsk matematikkdidaktikk eller en amerikansk matematikkdidaktikk. Selve begrepet "Singapore Math" er nok mest et markedsføringsgrep (sikkert knyttet til at Singapore, delvis av kulturelle årsaker, gjør det godt i internasjonale tester), men det behøver jo ikke å bety at det ikke er verdifulle begreper som markedsføres under den overskriften. På denne konferansen holdt Pia Agardh og Josefine Rejler et foredrag med tittelen "Vad er hemligheten i Singapore?" De har skrevet lærebøker og holder kurs knyttet til "Singapore Math".

De startet med en aktivitet: hvordan kan man dele et kvadrat i to like store deler. (Aktiviteten er jo eldre enn alle haugene, og naturligvis finnes uendelig mange måter selv om man begrenser seg til å dele ved hjelp av én rett linje, men det kan jo også deles på andre måter enn med rette linjer...) Poenget er naturligvis å diskutere - hvordan vet man at de to delene er like store? (At dette velkjente eksemplet ble valgt sier jo noe om at det er en del velkjente elementer i "SM".) Vi fikk se en video hvor Yeap Ban Har bruker denne aktiviteten og har en klassesamtale om den. Det er mye fint med måten han underviste på, han er entusiastisk, åpen, forberedt på ulike innspill, overlater til elevene å vurdere. (Ikke ulikt "russisk matematikk" slik jeg har sett det i Sandnes.)

De legger vekt på fem hovedstikkord: stabil grund (god tall- og begrepsforståelse), aktiv problemløsning, "teaching to mastery" (lærerens sentrale rolle i gjennomtenkt undervisning), smarte visuelle verktøy, "adderar resultat". Dette gir det kjekke akronymet SATSA. Et annet velkjent prinsipp kalles her CPA (concrete-pictorial-abstract).

Timene er ofte bygget opp med en "anchor task" som man utforsker sammen, så "guided practice" (øver og lærer sammen) og til slutt "independent practice" - hver del 15-20 minutter.

Til slutt snakket de litt om "bar modelling". De viste det med en oppgave med Sofia som baker kaker, gir vekk en sjettedel til Lisa, to femtedel av det resterende til Nicklas, og så hadde hun 24 igjen. Dette kan naturligvis tegnes på mange måter, men i "Singapore Math" har man en som er vanligere enn andre, nemlig "bar modelling", som jeg ikke kan gå inn i her.

Oppsummerende må man kanskje si at varemerket "Singapore Math" framstår som en samling med velkjente undervisningsprinsipper som man har valgt ut blant det Singapore gjør, og som likner fælt på det man for eksempel lærer i lærerutdanninger rundt omkring.

Bengt Drath var siste post på mandagsprogrammet. Hans er matematikk- og naturfaglærer, og hans tittel var "Undersök, upptäck, upplev och i grunden förstå". Han startet med å si at mange sikkert har hørt ham før, men at han har byttet tittel på foredraget. Det er en fin innstilling... :-)

Han viste til Stigler som en gang understreket viktigheten av at lærere forteller hvordan de jobber. Det er et viktig grunnlag for diskusjoner om undervisning. (Nå jobber nok de fleste lærere litt mer teambasert enn at det er nødvendig å si dette, ihvertfall i Norge og ihvertfall i barneskolen.) Han fabulerte også litt rundt ulike catchwords, som 4F (fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet), 3U (undersök, upptäck, upplev), EPA (enskilt-par-alla) eller SPA (själv-par-alla), fem förmåger (og jeg legger til "SATSA"). Alle kan sikkert være fine ting å gruble over i forbindelse med undervisningen.

Han viste til eksempler fra sitt yrkesliv som naturfaglærer om hvordan elevene kan gis erfaringer som gir grunnlag for oppdagelser og opplevelser. Og at han en gang fikk nærmest en åpenbaring: hvorfor underviste han matematikk på nøyaktig den motsatte måten av naturfagsundervisningen? I matematikk startet han med konklusjonen. Dette ble en kognitiv konflikt for ham. (Han brukte her John Masons begreper om å gå fra omedvetet okunnig, via medvetet okunnig til medvetet kunnig. - Har du noen kolleger som er "dobbel O"?)

Han ga oss en oppgave om tre elever på skolevei (tolkning av graf, se https://xiblog.files.wordpress.com/2011/11/intro_funktioner.pdf). Dette er en fin oppgave for å tolke grafer ut fra en sammenheng. Etter en lang diskusjon om grafen forteller han hvordan han kan be elevene lage sine egne grafer som er mer realistiske slik de opplever sine erfaringer.

Drath var opptatt av at slike problemløsningsoppgaver utvikler alle de matematiske kompetansene. Og at det alltid er ting som ikke ligger innenfor de ulike modellene vi har for opplæring - holdninger og så videre er for eksempel viktig.

Han viste andre eksempler, for eksempel hvor elever får en sirkel og tre kvadrater (med side lik sirkelens radius og delt i hundre ruter). Elevene finner ut at det er plass til tre kvadrater og 14 småruter til. Og han viste eksempler knyttet til subtraksjon av tall (92-17) og så på ulike strategier som elever ofte kommer opp med. Når man har fått ulike strategier på tavla, kan man gi ulike oppgaver hvor elevene hele tida må ta stilling til hvilken strategi som de synes passer best. Da utvikler elevene også god talloppfatning.

