En sannsynlighetsoppgave fra Lewis Carroll

I arbeidet med eleviki kom jeg over en sannsynlighetsoppgave fra Charles Dodgson (som skrev under pseudonymet Lewis Carroll). Oppgaven lød som følger, i Helge Flakstads oversettelse (vil jeg anta):

"En pung inneholder en brikke som er enten svart eller hvit. En hvit brikke av samme form legges i pungen, brikkene ristes godt om og en brikke trekkes ut. Den viser seg å være hvit. Hva er så sannsynligheten for at den siste brikken i pungen også er hvit?"

For å være helt presis: vi kan anta at vi har trukket en tilfeldig brikke fra to (en svart og en hvit), og at vi har lagt denne i pungen - slik at vi anser sannsynligheten for å være 50 % for at brikka i pungen i utgangspunktet var hvit og 50 % for at den var svart. Da er det nærliggende å tenke at etter at vi har lagt i og så fjernet en hvit brikke, er sannsynligheten fortsatt 50 %. Men det er galt. Hva er sannsynligheten?

For egen del synes jeg det her er enklest å lage en tabell:

I utgangspunktet	Hvit (50%)	Svart (50%)
Legger i en hvit	2 hvite	1 hvit og en svart
Trekker ut én	1 hvit (100% av de 50%)	1 hvit (50% av de 50%) eller en svart (50% av de 50%)
Tilbake ligger	1 hvit (50%	1 hvit (25%) eller en svart (25%)

Det viktige er at når "det viser seg" at den uttrukne er hvit, vet vi at vi forholder oss til de 75 % som er med fet skrift i tabellen. I 50/75 vil da den som ligger tilbake være hvit, altså i 2/3 av tilfellene.

(Jeg håper tabellen er leselig i din browser...)

Tangenten 1/2010

Jeg ser at Tangenten 1/2010 er på vei - ihvertfall har noe av innholdet blitt lagt ut på tidsskriftets hjemmesider. Jeg skal naturligvis lese bladet med interesse når det kommer. Men inntil videre må jeg nøye meg med å kommentere de delene av innholdet jeg allerede har lest, nemlig:

Geir Martinussen og Bjørn Smestad: Multiplikasjon og divisjon av brøk - en artikkel om hvordan multiplikasjon og divisjon av brøk kan forklares for elever. Ikke revolusjonerende stoff for oss som jobber i lærerutdanning, men vi møter overraskende ofte lærere i skolen som ikke har gode strategier for å forklare dette på rede hånd. Derfor kan det være greit med en artikkel om det. (Og for ordens skyld: Geir Martinussen har gjort det meste av arbeidet med artikkelen, mens jeg har bidratt i sluttfasen av arbeidet.)

Bjørn Smestad: Norske ressurser om matematikkhistorie - dette er en kort artikkel som refererer til den lista over ressurser om matematikkhistorie på norsk som jeg har publisert i eleviki. Den nevner kort noen av de viktigste kildene for lærere som vil vite mer om matematikkhistorie. Jeg er for øvrig fortsatt ivrig opptatt av å få flere innspill på norsk litteratur om temaet. Ved siden av at det er nyttig i seg selv å ha ei slik liste, skal jeg også legge fram en analyse av dette på en konferanse i Wien i sommer.

Utdanningsblogger

Utdanningsforbundet har laget en liste over "utdanningsblogger, ser jeg. Ikke dumt, den må jeg undersøke nærmere etter hvert.

(Jeg oppdaget lista ved at jeg har fått et knapt snes treff derfra den siste måneden...)

Kortspill om funksjoner

Jeg er glad i å lage spill som kan hjelpe elevene eller studentene å lære eller repetere matematikk.

For en stund siden laget jeg et funksjonskortspill. I tilfelle noen er interessert i å prøve det, har jeg lagt det ut her: funksjonskortspill.pdf.

Respons er velkommen. Spesielt i lærerutdanningen er det jo vel så viktig å diskutere spillet etterpå som å spille det, og da er innspill fra andre veldig velkomne.

(ps. spillereglene ligger på slutten av pdf-fila)

Tangenten 4/09: Arbeidsplaner

Ole Kristian Bergem holdt et foredrag om arbeidsplaner på matematikklærerutdanningskonferansen i Loen i fjor høst. Det kommenterte jeg i et tidligere blogginnlegg. Artikkelen i Tangenten 4/09 har en del av det samme innholdet.

Bergem er altså opptatt av de negative virkningene av arbeidsplaner, slik de framkommer i ny forskning. Norsk matematikkundervisning er allerede i overkant individualisert, men med arbeidsplaner forsterkes dette. I tillegg uttrykker elevene at det læreren gjennomgår i liten grad passer med det elevene jobber med akkurat da. Arbeidsplanene skiller heller ikke mellom skole- og hjemmearbeid, med de opplagte negative følgene det får.

Som jeg skrev i september: "Til sammen dannet Bergems konklusjoner, underbygget av en rekke sitater fra elever som var blitt intervjuet, et ganske deprimerende bilde. Hvis lærergjerningen blir redusert til å sette en toukersperiode i gang og så avslutte den to uker senere, uten å ha elevens oppmerksomhet i mellomtiden, og uten å være den som hjelper elevene når de står fast, blir det hele ganske så håpløst. Og kjedelig." Arbeid med arbeidsplaner må skje med nøye blikk for slike mulige negative konsekvenser.

Hvorfor kråkebolleoppdrettsanlegg er runde

I Tangenten 2/2006 hadde jeg en artikkel om hvordan man kan ha et undervisningsopplegg om sirkelen basert på spørsmålet "Hvorfor er ting runde?"

Jeg fikk supplert arsenalet av eksempler da jeg leste gårsdagens Aftenposten, hvor det sto følgende om oppdrett av kråkeboller: "Man har også kommet frem til at runde oppdrettskar uten skarpe hjørner er best. Kråkebollen vandrer med jevn fart, og stopper der det er mat. Uten hjerne går den seg fast i hjørner."

Sirkler egner seg altså ikke bare for intelligente formål, men også for organismer uten hjerne...

Tangenten 3/09: Matematikk på perspektivet

Svenning Bjørke har skrevet en artikkel om perspektivtegning. Perspektivtegning er jo noe som mange matematikklærere overlater til kunst og håndverklæreren (det er i begge fagplanene), men det er litt dumt. Temaet har nemlig et stort matematisk potensiale som det er fare for at kunst og håndverklæreren ikke får elevene til å se. For eksempel kan de grunnleggende reglene for perspektivtegning beskrives i matematisk språk, med henvisning til parallelle linjer, skjæringspunkter og vinkler.

Bjørke har med en interessant ”grublis”: hvis du ser en mann stå et stykke unna, hvordan kan du gi et godt anslag på hvor langt unna han er – naturligvis uten å gå bort til ham eller få han til å komme bort til deg? Løsningen på denne grublisen inneholder formlike trekanter.

Bjørke skriver også om hvordan GeoGebra kan brukes til å utforske perspektiv. Her vil jeg vise til en figur som jeg har laget og publisert i GeoGebra-wikien. Denne viser hvordan dynamiske illustrasjoner kan gi andre muligheter til å utforske perspektivtegning enn statiske tegninger kan gjøre.

Til slutt i artikkelen skriver Bjørke om det problemet at hvis vi verken vet størrelsen på en ting eller hvor langt unna det er, kan vi ikke bestemme noen av delene basert på synsinntrykket. Det minner meg om følgende sitat som jeg ikke husker helt hvor jeg har fra: ”Hvis den er så langt borte som den ser liten ut, da er den jammen stor!”

Lenke til artikkelen.