tirsdag 1. november 2016

Kreativ matematik i Sunne 2016

Et par dager i overgangen oktober/november tilbragte jeg sammen med kollega Ida på en svensk konferanse for lærere kalt Kreativ matematik, på Selma Spa i Sunne. Omkring 170 deltakere hadde  tatt veien.

Konferansens initiativtaker Janne Ekelöf startet med å minne om både de store skillene i utdanningsmuligheter mellom ulike land og om hvor enormt store endringer som har skjedd når det gjelder de digitale mulighetene. Og han forklarte at det finnes 10 typer mennesker, de som forstår og de som ikke forstår det binære tallsystemet. Karl XII foreslo tallsystem med base 64. Heldigvis ble han skutt av nordmennene før han fikk satt det ut i livet.

Mona Coldenberg fra Netsmart snakket om interaktive tavler, noe som mest var en presentasjon av Smartboard. For meg personlig var det vel ikke så mye nytt her, jeg har selv holdt noen kurs i bruk av Smartboard. Hun viste hvordan øvelser på Smartboarden kan deles med elevene slik at de også kan gjøre dem på egen skjerm. Dessverre var det bare fire av 170 deltakere som klarte å koble seg på aktiviteten i forsøket, og det illustrerer vel læreres skrekk formå bruke teknologi.

Neste foredrag var ved Hanna Almström og Pernilla Tengvall, som er lærebokforfattere på "Koll på matematik år 1-3". Deres tittel var "Att undervisa utifrån de matematiska förmågorna". "Förmågor" betyr vel i denne sammenhenger "kompetanser" (Google Translate foreslår "evner", og det blir jo noe ganske annet) og de tok utgangspunkt i de fem kompetansene problemløsningskompetanse, begrepskompetanse, metodekompetanse, kommunikasjons- og resonnementskompetanse. Hva betyr hver av dem og hvordan samvirker de? Og hvordan bedømmes de og hvordan synliggjøres de?

De ga noen eksempler på oppgaver knyttet til ulike kompetanser: "du vil ha fire deciliter i din skål. Du bruker to ulike mål. De rommer 3 dl og 5 dl. Hvordan kan du gjøre det?" Her finnes det jo flere svar. Hvordan man noterer dette - altså kommuniserer løsningene sine - er en del av kommunikasjonskompetansen. Og  hvis elevene i tillegg diskuterer ulike måter å kommunisere løsningene på, er vi inne i resonnementskompetansen.

De brukte begreper som "rimelig" og "urimelig" - hvilket hundehus er det rimelig at man velger til denne (store) hunden? Mer uklart: er det rimelig at et barn og en voksen løper like fort? Og det kan være like viktig å se på hva ting ikke er. Vi så på en "hvem skal ut"- oppgave, som er fine for å komme i gang med argumentasjon.

Som eksempel på metodekompetanse hadde de en oppgave med en mengde klosser som skulle telles, hvor man kan vurdere ulike metoder opp mot hverandre: telle vs. gruppere... Og de viste omkretsoppgaver hvor man skulle finne deler av omkretsen og så kontrollregne. Og vi så et spill hvor det skulle kastes terning og vi skulle plassere sifre i et tre- gange tre-nett og få en sum av de tre tresifrede tallene nærmest mulig 1000. Elevenes strategier utvikler seg etter hvert som man gjør det flere ganger. Så en liknende: kaster seks slag med sekserterning, begynner på 0 på en tallinje og hopper hele tiden enten antall tideler eller hundredeler. Skal komme nærmest mulig 1 uten å passere.

På ICME i sommer var jeg på et foredrag hvor en foreleser fnyste av all oppmerksomheten om "Singapore Math", siden hun mente at det ikke finnes én Singapore Math - på samme måte som det ikke finnes en norsk matematikkdidaktikk eller en amerikansk matematikkdidaktikk. Selve begrepet "Singapore Math" er nok mest et markedsføringsgrep (sikkert knyttet til at Singapore, delvis av kulturelle årsaker, gjør det godt i internasjonale tester), men det behøver jo ikke å bety at det ikke er verdifulle begreper som markedsføres under den overskriften. På denne konferansen holdt Pia Agardh og Josefine Rejler et foredrag med tittelen "Vad er hemligheten i Singapore?" De har skrevet lærebøker og holder kurs knyttet til "Singapore Math".

De startet med en aktivitet: hvordan kan man dele et kvadrat i to like store deler. (Aktiviteten er jo eldre enn alle haugene, og naturligvis finnes uendelig mange måter selv om man begrenser seg til å dele ved hjelp av én rett linje, men det kan jo også deles på andre måter enn med rette linjer...) Poenget er naturligvis å diskutere - hvordan vet man at de to delene er like store? (At dette velkjente eksemplet ble valgt sier jo noe om at det er en del velkjente elementer i "SM".) Vi fikk se en video hvor Yeap Ban Har bruker denne aktiviteten og har en klassesamtale om den. Det er mye fint med måten han underviste på, han er entusiastisk, åpen, forberedt på ulike innspill, overlater til elevene å vurdere. (Ikke ulikt "russisk matematikk" slik jeg har sett det i Sandnes.)

De legger vekt på fem hovedstikkord: stabil grund (god tall- og begrepsforståelse), aktiv problemløsning, "teaching to mastery" (lærerens sentrale rolle i gjennomtenkt undervisning), smarte visuelle verktøy, "adderar resultat". Dette gir det kjekke akronymet SATSA. Et annet velkjent prinsipp kalles her CPA (concrete-pictorial-abstract).

Timene er ofte bygget opp med en "anchor task" som man utforsker sammen, så "guided practice" (øver og lærer sammen) og til slutt "independent practice" - hver del 15-20 minutter.

Til slutt snakket de litt om "bar modelling". De viste det med en oppgave med Sofia som baker kaker, gir vekk en sjettedel til Lisa, to femtedel av det resterende til Nicklas, og så hadde hun 24 igjen. Dette kan naturligvis tegnes på mange måter, men i "Singapore Math" har man en som er vanligere enn andre, nemlig "bar modelling", som jeg ikke kan gå inn i her.

Oppsummerende må man kanskje si at varemerket "Singapore Math" framstår som en samling med velkjente undervisningsprinsipper som man har valgt ut blant det Singapore gjør, og som likner fælt på det man for eksempel lærer i lærerutdanninger rundt omkring.

