Hoover startet med å snakke om viktigheten av utdanning, og om det finnes en måte å undervise matematikk på som kan få mennesker til å slutte med å hate og drepe hverandre. Han viste en video (i alt tre ganger gjennom forelesningen) hvor Deborah Ball underviser om brøk (som jeg lurer på om Ball viste på ICME?). I videoen skal en elev svare på hvilket tall en pil peker på på en tallinje, og eleven svarer feil, medelevene stiller spørsmål og læreren (Ball selv) prøver å få til en respektfull tone. Hoover understreket hvordan man i en sånn sekvens arbeider for demokrati. Læreren understreker at man skal følge med, høre etter, stille spørsmål (men ikke bedømme) osv. Det er viktig å lære seg å prøve å sette seg inn i hvordan andre tenker, og dessuten er det viktig for matematikken å ikke ekskludere folk.
Instruction avhenger av elevene, innholdet, læreren og omgivelsene. Hoover ønsker å fokusere på hva lærere GJØR. Ordet "work" blir også brukt for å få fram i lyset at det lærere gjør er gjennomtenkt og krevende, siden det for ofte blir tatt for gitt (siden vi alle har sittet i klasserommet og opplevd undervisning skje uten å få med oss forberedelsene og tankene bak). Dette kan være å utforme oppgaver til elever, involvere flere elever samtidig i klassesamtalen, gi eksplisitte instruksjoner om hvordan man skal oppføre seg (noe som legger grunnlaget for de sosiomatematiske normene i klasserommet). Lærere omformulerer til språk elevene kan forstå, forutse hva elevene kan svare, bestemme rekkefølgen på elevenes innspill og så videre. (I denne lista ser man jo deler av five practices, deler av kunnskapskvartetten osv.)
Hva er det matematiske aspektet av dette? Det meste matematikklærere gjør i klasserommet har eller kan ha matematiske aspekter. Hoover ønsker å fokusere på det fordi det ofte er matematiske ting (og da ofte svakheter i lærernes matematikkunnskaper) som fører til problemer i matematikkundervisningen. I tråd med tidligere arbeid om "specialized content knowledge", ønsker man nå å se på "specialized mathematical work of teaching". Et uttrykk i den sammenhengen er "assigning competence"- blant annet definere hvilken kompetanse som er verdsatt. (Det er bare eleven selv som har forutsetninger for å svare på hvordan hen har tenkt. I tillegg gis elevene klar beskjed om at det er verdifullt å høre på de andre elevene.)
En sentral del av arbeidet som lærer er å gi forklaringer som bygger på den kunnskapen vi ser at enkeltelever eller klassen som helhet har vist at de har. Dette er veldig komplisert.
En formulering han brukte er at "(mathematical) work of teaching (...) is a composition of more focused (mathematical) tasks of teaching". Det er altså et spørsmål om skalering - work er mer overordnet og sammensatt enn tasks.
Til slutt fortalte han om den politiske prosessen i Michigan for å definere noen High-Leverage Mathematical Topics for lærerutdanning og kriteriene for det. Det ser ut til å ende bare med heltall og operasjoner på dem og brøk, desimaler og operasjoner på dem. Så er det utviklet standarder for disse to områdene, som blant legger stor vekt på representasjoner osv. Som man ser er geometri ute av bildet her - og det er et empirisk spørsmål om lærere som har solid grunnlag i tall og tallregning (inkludert det matematikkdidaktiske knyttet til), selv kan sette seg inn i geometrien slik at ikke undervisningen til elevene blir for ille.
Han sa også noe om FoUen. Han tok til orde for å designe prosjekter hvor mye holdes konstant og lite justeres. Og han tok til orde for å designe teaching tasks som kan manipuleres - her viste han blant annet til Hoover, Mosvold & Fauskanger 2015 som jeg ikke har lest. (Og han mente at mye forskning i feltet har metodedeler som ikke gir et godt bilde av hvordan forskningen faktisk er gjort.)
Etter lunsj var det Tim Rowland som snakket ut fra tittelen "Mathematics teaching: never a dull moment". Han ville fokusere på muligheter for lærerne til å lære i undervisningen sin. Som Hoover, viste Rowland også en video knyttet til brøk (her halve og kvarte - det velkjente eksemplet hvor en elev deler et ark i fire ved hjelp av diagonaler, jf. blant andre Tall og tanke 2 s. 157). Rowland spurte hvordan du bør respondere som lærer når elevene ikke kan svare på om en firedeling basert på diagonalene fungerer. En mulighet er å gå inn i hva det vil si å være en fourth/quarter - det kan være misforståelser knyttet til det. En mulighet er også å måle arealene (men det er nok enklere å brette og sammenlikne enn å måle med måleenheter). Naturligvis kan også læreren gi hint om de vertikale og horisontale linjene som vil dele arket i åtte kongruente trekanter. (Rowland viste også et par måter lærerne kan overbevise seg selv om at de er like - med algebra og arealformler - som ikke vil egne seg for elever, men som likevel kan være viktige for at lærerne selv skal være overbevist når de skal jobbe med elevene...)
Rowland understreket viktigheten av å se på hva elevene kan forventes å kunne fra før. I dette eksemplet er det nok gjerne slik at elevene aldri har sett brøker med like store - men ikke-kongruente - deler før. Det er viktig hvilke representasjoner av brøker de har sett før og hvilke typer forklaringer vil være meningsfulle og overbevisende for elevene. Det er også viktig at læreren har en måte å avgjøre hva som er riktig (selv om det går an å sette i gang med å snakke med elevene uten selv å vite svaret.)