Det kan bli rike diskusjoner av å kontrastere ting. For eksempel: to brøker med tre i nevner og hhv. 12x + 3 og 12x *3 i teller.

Bengt Draht er visst noe av en "kjendis" i Sverige på grunn av en film kalt "Underbar matematik", som sikkert kan være vel verdt å ta en kikk på. I nåværende læreplan står det at elevene skal få "strukturert undervisning under lærerens ledelse" - som må kunne oppfattes som et oppgjør med den ekstreme "læreren som veileder"-ideologien som fantes for noen år siden.

Etter den første dagen på en svensk konferanse for lærere er det mye å reflektere over. For det første naturligvis at mye er likt som i Norge, for det andre at selv om språket er noenlunde likt, er det en del "koder"/stammespråk som gjør det vanskelig å forstå - på samme måte som vi i Norge snakker om LK06, RLE, TPO og så videre. For det tredje at det heldigvis ikke er sjokkerende mye nytt å høre som vi i Norge ikke har fått med oss - det finnes et hav av gode undervisningsprinsipper som sirkulerer rundt og som naturligvis kan pakkes på nye måter men som det uavhengig av det er vel verdt å fortsette å snakke om.

Den andre dagen begynte med et foredrag av kollega Ida Heiberg Solem og meg selv om en firkantet ball og mangel på hull. Eller: om fantasi og virkelighet i geometriens verden. Dette ble visst godt mottatt. Etter dette måtte vi ordne utsjekk og samle tankene, så vi gikk glipp av det neste punktet på programmet.

Vi var tilbake innen Jannes innlegg om QR-koder. (Quick Response.) Han tipset oss om hvordan vi lett kan lage filmer (for eksempel med Screencast-O-Matic), legge på YouTube og lage en QR-kode (med QR Code Generator). Denne kan da deles i dokumenter etc, og kun de som har QR-koden kan se videoene. Dette kan da brukes til så mangt, for eksempel rebuser. I et opplegg med internasjonale studenter gjorde de intervjuer med hverandre, laget QR-koder som de hengte på et verdenskart, så kunne de utforske disse.

Han avsluttet med å vise noen øvelser fra Divideramera.n.nu -> øvningar. Et eksempel: lage alle tall mellom 1 og 100 ved hjelp av fire oppgitte sifre. Det blir en langvarig klasseoppgave å løse flest mulig - og på flest mulig ulike måter, og hvor elevene vil få behov for parenteser, for eksempel, etter hvert.

Etter lunsj var jeg på en økt om programmering på mellomtrinnet. Det er tydeligvis en politisk vind for programmering i skolen i Sverige, slik det jo også av og til er i Norge. Jeg lærte begrepet "datalogisk tenkning" som gir litt mer smak av problemløsning enn "programmering" eller "koding". Blant annet så vi på Scratch, som for øyeblikket ikke fungerer på iPad (bortsett fra en begrenset juniorversjon). Vi så på en del eksempler på enkle programmer, for eksempel hvor en sjetteklassing hadde laget en enkel matematikkoppgavegenerator/spill. Beebot er en lettstyrt robot som kan være gøy for barn, og vi fikk også se på en Quirkbot. Mentimeter.com bør jeg også kikke på.

Den siste seksjonen het "Varför är varje lektion i matematik viktig?" Det var Studentliteraturs Camilla Bedroth som hadde foredraget. Hun har jobbet med å tilpasse Finlands mest utbredte læreverk til svensk. Svaret hennes på spørsmålet i tittelen var at man ikke må sløse med tiden, fordi man har et begrenset antall matematikktimer i skolen - og det kan man jo være enig i, det kommer bare an på hva man mener med å sløse med tida... Hver leksjon har fire sider i boka, hvor den første inneholder det alle bør gjøre.

I Finland jobber man "envetent", sa hun: envist og medvetent. Noen snakker om "grit". Men hele foredraget virker som det har som premiss at alt går fint i Finland, mens i diskusjonen om PISA-resultater og sånt har det jo kommet fram påstander om at Finland også er et land hvor kulturen bidrar til stort press og blant annet høye selvmordstall. Det er kanskje ikke så rart at dette ikke har noen stor plass i et slikt foredrag, men det kunne kanskje vært nevnt for å hindre at alle i salen sitter og tenker på det og savner at det nevnes...

Det sjarmerende med dette reklameforedraget var jo vekten på lærerens kompetanse: læreverkets oppgave er å støtte læreren og for eksempel tilby problemløsningsoppgaver til hvert tema, men det er opp til læreren å vurdere hva som bør brukes i den konkrete timen.

Dermed var denne konferansen over. Jeg gjentar det jeg skrev lenger opp: "det finnes et hav av gode undervisningsprinsipper som sirkulerer rundt og som naturligvis kan pakkes på nye måter men som det uavhengig av det er vel verdt å fortsette å snakke om." Jeg tenker at jeg - og mange med meg - helst ikke vil skrive artikler eller snakke offentlig om annet enn det vi selv har bidratt nyskapende til. Det er synd, for hvem er det da som ivaretar alt det gode som er tenkt før?