Bengt Drath var siste post på mandagsprogrammet. Hans er matematikk- og naturfaglærer, og hans tittel var "Undersök, upptäck, upplev och i grunden förstå". Han startet med å si at mange sikkert har hørt ham før, men at han har byttet tittel på foredraget. Det er en fin innstilling... :-)

Han viste til Stigler som en gang understreket viktigheten av at lærere forteller hvordan de jobber. Det er et viktig grunnlag for diskusjoner om undervisning. (Nå jobber nok de fleste lærere litt mer teambasert enn at det er nødvendig å si dette, ihvertfall i Norge og ihvertfall i barneskolen.) Han fabulerte også litt rundt ulike catchwords, som 4F (fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet), 3U (undersök, upptäck, upplev), EPA (enskilt-par-alla) eller SPA (själv-par-alla), fem förmåger (og jeg legger til "SATSA"). Alle kan sikkert være fine ting å gruble over i forbindelse med undervisningen.

Han viste til eksempler fra sitt yrkesliv som naturfaglærer om hvordan elevene kan gis erfaringer som gir grunnlag for oppdagelser og opplevelser. Og at han en gang fikk nærmest en åpenbaring: hvorfor underviste han matematikk på nøyaktig den motsatte måten av naturfagsundervisningen? I matematikk startet han med konklusjonen. Dette ble en kognitiv konflikt for ham. (Han brukte her John Masons begreper om å gå fra omedvetet okunnig, via medvetet okunnig til medvetet kunnig. - Har du noen kolleger som er "dobbel O"?)

Han ga oss en oppgave om tre elever på skolevei (tolkning av graf, se https://xiblog.files.wordpress.com/2011/11/intro_funktioner.pdf). Dette er en fin oppgave for å tolke grafer ut fra en sammenheng. Etter en lang diskusjon om grafen forteller han hvordan han kan be elevene lage sine egne grafer som er mer realistiske slik de opplever sine erfaringer.

Drath var opptatt av at slike problemløsningsoppgaver utvikler alle de matematiske kompetansene. Og at det alltid er ting som ikke ligger innenfor de ulike modellene vi har for opplæring - holdninger og så videre er for eksempel viktig.

Han viste andre eksempler, for eksempel hvor elever får en sirkel og tre kvadrater (med side lik sirkelens radius og delt i hundre ruter). Elevene finner ut at det er plass til tre kvadrater og 14 småruter til. Og han viste eksempler knyttet til subtraksjon av tall (92-17) og så på ulike strategier som elever ofte kommer opp med. Når man har fått ulike strategier på tavla, kan man gi ulike oppgaver hvor elevene hele tida må ta stilling til hvilken strategi som de synes passer best. Da utvikler elevene også god talloppfatning.

Det kan bli rike diskusjoner av å kontrastere ting. For eksempel: to brøker med tre i nevner og hhv. 12x + 3 og 12x *3 i teller.

Bengt Draht er visst noe av en "kjendis" i Sverige på grunn av en film kalt "Underbar matematik", som sikkert kan være vel verdt å ta en kikk på. I nåværende læreplan står det at elevene skal få "strukturert undervisning under lærerens ledelse" - som må kunne oppfattes som et oppgjør med den ekstreme "læreren som veileder"-ideologien som fantes for noen år siden.

Etter den første dagen på en svensk konferanse for lærere er det mye å reflektere over. For det første naturligvis at mye er likt som i Norge, for det andre at selv om språket er noenlunde likt, er det en del "koder"/stammespråk som gjør det vanskelig å forstå - på samme måte som vi i Norge snakker om LK06, RLE, TPO og så videre. For det tredje at det heldigvis ikke er sjokkerende mye nytt å høre som vi i Norge ikke har fått med oss - det finnes et hav av gode undervisningsprinsipper som sirkulerer rundt og som naturligvis kan pakkes på nye måter men som det uavhengig av det er vel verdt å fortsette å snakke om.

Den andre dagen begynte med et foredrag av kollega Ida Heiberg Solem og meg selv om en firkantet ball og mangel på hull. Eller: om fantasi og virkelighet i geometriens verden. Dette ble visst godt mottatt. Etter dette måtte vi ordne utsjekk og samle tankene, så vi gikk glipp av det neste punktet på programmet.

Vi var tilbake innen Jannes innlegg om QR-koder. (Quick Response.) Han tipset oss om hvordan vi lett kan lage filmer (for eksempel med Screencast-O-Matic), legge på YouTube og lage en QR-kode (med QR Code Generator). Denne kan da deles i dokumenter etc, og kun de som har QR-koden kan se videoene. Dette kan da brukes til så mangt, for eksempel rebuser. I et opplegg med internasjonale studenter gjorde de intervjuer med hverandre, laget QR-koder som de hengte på et verdenskart, så kunne de utforske disse.

Han avsluttet med å vise noen øvelser fra Divideramera.n.nu -> øvningar. Et eksempel: lage alle tall mellom 1 og 100 ved hjelp av fire oppgitte sifre. Det blir en langvarig klasseoppgave å løse flest mulig - og på flest mulig ulike måter, og hvor elevene vil få behov for parenteser, for eksempel, etter hvert.

Etter lunsj var jeg på en økt om programmering på mellomtrinnet. Det er tydeligvis en politisk vind for programmering i skolen i Sverige, slik det jo også av og til er i Norge. Jeg lærte begrepet "datalogisk tenkning" som gir litt mer smak av problemløsning enn "programmering" eller "koding". Blant annet så vi på Scratch, som for øyeblikket ikke fungerer på iPad (bortsett fra en begrenset juniorversjon). Vi så på en del eksempler på enkle programmer, for eksempel hvor en sjetteklassing hadde laget en enkel matematikkoppgavegenerator/spill. Beebot er en lettstyrt robot som kan være gøy for barn, og vi fikk også se på en Quirkbot. Mentimeter.com bør jeg også kikke på.

Den siste seksjonen het "Varför är varje lektion i matematik viktig?" Det var Studentliteraturs Camilla Bedroth som hadde foredraget. Hun har jobbet med å tilpasse Finlands mest utbredte læreverk til svensk. Svaret hennes på spørsmålet i tittelen var at man ikke må sløse med tiden, fordi man har et begrenset antall matematikktimer i skolen - og det kan man jo være enig i, det kommer bare an på hva man mener med å sløse med tida... Hver leksjon har fire sider i boka, hvor den første inneholder det alle bør gjøre.

I Finland jobber man "envetent", sa hun: envist og medvetent. Noen snakker om "grit". Men hele foredraget virker som det har som premiss at alt går fint i Finland, mens i diskusjonen om PISA-resultater og sånt har det jo kommet fram påstander om at Finland også er et land hvor kulturen bidrar til stort press og blant annet høye selvmordstall. Det er kanskje ikke så rart at dette ikke har noen stor plass i et slikt foredrag, men det kunne kanskje vært nevnt for å hindre at alle i salen sitter og tenker på det og savner at det nevnes...

Det sjarmerende med dette reklameforedraget var jo vekten på lærerens kompetanse: læreverkets oppgave er å støtte læreren og for eksempel tilby problemløsningsoppgaver til hvert tema, men det er opp til læreren å vurdere hva som bør brukes i den konkrete timen.


Dermed var denne konferansen over. Jeg gjentar det jeg skrev lenger opp: "det finnes et hav av gode undervisningsprinsipper som sirkulerer rundt og som naturligvis kan pakkes på nye måter men som det uavhengig av det er vel verdt å fortsette å snakke om." Jeg tenker at jeg - og mange med meg - helst ikke vil skrive artikler eller snakke offentlig om annet enn det vi selv har bidratt nyskapende til. Det er synd, for hvem er det da som ivaretar alt det gode som er tenkt før?

Rosa kompetanse 2016 Dag 2

Den andre dagen av årets Rosa kompetanse-seminar startet med Nina Nakling som hadde tittelen "Fritt vilt eller vilt fritt?"Dette var et standup-innslag som sneiet innom standarder og måling, normalitet, danning, roller, flagg og ymse anna.

Neste post var parallellsesjoner. Jeg valgte å høre på Skeiv Verdens Susanne Demou Ødegaard. Hun startet med å be om innspill om hva vi ønsket oss, og det er jo alltid interessant. Først var det en øvelse for å bevisstgjøre oss om hvilke identiteter som er viktige for oss. Våre identiteter er produkt av biologi, livshistorie og kultur. Hvilke som er mest framme avhenger av kontekst/miljø og av hvilke som er under press. Det er langt mer komplekst enn "homofil muslim". Målgruppa til Skeiv Verden har stort sett felles at de er innvandrere og skeive i en eller annen forstand. Ofte går det lang tid fra første kontakt til man kommer inn på det skeive. De har også en quiz som foregår på tre språk. Det er egne møter for transpersoner. Hun problematiserte åpenhetsidylliseringen - tanken om at åpenhet er nøkkelen til lykke. Forskning viser at det forutsetter et godt primærnettverk. Ikke alle opplever at livet blir enklere når man har kommet ut. Av 30.000 asylsøkere i fjor, søkte 74 asyl på grunnlag av seksualitet. Men det er lettere å snakke om identiteten sin på en måte som er overbevisende for vestlige folk hvis man er høyt utdannet i landet man kommer fra. Analfabeter fra fattige kår kan ofte ikke snakke om det på samme måte.

Janne Bromseth var neste ut: "Skeive identiteter og interseksjonalitet - å komplisere enkle fortellinger". Interseksjonalitet handler jo om hvordan ulike maktasymmetrier spiller sammen. Hvilke som får betydning i ulike sammenhenger vil variere, jf. forrige innlegg. Hun viste ulike eksempler på kategorier, normer og hvilke grupper som er utsatt. Men interseksjonelle perspektiver trengs altså for å se disse i sammenheng. For eksempel snakket hun om aldersnormer i LHBT-bevegelsen.

Etter lunsj var det et foredrag om "Uskikkelig teologi: skeive teologiske refleksjoner rundt sex og samliv" ved Andreas Ihlang Berg. Han viste til at utvalget i kirka som utredet ekteskap og samliv kun hadde cis-kjønnede, gifte medlemmer. Dermed reduseres muligheten for å få med alternative forståelser. Han snakket om queer teori, som kan utfordre heteronormativiteten og dekonstruere kjønnsdikotomien.

For eksempel så han på bryllupet i Kaanan, og hvordan det til tider har vært tolket ikke som et heterofilt bryllup, men Jesus som gifter seg med disiplene. For eksempel finnes det bilder fra 1400-taller hvor Johannes er Jesus' brud. Og vi så Toojis video "Father" som vi diskuterte. Det er litt vanskelig å diskutere kunst i en slik setting uten å se på det som et entydig politisk budskap og snakke om hvorvidt det "fungerer". Men som kunst kan det jo tolkes som en kommentar til hvordan menigheten tenker sex med det samme de ser to menn sammen, eller som et forsøk på å trekke vakker seksualitet inn i det hellige.

Anne Kyong Sook Øfsti snakket om "Skeive familiediskurser - mangfold og framtid". Hennes utgangspunkt, som familieterapeut, er at ord virker. Hun fortalte om adoptertes opplevelse av stadig å bli spurt om "hvem er den egentlige moren din?" - slik var det i starten, men etter hvert har nordmenn vent seg til adopsjoner. I starten som familieterapeut var hun opptatt av familiebegrepet, men etter hvert ble hun mer opptatt av kjærlighetsbegrepet. Det finnes ulike kjærlighetsdiskurser, for det første den romantiske (heterofile) kjærligheten. Et alternativ er en kjærlighetsdiskurs hvor man er sammen så lenge man får selvutvikling ut av det, "så lenge det fungerer". Hun fortalte også om hvordan hun har jobbet med en trio som prøvde å få til et samliv samtidig som de hele tiden prøvde å relatere seg til den romantiske kjærlighetsdiskursen som har tosomheten som premiss.

Siste post før avslutningen var Ingun Wik og Noah Lind som snakket om "kjønnsmangfold i fremtiden". I dag kan trans bli en veldig stor del av identiteten, fordi man både må jobbe seg gjennom både sosiale utfordringer ("komme ut"?) og medisinsk apparat/Rikshospitalet. (For å få hjelp på Rikshospitalet må man krysse "rett" på et spørreskjema på vanvittig antall sider, mens for andre er det ikke noen så trang norm...)

De snakket om at løsningen dels er kunnskap og å gjøre mer av det man ellers gjør - ta folk på alvor og regne med at de selv kjenner seg selv. I framtida vil vel kjønnsnormene løses opp mer, og behandling for transfolk vil kunne bli ivaretatt av andre enn Rikshospitalet.

Jeg glemte å nevne mandagskvelden - da var det deilig middag, etterfulgt av quiz. Jeg var på lag med blant andre en LLH-leder og en professor i homohistorie. Så det var ikke bra at vi bare klarte en tredjeplass...


Dermed var årets Rosa Kompetanse-seminar over. Jeg krysser fingrene for en invitasjon også neste år.

mandag 24. oktober 2016

Rosa kompetanse 2016 Dag 1

Rosa kompetanse er et fantastisk kompetanseutviklingstiltakprosjekt som jeg har fått være så heldig å få være en del av helt siden den første nettverkssamlinger på Refsnes gods i 2006. I dag står Rosa kompetanse for kompetanseutvikling  innen helsesektoren, skolesektoren, justissektoren, barnevernet og yrkeslivet for øvrig. Hvert år (tror jeg) siden den gang har det vært årlige samlinger som har hatt som hovedformål å være en godtepose av strålende foredrag og aktiviteter for referansegruppene og andre inviterte. Årets samling var lagt til Tønsberg 24.-25. oktober.

Av uklare grunner skrev jeg ikke like omfattende notater som jeg ofte gjør, men jeg blogger nå likevel om den for å gi et innblikk.

Kristin Fridtun holdt et fabelaktig interessant og mildt humoristisk innlegg om "Alskens ord", hvor vi ble kjent med nye venner som ragr, stodin, sordin, tvitoling, tvitulling, båing, samt mer kjente ord som kjønn, sodomi, "omgang mot naturen", homoseksuell, homofil, transvestitt, queer, skeiv og ikke minst hen. (Dette var et krevende avsnitt å skrive siden Bill Gates prøvde å autokorrigere alle ordene, inkludert queer til "queerdronninga"!) Vi fikk se historiske utviklinger, som at sammekjønnsseksualitet lenge var knyttet til umandighet og bevegelsen fra å se på dette som handlinger til identitet.

Etterpå var det den beste panelsamtalen jeg kan huske å ha bivånet gjennom en lang konferansekarriere. Her diskuterte Guro Sibeko, Lene Wikander, Line Halvorsrud og Claus Jervell skeive identiteter under Heidi Marie Vestrheims kyndige ledelse. Vi fikk belyst det paradoksale i at begreper ofte er tvangstrøyer men også kan føles frigjørende og i at det er et helvetes strev å finne sin identitet men at det også er en øvelse vi har nytte av. Og det paradoksale i at det er minoritetene som stadig fininndeler sine kategorier, heterofile ser ut til å være ubekymret over å være i samme kategori som mannegruppa Ottar.

Tone Hellesund hadde et inspirerende innlegg om Skeivt arkiv, hvor vi ble kjent med Aron Åsulsen fra Kragerø og hvor Tone ba oss tenke over hva vi har i kjellere og loft av arkivverdig materiale (inkludert papirporno). Og Anders Karnell ga oss et nytt syn på noen utvalgte kunstverk, blant andre Duchamp, Oppenheim og Rauschenberg. Og "mor Rosa Kompetanse", Hanne Børke-Fykse, ga en del pekepinner på hvorfor Rosa Kompetanse fortsatt finnes etter ti år.


Innimellom var det mange gode samtaler i pausene, samt en minikonsert av Heidi Marie Westrheim. Og det var bare den første dagen!

torsdag 6. oktober 2016

Førstelektor -> dosent

Dosent er en forsker- og undervisningsstilling på samme nivå som professor, men med en annen faglig basis. Det grunnleggende kravet for å kunne tilkjennes dosentkompetanse er omfattende forsknings- og utviklingsarbeid på høyeste nivå rettet mot yrkesfeltet. All virksomhet skal dokumenteres.

I den tradisjonelle professorkompetansen, er det først og fremst den beskrivende, analytisk-reflekterende og teoretiserende kompetansen som teller. Det er også dette ”utenfrablikket” doktorgraden legger opp til – selv om det er gode eksempler på doktorgrader utviklet fra et praktisk (praksis-innenfra) ståsted. For dosenten vil utøverkompetansen være sentral, kombinert med kompetanse i å utvikle og håndtere komplekse yrkes- og profesjonsfelt, og også analyse- og refleksjonskompetanse (utenfrablikket). (Veiledende retningslinjer for søknad og vurdering av opprykk til dosent etter kompetanse - UHR).

16. april 2016 sendte jeg inn en søknad om opprykk fra førstelektor til dosent. Det ble nedsatt et sakkyndig utvalg, og rundt månedsskiftet august/september fikk jeg vite hva utvalget svarte: det hadde konkludert - "enstemmig og utvilsomt", som forskriften krever - at jeg har tilstrekkelig kompetanse til å få opprykket. Derfra var det bare å vente på at tilsettingsutvalget for slikt ved HiOA gjorde den formelle tilsettingen.

Man liker jo helst å søke om sånt når man føler seg noenlunde trygg på at man har den tilstrekkelige kompetansen. Jeg søkte nok litt tidligere enn det jeg ville ha gjort hvis jeg hadde hatt all verdens tid - på grunn av NOKUT-kravene til ny femårig lærerutdanning var det lurt å ta sjansen nå heller enn å vente noen år. Og det gikk bra. Naturligvis er jeg litt stolt, ganske glad, lettet og fornøyd over dette.

Utgangspunktet for vurderingen var det jeg hadde gjort siden opprykk til førstelektor for fem års tid siden. I den perioden har jeg publisert en del, både alene og sammen med andre, både nasjonalt og internasjonalt, både på "nivå 0", nivå 1 og nivå 2. (Noe i mitt "spesialfelt" matematikkhistorie, noe sammen med gode kolleger i MAPO-prosjektet - om matematikklærerstudenters opplevelse av praksis - og en del på andre felter.) Dette dannet nok et viktig grunnlag for at jeg kunne få opprykk. Men jeg er veldig fornøyd med at også andre deler av det jeg har gjort de siste fem årene trekkes fram som positivt: utvalget ser at det å ha en faglig lederstilling innebærer konkrete utviklingsarbeider som bør være meritterende, og de ser utadrettet virksomhet (formidling) som positivt. Spesielt er det gøy at det å ta en åremålstilling en periode altså ikke innebærer å sette karrieren "på vent" - en lederjobb i akademia er å ta med seg fagligheten sin til en ny arena.

Så møter jeg jo meg selv i døra. Da jeg selv var studieleder gratulerte jeg de som rykket opp til toppstilling men minnet samtidig om at det å få toppstilling innebærer et ansvar - ikke først og fremst at kravene til egen FoU-produksjon øker (noe de også gjør), men også at man har et ansvar for å bidra til at andres FoU-arbeid glir lettere. Ute av studielederjobben trenger jeg jo ikke å tenke sånn, men jeg har vel noen sjefer over meg som kommer til å nekte meg å slappe helt av...

Uansett: jeg er klar for at jeg resten av yrkeslivet kan plassere "dosent" foran navnet i festlige sammenhenger. (Og "professor" i engelsk språkdrakt.) Det blir nok litt uvant i starten, men egentlig helt fint.

torsdag 22. september 2016

Etterutdanningskonferansen 2016 Tønsberg Dag 4


Dag 4 startet med Per Vinje-Christensen som hadde tittelen "Fra ingeniør til matematikklærer. Utfordringer og muligheter i møte med PPU-studenter". Han startet med å påpeke at PPU er Norges største lærerutdanning (naturligvis når man ikke tar hensyn til utdanningenes lengde). Opptakskravet ved HSN er 60 studiepoeng i faget, men det kan jo variere hva disse 60 studiepoengene er - det praktiseres litt ulikt rundt omkring. I fjor ble det også spesialordning for ingeniører med 30 sp matematikk, hvor de må ta 30 studiepoeng matematikk senere. PPU-studiet består av 30 studiepoeng pedagogikk og 30 studiepoeng fagdidaktikk, og fagdidaktikken  gis ved HSN gjennom fem samlinger á to dager. Det gir kompetanse til å undervise fra 5. til 13. trinn, noe som naturligvis er et enormt spenn, og gir utfordringer.

Studentene oppleves som topp motiverte og faglig dyktige. De er fleksible i egne løsningsmetoder, men konservative når det gjelder hvordan elever bør føre sine løsninger - de skal helst bruke standardalgoritmer. Mange av studentene har sviktende kunnskaper innen enkeltemner, for eksempel sannsynlighetsregning, kombinatorikk og geometri (med konstruksjon). Vinje-Christensen viste eksempler på hvordan han jobber problemløsende og argumenterende.

En utfordring er at studentene har lært matematikk med en annen hensikt enn å undervise. På PPU får de didaktikk, men det blir ikke nok tid til å jobbe med det Ball ville kalt specialized content knowledge. Andre utfordringer er at mange har lite skrivetrening. De har dessuten få dager praksis, hvor de gjerne vil prøve alt de har lært. (Det kom spørsmål fra salen om hvorfor disse studentene må lære akademisk skriving. Det er et godt spørsmål, men de må vel ihvertfall lære fagskriving som er egnet til å skrive gode tekster for elever og kolleger. Uansett blir vel akademisk skriving en mindre utbredt utfordring for PPU når opptakskravet blir master fra 2019.)

Det som er spesielt gøy med PPU-studenter er at de kjenner matematikken fra den  virkelige verden - de vet at matematikken har en viktig rolle i mange yrker. Samtidig har de vært i yrker i rivende utvikling, og er overrasket over at skolene ikke har utviklet seg like mye. Vinje-Christensen fortalte små historiesnutter om studentene og hva de ønsker å få til, med hver sine bakgrunner og i hver sine kontekster.

Så var konferansen snart ferdig, og vi var over på en økt med informasjon. Om nasjonal deleksamen ble det sagt at den skal gis ihvertfall to ganger til, altså i høst og til våren. Det ble naturligvis diskutert om det gir mening at de som får F får "godkjent" på vitnemålet, men det ligger hos NOKUT og departementet.

Janne Fauskanger presenterte neste års etterutdanningskonferanse. Foreløpig tittel på den er "Matematikklæreres kunnskap og praksis - konsekvenser for lærerutdanning". Plenumsforedragsholdere blir Tim Rowland (Cambridge), Mark Hoover (før Thames. Michigan) og Kjersti Wæge (Trondheim), inkludert paneldebatt. Per-Einar Sæbbe og Åsmund Lillevik Gjære vil presentere sine PhD-arbeider. Tidspunkt: 18.-20. september (fra lunsj første dag til ettermiddag siste dag). Konferansen blir sannsynligvis i Stavanger.

Så snakket Ole Enge litt om ny femårig grunnskolelærerutdanning. Han viste til Karl Øyvind Jordell, som visstnok i Klassekampen har presentert regnestykker om at vi i 2030 vil mangle 25 prosent av lærerne vi trenger på 1.-7. trinn, noe som vel ikke stemmer helt med SSBs analyser. Enge snakket om ulike GLU-modeller rundt omkring, med variasjon mellom 30 og 45 studiepoeng masteroppgave. Og han pekte på føringene til de nye nasjonale retningslinjer, og spurte hvordan vi ivaretar begynneropplæring som tema - det kan være et interessant tema på neste års konferanse. Og han spurte hva vi skal mene med "bestått" på FoU-oppgaven, som er det eneste kravet for å starte på masteroppgaven. (Og FoU-oppgaven i 3. år er jo ikke nødvendigvis i det faget studentene skal ta master i.) Vi diskuterte hvordan utdanningen bør designes for å gi studentene grunnlag for å gjennomføre et masterprosjekt, og hvilke krav vi bør stille underveis (litt høyere enn dagens E-grense?)

Så snakket Anne Nakken om hva som skjer på Matematikksenteret. De har hele 35 tilsatte og holder til i Trondheim. Senteret får naturligvis sine styringssignaler fra Utdanningsdirektoratet, noe som betyr at "realfagssatsningen" er sentralt for tida. De støtter vitensentrene i arbeid for "elever med høyt læringspotensial". Realfagskommuneprosjektet er et annet stort satsningsområde, hvor matematikksenteret skal støtte UH-sektoren. Senteret jobber også med pilot i utdanning av såkalte "lærerspesialister" (60sp på masternivå), knyttet til NTNU. MAM-prosjektet ("mestre ambisiøs matematikkundervisning") er et annet prosjekt. (Der ligger det filmer som kan egne seg også i grunnutdanning.) For barnehagen er det laget ressurser som kan hjelpe personalet i hverdagen.

Til slutt sa Anne-Berit Fuglestad litt om MatRIC - senter for fremragende utdanning i matematikk. 10. oktober er det et seminar om hva det vil si å være en god matematikklærer. De skal ha årlig konferanse på Gardermoen, den neste er 19.-20. oktober.

Dermed var årets konferanse over. En stor honnør til HSN-fagmiljøet, med Lisbeth Karlsen og Signe Holm Knudtzon i spissen. Disse konferansene er gull verdt for matematikkmiljøet. En ting er det faglige utbyttet hver enkelt deltaker får av å være med - det kan jo være stort også på andre konferanser. Men her får vi anledning til å drøfte store og små problemstillinger fra lærerutdanningshverdagen, både i diskusjonsgrupper, under lunsj, på utflukt og endatil på vei til og fra konferansen. Og i tillegg blir vi altså kjent med hverandre på en måte som mange andre lærerutdanningsfag bare kan misunne oss.

Jeg må innrømme at jeg er en smule misfornøyd med at konferansen blir kortere neste år. Jeg var i sin tid sterk tilhenger av å øke lengden - en periode var konferansene fra lunsj mandag til lunsj onsdag, noe som strengt tatt bare ga tre halve dager med faglig program (når man trekker fra utflukten), og bare to kvelder sammen. Så har konferansen en periode gått fra lunsj mandag til lunsj torsdag - altså tre døgn, noe som gir en hel dag ekstra til faglig program, og en kveld ekstra sammen. Jeg mener det ga en helt annen ro til konferansen. Men dette er en diskusjon som sikkert vil rulle fram og tilbake fra år til år - noen opplever det som vanskelig å være borte fra kontoret torsdagen i tillegg til mandag-onsdag, mens andre mener at når man først reiser langt og har ryddet tre dager (og har fått reisestøtte), går det fint å rydde en dag til.

Uansett blir det fint å møte kollegene igjen i 2017!

Her er de andre innleggene om årets konferanse:
Dag 1 - Dag 2 - Dag 3

Etterutdanningskonferansen 2016 Tønsberg Dag 3

Onsdagen startet med Tamsin Meaneys foredrag knyttet til barnehagelærerutdanning. Tittelen var "Locating learning of toddlers in the individual/society and mind/body divides”. "Locating" handler om romlig orientering og "toddlers" er noe sånt som 1-4-åringer. Å orientere seg i rommet krever koordinering av en rekke sanser (syn, hørsel etc) og bevegelser. Prosjektet handler om hva locating handler om for barn - og Meaney påstår underveis at Kant, Piaget og Vygotsky tok feil. Vekten på språket undervurderer barns evner og legger for stor vekt på hva de ikke kan gjøre. (Hun viste til at hun selv ble klassifisert som et barn i aboriginersamfunn fordi hun ikke hadde utviklet evnen til å finne veien hjem hvis hun ble alene ute i naturen - det kunne 8-åringer i det samfunnet. Hva vi oppvurderer og nedvurderer er altså kulturelt bestemt.) Barn som nesten kan snakke og nesten kan gå, karakteriseres som nesten menneskelige...

Å føle høyde er en del av barns "locating" - og å føle å hoppe ned igjen. Mange studier handler om utvikling av barns språk - på bekostning av annet? Hun viste eksempler på forskning som ser på hva barn gjør, uten å vente på at de har språket til å gjøre det. Hun viste også videoer av hvordan et par barn prøver å komme seg ned. Vi ser kroppslig opplevelse av plassering, kommunikasjon for å få hjelp uten ord, problemløsning... Samtidig ser vi hvordan omgivelsene, inkludert lekeapparatene elevene leker med, påvirker hvilke erfaringer elever kan gjøre. Selv på lekeplasser er veldig mange linjer vertikale eller horisontale.

Konklusjonen et at barna lærer "locating" parallelt med at de lærer språk, og at hele kroppen er involvert i læringen. Læringen skjer gjennom problemløsning.

Så var det en økt hvor vi kunne dele erfaringer med undervisningsopplegg, jeg gikk til 1-7-delen. Siri-Malén Høynes snakket om LaUDiM, hvor de jobber med lærerstudenter med video for å utvikle kompetanse innen matematisk samtale. Fire studenter med fordypning i matematikk, en praksislærer med master i matematikkdidaktikk og en oppfølgingslærer (kontaktlærer) fra matematikk samarbeider er knyttet til prosjektet. En matematisk samtale på cirka 15 minutter blir filmet og gjenstand for etterveiledning. Inntrykket er blant annet at det er lettere å få til diskusjoner om matematikk i etterveiledningen når man har video å basere seg på. Et fokus i samtalene ble at man som lærer må jobbe med at alle skal henge med på forklaringene, ikke bare være opptatt av at den enkelte elev skal få fortalt (til læreren) hvordan hen har tenkt - det innebærer at læreren må ha oppmerksomhet om hvordan tankene til eleven som forklarer blir representert på tavla, for eksempel. Et spørsmål er naturligvis om dette prosjektet er skalerbart, men uansett er det jo interessant med studier som sier noe om hva som er mulig.

Ole Enge snakket om resonnering og bevis. Han tok utgangspunkt i en oppgave fra Delta om hvordan begrunne at produktet av to tall som ender på 5, også ender på 5. I undervisningen jobber de med modeller for multiplikasjon og også med situasjoner som viser at empiriske bevis ikke er gyldige - av og til er det langt å gå før man kommer til moteksempler. (Eksempel: er alle tall i firegangen nabo til et primtall? Men kan lett overbevise seg selv om at dette er sant, til tross for at moteksemplene finnes etter hvert.) Så arbeider de med generiske eksempler. Dernest anbefalte han oss å lese Stylanides 2008.

Sigurd Hals (HSN) snakket så om bruk av rebus i undervisningen. Med rebus mener han oppgavesamling som danner en helhet, og hvor løsning av enkeltoppgavene bidrar til helheten, og gjerne er finurlige - og hvor man krever rett løsning for å komme videre. Han foretrekker et romlig aspekt for at framgangen skal bli helt tydelig. Å lage rebus er en stor og rik, åpen oppgave. En artig vri var at studentene dannet par ved at hver studenten får en lapp som gir en brøk, og de må finne andre som har samme tall.

Camilla Rodal snakket kort om doble tallinjer og viste til artikkelen hun, Grethe og Elisabeta har skrevet i den nylig utkomne HiOA-antologien redigert av Hovik og Kleve. Hun viste fram oppgavesettet de har brukt i undervisningen, samtidig som hun forklarte forankringen i RME-undervisning.

Etter lunsj og etter at Gerd Ånestad og jeg snakket om stasjonsundervisningsopplegg om andre tallsystemer, snakket Janne Fauskanger om lesson study brukt i lærerutdanning. Noe av det viktigste er at studentene har spørsmål de vil finne ut av og at de andre studentene har konkrete ting å se etter når de observerer. Noe forskning tyder på at lesson study gjør at lærere først og fremst blir bedre på det de allerede er gode på, så i Stavanger jobber de med et rammeverk (MDI, fra Jill Adler) som retter studentenes oppmerksomhet mot viktige forhold, for eksempel det med å velge de gode eksemplene eller å planlegge hva slags bidrag de skal legge opp til å få svar på fra elevene.

Til slutt var det Suela Kacerja som snakket om "praksis (og forskning) som en del av undervisning" som er basert på et prosjekt hun har sammen med Beate Lode. Hun innledet med en introduksjon om forskning på lærerstudenters praksis, blant annet dette med at studentens "overlevelse" i praksis blir i fokus i starten. På basis av en del teori laget de et skjema for planlegging av undervisning. Hun skisserte innholdet i skjemaet og viste arbeidet med dette, men detaljene klarte jeg ikke å notere her og nå.

Så var det over i FoU-grupper, hvor folk presenterte pågående FoU-arbeider. Jeg hadde valgt gruppa for profesjonsutdanning. Anita Valenta snakket om utvikling av "ambisiøs matematikkundervisning" (Lampert, Beasley etc 2010) gjennom skolebasert etterutdanningskurs. Mange snakker om å gå bort fra "hva lærere trenger å kunne/vite" til "kjernepraksiser". (Grossmann mfl 2009) man kan finne noen aktiviteter som er "bærere" av viktige praksiser, se Lambert m fl 2013. Matematikksenteret har utviklet et materiale for arbeid med dette. I piloten var lærerne engasjerte, og diskusjonene gikk i dybden på det man skulle undervise, ikke i generelle termer.

Så snakket Ole Enge om dreiebøker (relatert til Zazkis). Han startet med å peke på at vi for noen år siden var opptatt av at studentene skulle lage mest mulig åpne opplegg - og de ble ofte veldig åpne (og gjerne litt ufokuserte). Med dreiebok mener Ole en kort samtale (10-15 minutter) som har et mål, eksempler/oppgaver, og en detaljert, tenkt dialog hvor målet blir nådd. I tillegg skal man tenke på uventede ting. Med grunnlag i dreiebøkene skal man gjennomføre samtalen i praksis. Tanken er altså at man først forestiller seg hvordan det kan være for så å kunne gjennomføre. I eksemplet han hadde var det for eksempel ingen forsøk fra læreren på å generalisere. I tillegg kunne man jobbet bedre med misoppfatninger og forberede for dem. Et spørsmål er om man kunne sette opp noen punkter som bør sikres i dreiebøkene og få studentene til å se etter disse punktene.

Så til slutt i denne økta var det Hanna Choat, som snakket om studenters læringsutbytte av digitale flervalgsprøver. Dette for å frigjøre klasseromstid og gjøre studentene klare over at det er ting de ikke har forstått. Naturligvis er det veldig vanskelig og tidkrevende å lage gode spørsmål, og Fronter er ikke akkurat brukervennlig. Men fokus her er hvordan man kan finne ut hva studentene lærer av prøvene. Hun presenterte tre ideer til design.

Et sentralt spørsmål gikk igjen i flere av presentasjonene: hvordan få samtalene om praksis til å bli konkrete nok - om matematikken? Her kan både video, lesson study og liknende ting være til hjelp. Samtidig ble jeg sittende og tenke på at de studentene som ikke underviser er en underutnyttet ressurs. I tillegg til at den som underviser bør definere klare spørsmål som hen lurer på, bør de som observerer ha klare observasjonsoppdrag. Slike oppdrag bør kanskje vi i større grad gi studenter og praksislærere eksempler på.

Så var det en økt med stipendiater på ulike stadier av sine prosjekter. Inger Nergaard snakket om "Local knowledge in mathematics teaching". "Local knowledge" er et uttrykk som har slektskap med begrepet "craft knowledge" (Ruthven), og er delt opp i localized knowledge (målbar, uttrykkbar), localized knowing (tacit knowledge som aktiveres i klasserommet) og general obligations (klasseledelse i klasserommet etc). Studien innebar både klasseromsobservasjoner og samtaler med læreren. Hun analyserte undervisningen ut fra ulike aktiviteter og viste prosentvise fordelinger, men hoveddataene er fra samtalene. Hun viste i noe detalj hvordan disse var analysert, men jeg kan naturligvis ikke gå i detalj om dette her. Hun brukte blant annet Balls kategorier, men endte med å legge til en egen kategori (KFLM - knowledge of the facilitation for the learning of mathematics, skjønt det er litt uklart for meg hvorfor dette ikke passer inn i knowledge of content and teaching. Men det er jo noe av problemet med et rammeverk som Balls - at alle finner sine egne tilleggskategorier som ikke er dekket godt nok der. Eller omvendt: mye av poenget med et rammeverk som Balls er å rette oppmerksomheten mot de mange tingene som ikke er godt nok dekket der, blant annet på grunn av at rammeverket er utviklet i en bestemt tidsperiode i bestemte kulturer...) Nergaard mente at ting som lærerens generelle ansvar, respekt for elevene, sikre klasserom og sånt hører hjemme i KLFM, mens andre kanskje ville plassere det i generell pedagogikk - forutsatt at det ikke er fagspesifikt. Hun endte opp med sin egen "ball" spesifikk for denne konkrete læreren, noe som illustrerer at Balls "ball" er egnet for å diskutere enkeltlæreres matematikkundervisningskompetanse.

Så var det Mona Røsseland som presenterte sitt prosjekt, i et innlegg med tittelen "Variasjonsteori i praksis". Utgangspunktet var forskning som viste gode resultater blant elever som ble undervist ved hjelp av premissene i variasjonsteori. Etter hvert ble prosjektet isteden en studie av hvilke faktorer som påvirker når lærerne skal bruke en variasjonsteoretisk tilnærming. Variasjonsteorien legger vekt på at ting ses på på ulike måter, avhengig av den som ser. Læring ses på en endring i hvordan man ser på noe - å lære er å skille ut spesielle egenskaper med et læringsobjekt, og undervisningen må legge til rette for at elevene skal kunne skille ut de enkelte delene - å se de kritiske faktorene. Dette handler om å holde noe uendret og endre noe annet.

I prosjektet har hun jobbet sammen med tre lærere, tre femteklasser på tre ulike skoler, og tilnærmingen kalles "learning study" (en variant av lesson study). Dataene er videoer fra planmøter, intervjuer med lærere, videoer og så videre. Hun bruker Valsiners soneteori (Valsiner 1997), som er en utvidelse av Vygotskys soneteori. Her inkluderes ZPA (Zone of Promoted Action) og ZFM (Zone of Free Movement). Dette har også utgjort kriteriene for analysen. Affektive faktorer er en del av dette. Røsseland presenterte en del foreløpige funn som jeg ikke klarer å referere her.


Så var det en liten utflukt til Slottsfjellet (eller "Tårnhumpen" som noen litt mer fjellvante folk kalte den). Dette var en liten pilegrimsferd for meg, siden en av platene jeg hørte skrekkelig mye på på tidlig 90-tall er tatt opp der: Which Witch på Slottsfjellet...

Etterutdanningskonferansen 2016 Tønsberg Dag 2

Så var det klart for dag 2, og dagen startet med parallellsesjoner. Jeg valgte Anne Watsons verksted fra morgenen av. Hun startet uten ord, bare med å sette opp noen tallmønstre på tavla. Hun fikk også en elev (Ole) opp på tavla for å løse, og etter hvert flere. Det var artig å se hvordan rutinene i matematikkundervisning er så innarbeidete at de kan foregå uten ord, samtidig er det fint å se at man kan starte en time bare med noen tall på tavla - elevene blir dratt inn og ser etter mønstre med en gang, heller enn at de man begynner med mye prat, noen administrative opplysninger og så videre. Samtidig så vi hvordan enkle oppgaver kunne trekkes over i algebraen. (Mønstrene var av typen hvor du har tre tall med lik differanse, hvor det blir interessante ting å oppdage om sammenhengen mellom produktet av de ytterste tallene og kvadratet av det midterste...) Her kan vi også få tre ulike formuleringer av det samme forholdet, alt etter om vi starter med a-2, a-1 eller a, og da blir det et poeng å kunne manipulere dem algebraisk for å se at de er ekvivalente.

Neste aktivitet var med 3xn-rutenett, og vi gjorde tilsvarende ting som man pleier å sette elever til å gjøre på et hundrenett (fargelegg multipler av 5 og se mønstre og så videre). Vi skulle se etter mønstre, og så at tallene økte med 3 fra rad til rad, at partallene dannet et fint mønster, og så videre. Så gikk vi over til et 2/3-grid (tabeller med tre kolonner hvor man hopper to og to (2, 4, 6,...) Her også var det mange mønstre å se - på min gruppe begynte vi å diskutere rytmen mellom rader som hadde sifferet 0 og rader som ikke hadde. (JJNJNJJNJN...) Og så så vi på 4/3-grid og deretter n/5-grids og til slutt 1/4-grid. Vi snakket om primtallene og mykje anna. Et hovedpoeng med verkstedet var å vise hvordan et nøye utvalg av tall i oppgavene gir en interessant progresjon i verkstedet - og hvordan problemløsningsstrategier kan inkluderes.

Så var det John Mason med en tilsvarende workshop, men denne gang om geometri. Han startet med å si at alt han sier må testes mot våre egne erfaringer, noe som er en fin start. Videre at det vi får ut av opplegget kommer an på hva som skjer i oss når vi jobber med det.

Vi startet med en (klassisk) aktivitet med en haug fotografier av noen klossetårn tatt fra ulike synsvinkler, hvor vi skulle prøve å sette opp klossene riktig. Aktiviteten gjorde det nødvendig å se nøye på detaljer. Samtidig er det viktig å arbeide sammen - hvis alle flytter på alt samtidig, blir det bare rot. Videre ble det mye prat om høyre, venstre, hva som var foran noe annet og så videre.

Så ble vi minnet på en aktivitet hvor en på gruppa fikk se et mønster, og deretter måtte forklare det til resten av gruppa med kun ord, ikke tegninger eller gester. Videre fortalte han kjapt om en artig aktivitet med sylindre, som jeg har notater på, og som spiller på det at vi alltid undervurderer lengden av omkretsen på grunnflaten sammenliknet med høyden. Dernest: en fin aktivitet hvor det er satt opp klossetårn i et 4x4-mønster, og hvor vi måtte avgjøre hvilke tårn du ser fra ulike sider (visibility counts) - kan også gjøres med desimaltall... Oppgaven kan også gjøres den andre veien, og da blir det nærmest en Sudokuvariant. Dette er generelt prinsipp: når du kan telle noe, kan du også gå den andre veien og få oppgitt antallet/antallene og rekonstruere.

Så var det til slutt et lite eksempel med et geometribevis hvor man kan starte med å spørre om hvor mange trekanter det er, for å lede oppmerksomheten et sted som trengs i beviset. Så gikk vi inn i beviset, som jeg står over her.

Disse to verkstedene ga altså til sammen et vell av aktivitetsideer, noen riktignok velkjente, men hele tiden var det et poeng hvordan nøye design av rekkefølge og talleksempler gjorde at vi oppdaget interessante ting og kom videre i utforskningen.

Neste post var Johan Aarnes, om "Tidens mysterium. Om Mayaenes tidsforståelse og astronomi". Mayaene var intenst opptatt av tid, og Aarnes har forsøkt å forstå tidsbegrepet deres. Mayaene så på tiden som syklisk, og hvor menneskers skjebne hang sammen med tid og med astronomiske hendelser. Solen, månen og planetene var guder, og når gudene møttes på himmelen var det viktige hendelser. Kinh var solen, og solens bevegelser over himmelen var naturligvis sentrale. Månens bevegelser spilte også en viktig rolle.

Aztekerne og inkaene kom mye senere enn mayaene, de utviklet skriftspråk cirka 300 fvt. Mayaenes tjuetallsystem var et posisjonssystem med tre symboler og med base tjue, men riktignok med 360 som tredje posisjon istedenfor 400.

Få av mayaenes skrifter er bevart - de fleste ble brent på 1500-tallet. Men en del vegginskripsjoner og stelaer finnes, i tillegg til noen få andre skrifter. I stelaene var det både astronomiske opplysninger og informasjon om hendelser her nede på jorda.

Som bakgrunn fortalte Aarnes også om Venus' bevegelser over himmelen. Hos mayaene var Venus koblet til en gud som skulle vende tilbake, noe som ble skjebnesvangert da Cortes kom til Amerika samtidig med at Venus kom til syne. Mange bygninger er for øvrig orientert slik at siktelinjer peker mot Venus' tilsynekomstpunkt.

Mayakalenderen var basert på to kalendre, en religiøs og en verdslig (18x20+5), og disse spiller sammen. I tillegg telte de dager for å feste hendelser i fortida - som antall dager etter "den siste skapelse". Dette kaltes "langtellingen". Sammenhengene mellom disse og inskripsjoner om månens bevegelser gjør det mulig å etterprøve datoene. Mayaene hadde også formler for å regne ut månefasene tusenvis av år tilbake i tid.

Mange mayabyer hadde zenitrør, sjakter som gjør det mulig å kontrollere når solen står i zenit. Liknende konstruksjoner gjorde det mulig å beregne det tropiske året godt. (Etter hvert som regningen ble litt komplisert å holde orden på i foredraget, måtte jeg rimeligvis konsentrere meg om å henge med, og ikke notere.)


Etter dette foredragen var det faglige programmet over, og vi dro til verdens ende og tilbake. Det var en utmerket tur.