Rowland bruker begrepet "a set of imagined scenarios" om lærerens bilde av timen hen skal ha -"lesson image" bruker noen. Naturligvis kom han så inn på kunnskapskvartetten og spesielt contingency. Kunnskapskvartetten er empirisk basert (men formodentlig basert på vestlige klasserom). Den bygger på en tro på at det læreren gjør bygger på kunnskap. Contingent events kan være et startpunkt for at læreren skal lære. Rowland & Zazkis (2013) handler om dette. Han mener at contingent moments trigges av tre typer situasjoner: studenters ideer, læreres innsikter, (u)tilgjengelighet av verktøy og ressurser.
Det andre eksemplet han viste var fra Alan Bishop (fra 2001): tiåringer blir spurt etter brøker mellom 1/2 og 3/4, og ei jente svarer 2/3. Hun begrunner med at 2 er mellom 1 og 3, mens 3 er mellom 2 og 4. Her kan læreren velge å lete etter et moteksempel på den generelle regelen, men kan naturligvis også velge å starte med å få fram at selve svaret er riktig og undersøke flere eksempler for å se hva som skal til for at det skal fungere. (Elevens regel holder for eksempel hvis hun mener "midt mellom" og ikke bare "mellom".) Noen lærere vil naturligvis foretrekke å vise eleven "hvordan det gjøres".
Så kan man fabulere videre. (a+c)/(b+d) kalles medianten til a/b og c/d. Medianten ligger alltid mellom de to brøkene. Dette kan naturligvis bevises på ulike vis - algebraisk, geometrisk og på andre måter. Rowland brukte et eksempel med masse liter med appelsinjuice, hvor sammenblandingen av to mugger naturligvis må ha styrke som ligger mellom de to opprinnelige muggene. (Min favoritt er å tenke på fordeling av penger, pizzaer eller hva man nå har lyst til å fordele.) Han nevnte også Kleve&Solem (2015)-artikkelen fra CERME hvor det samme dukket opp - hvor også selve diskusjonen i klassa om hva som er tilstrekkelig bevis tematiseres.
Hans tredje eksempel var knyttet til trekanter med samme areal (upublisert masteroppgave fra Sandra Parada (2009). Læreren ville vise at trekanter med samme grunnlinje og samme høyde, hadde samme areal. Han klippet opp den ene trekanten og viste at han kunne få den andre (nesten...), en elev kommenterte at det ikke så ut som det passet, og læreren svarte at det skyldtes at han ikke hadde klippet nøye nok. Gjennom en rekke oppgaver jobbet elevene med å få det til, men hele tida så det ikke riktig ut. Læreren var forundret, ikke minst fordi disse oppgavene var designet sammen med mange matematikklærere. Der og da er det nok vanskelig å redde i land en slik matematikktime, men i etterkant kan man stille seg mange lærerike spørsmål: Er det i det hele tatt mulig å kutte opp en trekant slik at den kan settes sammen til en annen gitt trekant med samme grunnlinje og høyde? En måte er å gå via et rektangel - men det kan også gjøres direkte (noe Rowland viste i Geogebra for eksemplet med en rettvinklet og en likebeint trekant og til slutt mer generelt med en animasjon av Mike Naylor).
Så hørte jeg Toril Eskeland Rangnes, Rune Herheim og Suela Kacerja snakke om "Læreres posisjonering når de diskuterer indekser og BMI". Dette er koblet til et forskningsprosjekt basert på data fra et kurs for lærere om matematikk i alle fag, for 1-7-lærere (12 lærere). BMI er et eksempel på en matematisk modell - en "preskriptiv modell" (Niss 2015). Forskerne bruker et kritisk matematikkdidaktisk perspektiv samt Bakhtins dialogisme. Sentripetalkraft og sentrifugalkraft er også to begreper Bakhtin bruker (og naturligvis har lånt fra fysikken). Lærerne posisjonerer seg først som studenter som finner matematiske svar. I diskusjonen om BMI i samfunnet posisjonerer de seg annerledes - som forelder, venn, borger og student. Når de til slutt diskuterte BMI i skolen, posisjonerte de seg som lærere. Det er interessant å se hvordan posisjoneringen endres så veldig i løpet av en times diskusjon. (Jeg har et datamateriale hvor dette med posisjonering kan være et fint analyseperspektiv, så slik sett var dette et spesielt interessant innlegg for meg.)
Dermed var også den andre dagen over - faglig programmert sett. På kvelden var det lagt inn tur til Flor og fjære med omvisning og middag.
Det slår meg at det er på tide at jeg igjen sier noen metaord om bloggen. Jeg vet at det faktisk er noen som leser disse blogginnleggene, slik at den ikke lenger kun er til nytte for meg selv som en rask repetisjon idet jeg legger ut blogginnleggene og som et arkiv jeg kan søke i for å finne ut "når var det jeg hørte den snakke om det", men også leses av folk som ikke er til stede for å få et inntrykk av hva konferansen handlet om. Jeg tenker at blogginnleggene nok kan fungere greit til akkurat det. Men (som jeg har skrevet før): det er helt sikkert både mer og mindre alvorlige feil i det jeg skriver, sett fra foredragsholdernes synspunkt. Ser du interessante perspektiver nevnt her som du vil bruke til noe fornuftig, leter du naturligvis fram foredragsholdernes egne (fagfellevurderte) publikasjoner. I den grad bloggen kan brukes til kilde, blir det vel mest som en kilde til hvordan en bestemt lærerutdanner oppfatter innholdet i konferansene. (Eller - hvis man vil være mer kritisk - hvordan en bestemt lærerutdanner ønsker at det skal virke som at han oppfatter innholdet i konferansene...) Men for all del: finner du interessante tanker her, er de jo interessante (for deg) uavhengig av hva foredragsholderen (og jeg) måtte ha ment...
Innlegg
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar