Jeg har oppdaget at det på YouTube ligger et intervju med professor Yvette Solomon (som er professor 2 her hos oss på HiOA). Slike intervjuer burde det egentlig foreligge mer av - det er skrekkelig mange akademikere som på nettet kun finnes skriftlig...
I den første videosnutten svarer hun på spørsmålet "What is a social theory of learning?", i de neste svarer hun på:
What is the relationship between discourse analysis and social theories of learning?
What is the relationship between social theories of learning and teaching and learning?
How does an individual develop an identity with a subject?
To what extent does this identity determine a person's credibility within a Community of Practice?
How much can an individual establish a participatory relationship with a particular body of knowledge? - Is this down to an individual's choice or is it influenced by others in the community they belong to?
In what ways could this research inform teachers and lecturers engaged in the practice of teaching and learning?
What one idea or key theme would you like people to take away from this video interview?
Viser innlegg med etiketten matematikkdidaktikk. Vis alle innlegg
Viser innlegg med etiketten matematikkdidaktikk. Vis alle innlegg
mandag 15. august 2011
mandag 4. oktober 2010
Matematikk for alle?
Kunnskapsdepartementet nedsatte høsten 2009 en arbeidsgruppe til å lage en utredning om fremtidens matematikkfag. Gruppas sammensetning var tillitsvekkende:
- Carla Botten-Verboven, direktør i Norsk Industri (leder)
- Marianne Maugesten, førstelektor, Høgskolen i Østfold
- Gerd Nilsen, lektor, Furnes ungdomsskole, Ringsaker
- Rune Aigeltinger, PP-rådgiver, Andebu, Hof og Re kommuner
- Per Ødegaard, lektor, Nygård skole, Bergen
- Våril Bendiksen, rådgiver, Vox
- Tone Dalvang, seniorrådgiver, Sørlandet kompetansesenter
- Grete Normann Tofteberg, rektor, Kirkebygden skole i Østfold
- Per Aahlin, nestleder, Utdanningsforbundet
- Matematikkfaget i grunnskolen deles i to deler der den ene består av basiskompetanse og den andre er en utvidet del. Sluttvurderingen skal på samme måte være todelt. Basiskompetanse kvalifiserer for opptak til praktisk matematikk i videregående opplæring, mens den teoretiske varianten forutsetter både basis- og utvidet kompetanse.
- Retten til videregående opplæring bør utvides slik at personer som har fullført 10.klasse med basiskompetanse har rett til påbyggingskurs i utvidet pensum. Dette åpner for at de senere kan ta T-matematikken i videregående skole.
Rapporten har 23 forslag til øvrige tiltak. De lister jeg opp her. Det skal bli spennende om departementet er mer lydhøre for andre av forslagene...
Betydning av matematiske kunnskaper
1. Innsatsen for å øke den matematikkdidaktiske kompetansen hos ansatte i barnehagene bør intensiveres.
2. Staten bør øremerke midler til gjennomføring av etterutdanning i matematikk og matematikkdidaktikk. Det er viktig at alle som underviser i faget på samme skole deltar, ikke bare enkeltlærere.
3. Det bør settes i verk tiltak slik at lærere som underviser i matematikk på yrkesfag får tilstrekkelig kompetanse i de respektive yrkesfagene.
4. For å endre undervisningspraksis i skolen bør deler av FoU-midlene til UH-sektoren prioriteres til matematikkdidaktisk forskning.
5. Det bør utvikles et tettere og mer forpliktende samarbeid mellom vitensentrene og skolene for å gi vitensentrene en tydeligere rolle i å oppfylle læreplanmålene.
Lærevansker og motivasjon
6. Kommunene bør pålegges å følge opp de 15 % svakeste elevene på obligatorisk kartleggingsprøve i matematikk for 2. trinn. Oppfølgingen bør være slik som prøven anbefaler. Det bør utvikles et nasjonalt kartleggingsverktøy for 1. trinn som forløper til denne obligatoriske kartleggingsprøven med tanke på tilsvarende tilbud om oppfølging på 1. trinn.
7. Det bør gjøres forsøk med å sette inn tiltak så tidlig som mulig for å unngå lærevansker i matematikk.
8. Det bør opprettes et formalisert samarbeid mellom Statped og lærerutdannings-institusjonene for å øke forståelsen for og kompetansen på lærevansker i matematikk. Kompetansen bør utvikles både for kommende matematikklærere og for PP-rådgivere som skal utrede og tilrå i matematikkvansker.
Behovet for å ivareta spisskompetanse
9. Kunnskapsdepartementet bør legge til rette for etablering av minst 5 realfaggymnas rundt i landet, slik at elever med spesiell interesse og talent for realfag/teknologi kan få utvikle seg videre.
10. Krav om karakter 4 eller bedre fra det høyeste nivået i matematikk i videregående opplæring for opptak til det integrerte masterstudiet i teknologi ved NTNU bør opprettholdes også etter 2012. Det tilsvarende karakterkravet bør også gjøres gjeldende for opptak til bachelorstudiet i ingeniørfag.
11. Kompetanseforskriften i Opplæringsloven bør endres slik at det stilles krav om minimum 90 studiepoeng innenfor relevante fagområder for å undervise på høyeste nivå i videregående opplæring.
12. Kunnskapsdepartementet bør pålegge skoleeiere å sørge for at flere matematikklærere i videregående skole tar videreutdanning i matematikkdidaktikk.
Læreplaner
13. Matematikkfaget i grunnskolen bør deles i en basisdel og en utvidet del. I tråd med dette bør gjeldende læreplan gjennomgås og revideres. Læreplanen bør bli mer presis både med hensyn til kompetanse og arbeidsmåter. Den reviderte planen bør samtidig være mer fleksibel og ta høyde for at elever lærer i ulik takt.
14. Arbeidet, oppgavene og aktivitetene i matematikk bør tilrettelegges med ulike vanskegrader.
Læringsfellesskap
15. Det bør utvikles verktøy som på en god måte avklarer elevenes kompetanse ved overgangen mellom ulike nivå i sirkelmodellen.
16. Det bør innføres en standpunktkarakter i matematikk muntlig.
17. Eksamensformen med todelt skriftlig eksamen bør videreutvikles slik at det skapes et mer markert skille mellom en basisdel og en utvidet del. Begge delprøvene tester ferdigheter, begrepsforståelse, problemløsning og hjelpemiddelkompetanse med sammensatte problemstillinger i rike, åpne og utforskende oppgaver. Eksamen bør bestå av en oppgave fra hvert hovedområde, med økende vanskelighetsgrad.
Læremidler
18. Alle som underviser i matematikk bør ta i bruk læringsressurser som legger til rette for en mer utforskende matematikkundervisning, med fokus på grunnleggende begrepslæring og forståelse. Det gjøres for eksempel gjennom varierte arbeidsmåter og bruk av konkreter.
19. I tilknytning til alle nettbaserte læremidler bør det utvikles strukturerte opplegg som utnytter spennvidden og mulighetene til disse midlene.
Voksnes behov for matematisk kompetanse
20. Det bør opprettes en idèbank med gode eksempler på hvordan opplæringen i grunnleggende matematikkferdigheter kan relateres til ulike yrker. Det bør lyses ut prosjektmidler for å få fram gode eksempler.
21. Den kommunale voksenopplæringen bør ta ansvar for å tilrettelegge relevant opplæring i matematikk på basiskompetanse og utvidet kompetanse for alle voksne.
22. Ordningen med en egen sluttvurdering for voksne bør beholdes for å ivareta voksenaspektet i oppgaveinnholdet. Se også anbefaling om eksamensformen under kapittelet om læringsfellesskap.
23. I videregående opplæring bør voksne som har behov for det få tilbud om opplæring for å styrke sin grunnleggende matematikkompetanse. Opplæringen bør så langt det er mulig bygges opp omkring behov i arbeidsliv og videre utdanning.
onsdag 29. september 2010
Sannerkonferansen dag 4
Så var den siste dagen av konferansen kommet. (Du kan lese om dag 1, dag 2 og dag 3 (del 1 og del 2) i tidligere poster.)
Dagen startet med et plenumsforedrag fra Bodil Kleve ved Høgskolen i Oslo. Temaet var "Undervisningskunnskap i matematikk". Hun presenterte Tim Rowlands verktøy "The Knowledge Quartet" som deler undervisningskunnskap i matematikk inn i foundation, transformation, connection og contingency. (Rowland har jeg også blogget om før.) Selve de teoretiske begrepene var ikke nye for meg, men det var interessante eksempler fra arbeid med brøk i en 5. klasse. Spesielt har jeg sans for kategorien "contingency", som kanskje kan oversettes med "evnen til å takle uventede elevinnspill". I en del av eksemplene blir det veldig tydelig at læreren trenger å bruke et bredt arsenal av grunnkunnskaper, kunnskap om representasjonsformer og kobling til andre temaer for å få det ytterste ut av de gode elevinnspillene.
En fare når man ser på slike eksempler er at man blir sittende og riste på hodet over læreren som lar gode anledninger glippe gang etter gang. Det er i så fall veldig urettferdig og i tillegg lite konstruktivt. Ingen klarer å fange alle anledninger som byr seg i løpet av en undervisningsøkt, og om man skulle klare det, er det ikke opplagt at det blir en strålende undervisningsøkt likevel. Men man kan likevel ha glede av å analysere hva som gjør at noen lærere klarer å fange en del av dem.
I diskusjonen etterpå ble det mye snakk om brøkbegrepet, som eksemplene handlet om. Hvordan bør brøkdidaktikken være for at lærere skal være bedre forberedt? Her mente Ellen Hovik at vi er altfor opptatt av brøk som del av et hele (del av en enhet), og burde legge mer vekt på andre aspekter ved brøkbegrepet. Reinert Rinvold mente, i tråd med Freudenthal, at man burde legge vekt på naturlig forekommende enheter, som tid. "Kanoniske, generiske eksempler som kan generere forståelse", som han sa. Torgeir Onstad trakk parallellen til prosentbegrepet, hvor vi alltid er veldig nøye med å presisere hva det er prosent av. Hvorfor er vi ikke like nøye med det når det gjelder brøk?
Ole var opptatt av noe av det kunnskapskvartetten ikke tar opp i seg - for eksempel alle andre ting som skjer i klassa. Her er jeg imidlertid mer på linje med de som mener at andre ting som skjer i klassa i dag har en i overkant stor plass i den veiledningen studentene får i praksis, og at hvis kunnskapskvartetten kan bidra til å dreie litt av søkelyset over på mer matematiske forhold, vil det være en berikelse.
Etter dette foredraget var det parallellsesjon igjen. Jeg deltok på Trude Fosse og Beate Lodes parallellsesjon om en såkalt "skolebasert allmennlærerutdanning" (SALU). Først tenkte jeg at dette var noe i retning av "arbeidsplassbasert førskolelærerutdanning" som vi har blant annet på Høgskolen i Oslo, men det var feil. SALU-studenten er fortsatt det meste av tida på høyskolen, men har dobbelt så mye praksis i grunnskolen som det som er vanlig. Det er et spennende prosjekt, selv om det er litt vanskelig å se for seg at det kan "universaliseres" til alle lærerstudenter i Norge.
Så, på slutten, foretok Anne Fyhn en liten oppsummering av konferansen, hvor hun også trakk linjene tilbake til den første konferansen hun deltok på, hvor også Ole Skovsmose deltok. Og så la Høgskulen i Volda fram planene for neste års konferanse - den ser ut til å bli i uke 38 i Geiranger. Det høres flott ut. Og letingen etter hvem som skal ta over stafettpinnen etter Oslo og Volda ser også ut til å være godt i gang.
Som arrangører kan vi ikke være annet enn fornøyde - alt gikk som vi planla, enkelte ting over all forventning og ikke så mye dårligere enn vi hadde trodd. Hotellet stilte med god mat, fine lokaler (inkludert svømmebasseng) og god service, værgudene var vennlige under utflukten og - viktigst av alt - matematikklærerutdanningsmiljøet viste igjen at de slutter opp om konferansen, sier ja når de blir spurt om å bidra og er positive og diskusjonslystne. Slikt blir det bra konferanser av.
(Og konferansens sponsorer kan man lese om på konferansens hjemmesider.)
Dagen startet med et plenumsforedrag fra Bodil Kleve ved Høgskolen i Oslo. Temaet var "Undervisningskunnskap i matematikk". Hun presenterte Tim Rowlands verktøy "The Knowledge Quartet" som deler undervisningskunnskap i matematikk inn i foundation, transformation, connection og contingency. (Rowland har jeg også blogget om før.) Selve de teoretiske begrepene var ikke nye for meg, men det var interessante eksempler fra arbeid med brøk i en 5. klasse. Spesielt har jeg sans for kategorien "contingency", som kanskje kan oversettes med "evnen til å takle uventede elevinnspill". I en del av eksemplene blir det veldig tydelig at læreren trenger å bruke et bredt arsenal av grunnkunnskaper, kunnskap om representasjonsformer og kobling til andre temaer for å få det ytterste ut av de gode elevinnspillene.
En fare når man ser på slike eksempler er at man blir sittende og riste på hodet over læreren som lar gode anledninger glippe gang etter gang. Det er i så fall veldig urettferdig og i tillegg lite konstruktivt. Ingen klarer å fange alle anledninger som byr seg i løpet av en undervisningsøkt, og om man skulle klare det, er det ikke opplagt at det blir en strålende undervisningsøkt likevel. Men man kan likevel ha glede av å analysere hva som gjør at noen lærere klarer å fange en del av dem.
I diskusjonen etterpå ble det mye snakk om brøkbegrepet, som eksemplene handlet om. Hvordan bør brøkdidaktikken være for at lærere skal være bedre forberedt? Her mente Ellen Hovik at vi er altfor opptatt av brøk som del av et hele (del av en enhet), og burde legge mer vekt på andre aspekter ved brøkbegrepet. Reinert Rinvold mente, i tråd med Freudenthal, at man burde legge vekt på naturlig forekommende enheter, som tid. "Kanoniske, generiske eksempler som kan generere forståelse", som han sa. Torgeir Onstad trakk parallellen til prosentbegrepet, hvor vi alltid er veldig nøye med å presisere hva det er prosent av. Hvorfor er vi ikke like nøye med det når det gjelder brøk?
Ole var opptatt av noe av det kunnskapskvartetten ikke tar opp i seg - for eksempel alle andre ting som skjer i klassa. Her er jeg imidlertid mer på linje med de som mener at andre ting som skjer i klassa i dag har en i overkant stor plass i den veiledningen studentene får i praksis, og at hvis kunnskapskvartetten kan bidra til å dreie litt av søkelyset over på mer matematiske forhold, vil det være en berikelse.
Etter dette foredraget var det parallellsesjon igjen. Jeg deltok på Trude Fosse og Beate Lodes parallellsesjon om en såkalt "skolebasert allmennlærerutdanning" (SALU). Først tenkte jeg at dette var noe i retning av "arbeidsplassbasert førskolelærerutdanning" som vi har blant annet på Høgskolen i Oslo, men det var feil. SALU-studenten er fortsatt det meste av tida på høyskolen, men har dobbelt så mye praksis i grunnskolen som det som er vanlig. Det er et spennende prosjekt, selv om det er litt vanskelig å se for seg at det kan "universaliseres" til alle lærerstudenter i Norge.
Så, på slutten, foretok Anne Fyhn en liten oppsummering av konferansen, hvor hun også trakk linjene tilbake til den første konferansen hun deltok på, hvor også Ole Skovsmose deltok. Og så la Høgskulen i Volda fram planene for neste års konferanse - den ser ut til å bli i uke 38 i Geiranger. Det høres flott ut. Og letingen etter hvem som skal ta over stafettpinnen etter Oslo og Volda ser også ut til å være godt i gang.
Som arrangører kan vi ikke være annet enn fornøyde - alt gikk som vi planla, enkelte ting over all forventning og ikke så mye dårligere enn vi hadde trodd. Hotellet stilte med god mat, fine lokaler (inkludert svømmebasseng) og god service, værgudene var vennlige under utflukten og - viktigst av alt - matematikklærerutdanningsmiljøet viste igjen at de slutter opp om konferansen, sier ja når de blir spurt om å bidra og er positive og diskusjonslystne. Slikt blir det bra konferanser av.
(Og konferansens sponsorer kan man lese om på konferansens hjemmesider.)
tirsdag 28. september 2010
Sannerkonferansen dag 3 (del 2)
Etter Marit Johnsen-Høines' foredrag var det tid for paralleller. Jeg valgte Ole Einar Torkildsen og Odd Helge Mjellem Tonheim (begge Høgskulen i Volda) sitt innlegg om eksamen i lærerutdanningen. De har analysert de skriftlige eksamenene i norske lærerutdanninger, og kommet til en kjedelig konklusjon. Det viser seg at det ved mange lærerutdanninger holder å kunne grunnskolepensum for å bestå skriftlig eksamen! På enkelte høyskoler kan man til og med få karakteren A hvis man kan grunnskolepensum godt og i tillegg kan litt generell pedagogikk.
Nå er det riktignok en god del forbehold som må tas. For eksempel: den eksamenen som er analysert for Høgskolen i Oslos vedkommende er på våren i 1. klasse. Vi har i tillegg to eksamener i 2. klasse, og den muntlige eksamenen i 2. klasse teller 51 prosent av hele karakteren. (Den skriftlige i 1. år teller 16 prosent). Slik sett er det kanskje ingen skandale om noen får en god karakter på bakgrunn av solide matematikkunnskaper i grunnskolens pensum.
Men det er alltid på sin plass med en drøfting av hva slags kompetanse som skal testes og som skal gi grunnlag for karakteren i lærerutdanningene.
Etterpå deltok jeg på Leif Bjørn Skorpens parallellsesjon om "undervisningskompetanse og kommunikasjonsformer i matematikkundervisninga". Leif Bjørn og Frode Opsvik har observert i ulike klasserom og la fram noen funn. De er riktignok i en tidlig fase av analysearbeidet så langt, men det var iteressante ting å se. I de bitene vi så, framsto en lærer i en "kontrollør"-rolle, mens en annen lærer hadde mer en "tilrettelegger"-rolle. Det er vel grunn til å tro at de ulike rollene krever ulik grad av kunnskap, og at det vil være nyttig å prøve å få lærerstudentene til å se ulike typer roller og reflektere over hva slags kunnskap de kan trenge hvis de ønsker å kunne veksle mellom ulike lærerroller.
Etter Leif Bjørns innlegg var det en spennende paneldebatt med tittelen "Profesjonalisering som matematikklærere". Arrangørene hadde invitert Reidar Mosvold fra Universitetet i Stavanger og Toril Eskeland Rangnes fra Høgskolen i Bergen til å legge fram hvert sitt ståsted. Denne paneldebatten er muligens det jeg har reflektert mest over i etterkant av konferansen, og dermed kan det jeg skriver være vel så mye preget av det jeg har tenkt etterpå som av selve innholdet - det får eventuelle lesere bære over med.
Reidar Mosvold representerer et forskningsmiljø som har gått inn i Deborah Ball (og kolleger)s forskning om "undervisningskunnskap i matematikk" og vil se på dette fra et norsk perspektiv. Ball har jeg jo blogget om før. Men jeg har ikke satt meg inn i hva Ball gjør mer kvantitativt: de har utformet mengder av "items" for å teste matematikklærere, og har så sett om det er korrelasjon mellom det lærerne gjør i klasserommet og det de svarer på slike tester. Det er det visstnok. Mosvold med kolleger ser på om testene kan brukes også i Norge, uten at jeg fant ut så mye om hvordan dette konkret skal gjøres.
Toril Eskeland Rangnes la fram arbeid med praksis i samarbeid med bedrifter - det konkrete eksemplet hun ga var i samarbeid med et byggfirma. Hun snakket om at profesjonalisering handler om å utvikle beredskap til å se, tolke og utvikle sin matematikkundervisning på en reflektert måte. Hun vendte også tilbake til Skovsmoses modell om hvordan man, på basis av en "ideell situasjon" man tenker seg, bør prøve ut ideer og slik kunne reflektere bedre over "nåsituasjonen".
I diskusjonen etterpå var det noen som oppfattet at Reidar og Toril var nærmest enige - dette var nok et resultat av at de var bedt om å presentere sine egne syn og ikke å angripe den andres. (Ingen av dem var bedt spesielt om å lese seg opp på hverandres syn heller, for den del.) Tanken var at motsetningene skulle bli tydelige i løpet av debatten. For meg fungerte det fint.
En hovedmotsetning som jeg ser ut av debatten er et grunnleggende syn på "rett og galt" i matematikkdidaktikken. Finnes det noen ting som vi som matematikkdidaktikkforskere kan slå fast er rett og annet vi kan slå fast er galt? Eller er det beste vi kan håpe på å få til gode diskusjoner? Ball mener helt tydelig at vi kan lage spørsmål hvor noen svar er bedre enn andre - og at gode lærere vil svare annerledes - og bedre! - enn folk vi finner på gata. Andre vil være veldig skeptiske til å sette opp svaralternativer hvor ett skal være det beste.
Et annet hovedspørsmål som kommer opp er i hvor stor grad kunnskapen er situert i praksis. Noen vil mene at lærerkompetanse kun kan komme til uttrykk i praksis, og at det er der vi må se den. Men hvordan kan vi da forsvare at vi har skriftlige eksamener som en del av evalueringen av lærerstudentene? De fleste vil nok være enige om at det finnes kunnskaper som er nyttige å ha som lærer og som man i noen grad kan teste skriftlig. (Og så er det da også en del av Balls prosjekt å finne ut noe om samsvaret mellom de to.)
Det ble også en del spørsmål om matematikksynet til Ball. Slik Ball av og til leses, virker det som hun mener at "matematikk" er å kunne regne, bevise ting og slikt - at det er det som er hele målet for matematikkundervisningen. Hvor blir det av kulturen? Av elevenes holdninger? Av matematikkhistorien? Kan Balls modell ta inn i seg et matematikksyn hvor det å lære om fagets epistemologi er en innbakt del?
Men jeg tipper at Torgeir Onstads kommentar mot slutten av diskusjonen ble delt av mange - det er viktig å ha "multiple perspectives", hvis to ulike måter å arbeide med matematikkompetanse på kan gi oss ulike innsikter, trenger vi ikke å velge det ene foran det andre.
For egen del synes jeg Balls teorier er spesielt nyttige for å synliggjøre hva slags matematikkunnskaper som er nyttige for en lærer, og et nyttig redskap for diskusjon med studentene. Testregimet vet jeg for lite om til å mene noe om det.
Så var det over på parallellsesjoner igjen. Anne Fyhn hadde en parallellsesjon om samisk matematikk, og med spørsmålet om vi trenger en samisk fagplan i matematikk. Hvorfor er matematikk så spesielt at vi ikke har samisk fagplan i akkurat dette faget? Hun ga flere interessante eksempler på hvordan matematikken påvirkes av språket og kulturen.
Arne Jakobsen hadde en parallellsesjon som handlet om undervisningskunnskap i matematikk (altså det samme som Reidar Mosvold snakket om) og siden han har hatt et opphold ved University of Michigan kunne han fortelle om hvordan ting ble gjort der. Det var interessant å høre om, men vanskelig å oppsummere. Han hadde med kun ett eksempel på en flervalgsoppgave, og i diskusjonen ble vi ikke helt enige om det var en god oppgave. Det ble også diskusjon om hvor i Balls modell de enkelte kompetanser passer (men for egen del er jeg ikke så opptatt av at ting skal kunne plasseres et entydig sted - kategoriene kan være ulike aspekter ved en kompetanse).
Og dermed var en lang dag på det nærmeste slutt. Middagen hadde forstavelsen "fest-" og innebar mye god mat og godt drikke - og tidenes beste Takk-for-maten-tale. Videoen av den tror jeg at jeg ikke legger ut offentlig.
Nå er det riktignok en god del forbehold som må tas. For eksempel: den eksamenen som er analysert for Høgskolen i Oslos vedkommende er på våren i 1. klasse. Vi har i tillegg to eksamener i 2. klasse, og den muntlige eksamenen i 2. klasse teller 51 prosent av hele karakteren. (Den skriftlige i 1. år teller 16 prosent). Slik sett er det kanskje ingen skandale om noen får en god karakter på bakgrunn av solide matematikkunnskaper i grunnskolens pensum.
Men det er alltid på sin plass med en drøfting av hva slags kompetanse som skal testes og som skal gi grunnlag for karakteren i lærerutdanningene.
Etterpå deltok jeg på Leif Bjørn Skorpens parallellsesjon om "undervisningskompetanse og kommunikasjonsformer i matematikkundervisninga". Leif Bjørn og Frode Opsvik har observert i ulike klasserom og la fram noen funn. De er riktignok i en tidlig fase av analysearbeidet så langt, men det var iteressante ting å se. I de bitene vi så, framsto en lærer i en "kontrollør"-rolle, mens en annen lærer hadde mer en "tilrettelegger"-rolle. Det er vel grunn til å tro at de ulike rollene krever ulik grad av kunnskap, og at det vil være nyttig å prøve å få lærerstudentene til å se ulike typer roller og reflektere over hva slags kunnskap de kan trenge hvis de ønsker å kunne veksle mellom ulike lærerroller.
Etter Leif Bjørns innlegg var det en spennende paneldebatt med tittelen "Profesjonalisering som matematikklærere". Arrangørene hadde invitert Reidar Mosvold fra Universitetet i Stavanger og Toril Eskeland Rangnes fra Høgskolen i Bergen til å legge fram hvert sitt ståsted. Denne paneldebatten er muligens det jeg har reflektert mest over i etterkant av konferansen, og dermed kan det jeg skriver være vel så mye preget av det jeg har tenkt etterpå som av selve innholdet - det får eventuelle lesere bære over med.
Reidar Mosvold representerer et forskningsmiljø som har gått inn i Deborah Ball (og kolleger)s forskning om "undervisningskunnskap i matematikk" og vil se på dette fra et norsk perspektiv. Ball har jeg jo blogget om før. Men jeg har ikke satt meg inn i hva Ball gjør mer kvantitativt: de har utformet mengder av "items" for å teste matematikklærere, og har så sett om det er korrelasjon mellom det lærerne gjør i klasserommet og det de svarer på slike tester. Det er det visstnok. Mosvold med kolleger ser på om testene kan brukes også i Norge, uten at jeg fant ut så mye om hvordan dette konkret skal gjøres.
Toril Eskeland Rangnes la fram arbeid med praksis i samarbeid med bedrifter - det konkrete eksemplet hun ga var i samarbeid med et byggfirma. Hun snakket om at profesjonalisering handler om å utvikle beredskap til å se, tolke og utvikle sin matematikkundervisning på en reflektert måte. Hun vendte også tilbake til Skovsmoses modell om hvordan man, på basis av en "ideell situasjon" man tenker seg, bør prøve ut ideer og slik kunne reflektere bedre over "nåsituasjonen".
I diskusjonen etterpå var det noen som oppfattet at Reidar og Toril var nærmest enige - dette var nok et resultat av at de var bedt om å presentere sine egne syn og ikke å angripe den andres. (Ingen av dem var bedt spesielt om å lese seg opp på hverandres syn heller, for den del.) Tanken var at motsetningene skulle bli tydelige i løpet av debatten. For meg fungerte det fint.
En hovedmotsetning som jeg ser ut av debatten er et grunnleggende syn på "rett og galt" i matematikkdidaktikken. Finnes det noen ting som vi som matematikkdidaktikkforskere kan slå fast er rett og annet vi kan slå fast er galt? Eller er det beste vi kan håpe på å få til gode diskusjoner? Ball mener helt tydelig at vi kan lage spørsmål hvor noen svar er bedre enn andre - og at gode lærere vil svare annerledes - og bedre! - enn folk vi finner på gata. Andre vil være veldig skeptiske til å sette opp svaralternativer hvor ett skal være det beste.
Et annet hovedspørsmål som kommer opp er i hvor stor grad kunnskapen er situert i praksis. Noen vil mene at lærerkompetanse kun kan komme til uttrykk i praksis, og at det er der vi må se den. Men hvordan kan vi da forsvare at vi har skriftlige eksamener som en del av evalueringen av lærerstudentene? De fleste vil nok være enige om at det finnes kunnskaper som er nyttige å ha som lærer og som man i noen grad kan teste skriftlig. (Og så er det da også en del av Balls prosjekt å finne ut noe om samsvaret mellom de to.)
Det ble også en del spørsmål om matematikksynet til Ball. Slik Ball av og til leses, virker det som hun mener at "matematikk" er å kunne regne, bevise ting og slikt - at det er det som er hele målet for matematikkundervisningen. Hvor blir det av kulturen? Av elevenes holdninger? Av matematikkhistorien? Kan Balls modell ta inn i seg et matematikksyn hvor det å lære om fagets epistemologi er en innbakt del?
Men jeg tipper at Torgeir Onstads kommentar mot slutten av diskusjonen ble delt av mange - det er viktig å ha "multiple perspectives", hvis to ulike måter å arbeide med matematikkompetanse på kan gi oss ulike innsikter, trenger vi ikke å velge det ene foran det andre.
For egen del synes jeg Balls teorier er spesielt nyttige for å synliggjøre hva slags matematikkunnskaper som er nyttige for en lærer, og et nyttig redskap for diskusjon med studentene. Testregimet vet jeg for lite om til å mene noe om det.
Så var det over på parallellsesjoner igjen. Anne Fyhn hadde en parallellsesjon om samisk matematikk, og med spørsmålet om vi trenger en samisk fagplan i matematikk. Hvorfor er matematikk så spesielt at vi ikke har samisk fagplan i akkurat dette faget? Hun ga flere interessante eksempler på hvordan matematikken påvirkes av språket og kulturen.
Arne Jakobsen hadde en parallellsesjon som handlet om undervisningskunnskap i matematikk (altså det samme som Reidar Mosvold snakket om) og siden han har hatt et opphold ved University of Michigan kunne han fortelle om hvordan ting ble gjort der. Det var interessant å høre om, men vanskelig å oppsummere. Han hadde med kun ett eksempel på en flervalgsoppgave, og i diskusjonen ble vi ikke helt enige om det var en god oppgave. Det ble også diskusjon om hvor i Balls modell de enkelte kompetanser passer (men for egen del er jeg ikke så opptatt av at ting skal kunne plasseres et entydig sted - kategoriene kan være ulike aspekter ved en kompetanse).
Og dermed var en lang dag på det nærmeste slutt. Middagen hadde forstavelsen "fest-" og innebar mye god mat og godt drikke - og tidenes beste Takk-for-maten-tale. Videoen av den tror jeg at jeg ikke legger ut offentlig.
lørdag 25. september 2010
Sannerkonferansen dag 3 (del 1)
Den tredje dagen av Sannerkonferansen var den mest innholdsrike faglig sett (ganske enkelt fordi den verken inneholdt ankomst, utflukt eller avreise). Dagen startet med et foredrag av Marit Johnsen-Høines om "Undersøkelseslandskap – som didaktisk grep – utfordring for læreres kritiske kompetanser".
Rettere sagt startet dagen med en svømmetur (for mitt vedkommende) etterfulgt av frokost og så – før foredraget – en liten påminnelse om at miljøet trenger at noen fagmiljøer får fornøyelsen av å arrangere konferansen etter at Volda og Oslo er ferdig med sin periode i 2011.
Og før Marit slapp til brukte jeg et par-tre minutter til å minne om den sentrale stillingen Marit har i norsk matematikkdidaktikkhistorie. Hun er jo aller mest kjent for "Begynneropplæringen", som kom på begynnelsen av 80-tallet men som fortsatt er pensum på mange norske lærerutdanninger. Det sier sitt om ideenes slitestyrke. Marit er fra Sauda, og etter å ha fullført sin lærerutdanning ved Bergen Lærerhøgskole i 1967 jobbet hun i grunnskolen i 18 år. Denne sterke praksistilknytningen har preget arbeidet senere.
Caspar Forlag ble stiftet i mai 1981 av Marit Johnsen Høines og Stieg Mellin-Olsen. I dag, når matematikkdidaktikken har fått en så sterk plass i lærerutdanningen at også de kommersielle forlagene flokker til med utgivelser, kan det være vanskelig å forstå viktigheten av Caspar. På den tida besto matematikklærerutdanningsmiljøene for en stor del av en eller to personer på de fleste høyskolene. Kongstanken til Caspar var ikke bare å trykke bøker, men å utvikle, utprøve og diskutere ideer som så ble utviklet til bøker av høy kvalitet.
Marit har også vært en sentral miljøbygger på annet vis, blant annet ved å arrangere konferanser. Hun arrangerte sammen med Bjørg Kristin Selvik Nordisk matematikklærerkonferanse i Nordfjordeid i august 1997. Der ble LAMIS, Landslaget for matematikk i skolen, startet. Og hun var leder for PME i Bergen i 2004.
Hun tok sin doktorgrad i 2002; ”Fleksible språkrom. Matematikklæring som tekstutvikling” og er i dag også blitt professor. Det er godt å se professorer med solid kontakt med praksis.
(Jepp, jeg innser at bildet av konferansen blir noe skjevt når jeg nærmest siterer ordrett det jeg selv sier og bare kort oppsummerer alt det andre som skjer, men slik er det i bloggverdenen...)
Marit startet foredraget med et bilde fra Stieg Mellin-Olsen. En person får hvert år et verktøy som presang. Han ser nytten av verktøyene og setter pris på gaven. Så et år får han et verktøy som han ikke vet hva kan brukes til. Men han vet at verktøyene han får vanligvis kan brukes til noe fornuftig, så han bruker villig sin fantasi til å prøve å finne ut hva det kan brukes til. Kanskje ender det med at han henger det på veggen uten helt å ha nådd i mål. Så får han et nytt verktøy. Kanskje bruken av det kaster lys over hva det forrige kunne brukes til. Poenget med historien er (slik jeg forstår den) at vi som lærere ikke må være så hysterisk redd for at ikke alt vi gir elevene skal ha umiddelbar effekt. Så lenge elevene har en grunnleggende tillit til at det vi legger opp til har en ”nytte”, kan de selv bidra i utforskningen av nøyaktig hva denne nytten måtte være.
Marit snakket så om ”mathemacy”, om ”empowerment” og så om sitt nåværende praksisprosjekt. Der skal studenter i allmennlærerutdanningen gå i samarbeid med en bedrift for å skape ny undervisning for elevene ute i skolen. Marit fortalte fra ett slikt studentprosjekt (skjønt hun sikkert ville protestere på begrepet ”studentprosjekt”, fordi det er et felles prosjekt for studenter, praksislærer og høyskolelærer) hvor en elev, etter å ha vært i undervisning i en butikk, plutselig sitter under pulten sin og prøver å se hvor mange (modell)pizzadisker det er plass til under pulten. (Studentene hadde nettopp vært opptatt av å gi elevene innblikk i volum som begrep.) Eksemplet hun ga kan tolkes som et undersøkelseslandskap for elevene – læreren har invitert til og elevene realiserer, et undersøkelseslandskap. Men viktigere i denne sammenheng: hele prosjektet er en invitasjon til studentene om å se på praksis som et undersøkelseslandskap.
Marit tok tak i Oles velkjente modell hvor ”oppgavediskursen” er på venstresiden og ”undersøkelseslandskaper” er på den høyre siden, og presenterte så en ny modell hvor undervisning ”ut fra formulerte rammer og modeller” er på den venstre siden og ”utforskende tilnærming” er på den høyre. Dette ble da en modell for undersøkelseslandskaper i matematikkfagets praksis. (Den andre dimensjonen ble noe sånt som observasjon, veiledet praksis, samarbeidende praksis.)
Jeg synes dette er en interessant tilnærming til praksis – at studentene må se praksis som et sted for utprøvning, ikke som et sted for å vise at de allerede behersker undervisning i sin fulle bredde.
Marit viste også en modell fra Skovsmose hvor poenget er at vi må bruke vår pedagogiske fantasi til å forestille oss en ”ideell” situasjon – forestille oss noe annet enn den nåværende situasjon. Så kan vi eksperimentere og på den måten arrangere en situasjon, og så kritisk reflektere over denne arrangerte situasjonen og se hvordan den forholder seg til den ”ideelle” situasjonen. Slik kan vi oppnå innsikter som muligens kan bringe nåsituasjonen nærmere den ideelle situasjonen.
Marit pekte også på noen andre positive konsekvenser av en slik tilnærming til praksis: studentene innser at de er med på å prøve ut noe, og det man i etterkant diskuterer er ikke om enkeltstudenten behersket å pusse av tavla, men om det var interessante ting å finne i det man har prøvd ut. Det skaper distanse til evaluering av studentene. Marit kalte det at man går fra personliggjøring til tingliggjøring av erfaringene.
Et påtrengende spørsmål er likevel om ikke studentene må ha en viss fortrolighet med undervisning (”nå-situasjonen”) før det gir mening å prøve ut noe særlig – omtrent som man i forskning gjerne ønsker en nullhypotese når man gjør endringer. Her vil sannsynligvis de fleste mene at det er viktig å ha begge aspekter med. Som Marit sa: hvis man helt mister høyresiden i tabellen, vil også venstresiden forandre karakter.
Diskusjonen etterpå klarte jeg ikke å notere noe særlig fra, av den enkle grunn at jeg var ordstyrer. Men jeg fikk med meg at Ole lanserte begrepet ”Teacheracy” som parallell til ”Mathemacy”, og han antydet at pedagogisk fantasi, refleksjon (eller coflexion – collective reflection) var sentrale deler av en ”Teacheracy”.
Og jeg husker rimeligvis hva jeg selv sa – at foredraget til Marit ga grunn til å tenke over rammene for vår egen praksisopplæring. I undersøkelseslandskaper er ”invitasjon” et viktig element – at læreren inviterer elevene til å utforske. På hvilke måter inviterer vi studentene til å utforske i praksis? Er våre veiledningsskjemaer, med sine rubrikker og krav til ”velbegrunnet” og ”velreflektert” for lite interessert i å prøve ting man er utrygg på?
Jeg ser at dette innlegget blir urimelig langt hvis jeg ikke avbryter her – og forteller om resten av tredje dag senere.
Rettere sagt startet dagen med en svømmetur (for mitt vedkommende) etterfulgt av frokost og så – før foredraget – en liten påminnelse om at miljøet trenger at noen fagmiljøer får fornøyelsen av å arrangere konferansen etter at Volda og Oslo er ferdig med sin periode i 2011.
Og før Marit slapp til brukte jeg et par-tre minutter til å minne om den sentrale stillingen Marit har i norsk matematikkdidaktikkhistorie. Hun er jo aller mest kjent for "Begynneropplæringen", som kom på begynnelsen av 80-tallet men som fortsatt er pensum på mange norske lærerutdanninger. Det sier sitt om ideenes slitestyrke. Marit er fra Sauda, og etter å ha fullført sin lærerutdanning ved Bergen Lærerhøgskole i 1967 jobbet hun i grunnskolen i 18 år. Denne sterke praksistilknytningen har preget arbeidet senere.
Caspar Forlag ble stiftet i mai 1981 av Marit Johnsen Høines og Stieg Mellin-Olsen. I dag, når matematikkdidaktikken har fått en så sterk plass i lærerutdanningen at også de kommersielle forlagene flokker til med utgivelser, kan det være vanskelig å forstå viktigheten av Caspar. På den tida besto matematikklærerutdanningsmiljøene for en stor del av en eller to personer på de fleste høyskolene. Kongstanken til Caspar var ikke bare å trykke bøker, men å utvikle, utprøve og diskutere ideer som så ble utviklet til bøker av høy kvalitet.
Marit har også vært en sentral miljøbygger på annet vis, blant annet ved å arrangere konferanser. Hun arrangerte sammen med Bjørg Kristin Selvik Nordisk matematikklærerkonferanse i Nordfjordeid i august 1997. Der ble LAMIS, Landslaget for matematikk i skolen, startet. Og hun var leder for PME i Bergen i 2004.
Hun tok sin doktorgrad i 2002; ”Fleksible språkrom. Matematikklæring som tekstutvikling” og er i dag også blitt professor. Det er godt å se professorer med solid kontakt med praksis.
(Jepp, jeg innser at bildet av konferansen blir noe skjevt når jeg nærmest siterer ordrett det jeg selv sier og bare kort oppsummerer alt det andre som skjer, men slik er det i bloggverdenen...)
Marit startet foredraget med et bilde fra Stieg Mellin-Olsen. En person får hvert år et verktøy som presang. Han ser nytten av verktøyene og setter pris på gaven. Så et år får han et verktøy som han ikke vet hva kan brukes til. Men han vet at verktøyene han får vanligvis kan brukes til noe fornuftig, så han bruker villig sin fantasi til å prøve å finne ut hva det kan brukes til. Kanskje ender det med at han henger det på veggen uten helt å ha nådd i mål. Så får han et nytt verktøy. Kanskje bruken av det kaster lys over hva det forrige kunne brukes til. Poenget med historien er (slik jeg forstår den) at vi som lærere ikke må være så hysterisk redd for at ikke alt vi gir elevene skal ha umiddelbar effekt. Så lenge elevene har en grunnleggende tillit til at det vi legger opp til har en ”nytte”, kan de selv bidra i utforskningen av nøyaktig hva denne nytten måtte være.
Marit snakket så om ”mathemacy”, om ”empowerment” og så om sitt nåværende praksisprosjekt. Der skal studenter i allmennlærerutdanningen gå i samarbeid med en bedrift for å skape ny undervisning for elevene ute i skolen. Marit fortalte fra ett slikt studentprosjekt (skjønt hun sikkert ville protestere på begrepet ”studentprosjekt”, fordi det er et felles prosjekt for studenter, praksislærer og høyskolelærer) hvor en elev, etter å ha vært i undervisning i en butikk, plutselig sitter under pulten sin og prøver å se hvor mange (modell)pizzadisker det er plass til under pulten. (Studentene hadde nettopp vært opptatt av å gi elevene innblikk i volum som begrep.) Eksemplet hun ga kan tolkes som et undersøkelseslandskap for elevene – læreren har invitert til og elevene realiserer, et undersøkelseslandskap. Men viktigere i denne sammenheng: hele prosjektet er en invitasjon til studentene om å se på praksis som et undersøkelseslandskap.
Marit tok tak i Oles velkjente modell hvor ”oppgavediskursen” er på venstresiden og ”undersøkelseslandskaper” er på den høyre siden, og presenterte så en ny modell hvor undervisning ”ut fra formulerte rammer og modeller” er på den venstre siden og ”utforskende tilnærming” er på den høyre. Dette ble da en modell for undersøkelseslandskaper i matematikkfagets praksis. (Den andre dimensjonen ble noe sånt som observasjon, veiledet praksis, samarbeidende praksis.)
Jeg synes dette er en interessant tilnærming til praksis – at studentene må se praksis som et sted for utprøvning, ikke som et sted for å vise at de allerede behersker undervisning i sin fulle bredde.
Marit viste også en modell fra Skovsmose hvor poenget er at vi må bruke vår pedagogiske fantasi til å forestille oss en ”ideell” situasjon – forestille oss noe annet enn den nåværende situasjon. Så kan vi eksperimentere og på den måten arrangere en situasjon, og så kritisk reflektere over denne arrangerte situasjonen og se hvordan den forholder seg til den ”ideelle” situasjonen. Slik kan vi oppnå innsikter som muligens kan bringe nåsituasjonen nærmere den ideelle situasjonen.
Marit pekte også på noen andre positive konsekvenser av en slik tilnærming til praksis: studentene innser at de er med på å prøve ut noe, og det man i etterkant diskuterer er ikke om enkeltstudenten behersket å pusse av tavla, men om det var interessante ting å finne i det man har prøvd ut. Det skaper distanse til evaluering av studentene. Marit kalte det at man går fra personliggjøring til tingliggjøring av erfaringene.
Et påtrengende spørsmål er likevel om ikke studentene må ha en viss fortrolighet med undervisning (”nå-situasjonen”) før det gir mening å prøve ut noe særlig – omtrent som man i forskning gjerne ønsker en nullhypotese når man gjør endringer. Her vil sannsynligvis de fleste mene at det er viktig å ha begge aspekter med. Som Marit sa: hvis man helt mister høyresiden i tabellen, vil også venstresiden forandre karakter.
Diskusjonen etterpå klarte jeg ikke å notere noe særlig fra, av den enkle grunn at jeg var ordstyrer. Men jeg fikk med meg at Ole lanserte begrepet ”Teacheracy” som parallell til ”Mathemacy”, og han antydet at pedagogisk fantasi, refleksjon (eller coflexion – collective reflection) var sentrale deler av en ”Teacheracy”.
Og jeg husker rimeligvis hva jeg selv sa – at foredraget til Marit ga grunn til å tenke over rammene for vår egen praksisopplæring. I undersøkelseslandskaper er ”invitasjon” et viktig element – at læreren inviterer elevene til å utforske. På hvilke måter inviterer vi studentene til å utforske i praksis? Er våre veiledningsskjemaer, med sine rubrikker og krav til ”velbegrunnet” og ”velreflektert” for lite interessert i å prøve ting man er utrygg på?
Jeg ser at dette innlegget blir urimelig langt hvis jeg ikke avbryter her – og forteller om resten av tredje dag senere.
onsdag 22. september 2010
Sannerkonferansen dag 2
Dag to på konferansen ble innledet av et plenumsforedrag av Ole Skovsmose. Ole er jo en internasjonal kapasitet som vi er veldig glade for å ha her. Tittelen på hans foredrag var ”Kritik som fælles ressource”.
Ole startet med en kritikk av utviklingen i dagens skole: han ba oss tenke oss at vi reiste til et land langt borte og oppdaget en masse barn som var altfor tynne. De hadde tynne, skrøpelige armer og tydelig avmagrede ben. Naturligvis ville vi gå til aksjon umiddelbart, og gå til innsamling av badevekter til disse barna. Vi ville sørge for at de kunne veie seg jevnlig. Absurd, ikke sant? Så ba han oss tenke oss et land ikke så langt borte, hvor masse barn hadde altfor tynne matematikkunnskaper. Barna hadde mange problemer med matematikk som ville gi dem problemer gjennom livet. Vi ville umiddelbart gå til aksjon og lage tester slik at barna kunne testes jevnlig.
Dagens testregime i skolen kaller Ole ”badevektsyndromet”. (I de kretser jeg ellers vanker, kaller man isteden situasjonen før testregimet for ”å hoppe høyde uten list” (man prøver og prøver, men vet aldri om det man gjør fører til forbedring eller ikke). Jeg synes fortsatt at det beste argumentet for et utbredt testregime er en artikkel i Aftenposten for noen år siden hvor man kunne påvise at elevene på en skole nå kunne lese bedre enn før, og hvor lærerne sa at det var fordi man nå fokuserte på lesing. Hva fokuserte man på før? Det vet jeg ikke.)
Men badevektsyndromet var bare en innledning til et foredrag hvor Ole snakket om kritisk pedagogikk og prøvde å utvide innholdet i dette. Han satte opp den tradisjonelle ”kritiske pedagogikk” og satte opp mot denne en alternativ kritisk pedagogikk. I foredraget ble disse kalt ”det blå landskap” og ”det røde landskap” (og disse var ikke politisk ment). I det blå landskap ruver ord som ”analytisk innsikt”, ”grad av sikkerhet”, ”velargumentert politisk posisjon” og ”velbegrunnet pedagogisk strategi”, mens i det røde landskap finnes rom for bekymring, usikkerhet, søken/eksperimentering og pedagogisk fantasi.
Dette var det ikke helt lett å få tak på for undertegnede, men en del av Oles poenger ble tydeliggjort av gode eksempler og anekdoter. Han snakket om den gangen han skulle ha foredrag for lærere og egentlig skulle snakke om prosjektmetodikk i streng forstand. Han forsto der og da at dette ville bli helt galt – for skråsikkert og ferdigtygd – og diskuterte isteden undersøkelseslandskaper og at læreren har ulike valgmuligheter. Han snakket om elevens ”forgrunner”, som er det motsatte av elevens bakgrunn. Elevens forgrunn er det eleven forestiller seg om sin egen framtid – Ole mener at dette påvirker elevens nåtid kanskje like mye som bakgrunnen. Han snakket om eksempler på kritisk matematikkundervisning som ble så tett knyttet til barnas hverdag at de ikke lærte de tingene de trengte for å komme inn på videre skole – ”kritisk matematikkundervisning som parkeringsplass”. Og han snakket om mange ting som jeg slett ikke husker.
Og han snakket om pedagogisk fantasi. At vi må makte å tenke at ting kunne vært annerledes, og vurdere andre alternativer. ”Vi” er både lærere og elever.
Foredraget varte i en drøy time, og ble etterfulgt av over tre kvarter med diskusjon. Foredraget trigget altså forsamlingen. Noe av diskusjonen handlet om i hvor stor grad dette var et oppgjør med den tradisjonelle ”kritiske matematikkundervisning” og i hvor stor grad det kun var et ønske om å utvide rammene og nyansere det feltet. En annen del av diskusjonen handlet om forutsetningene for å gå inn i tvilen og usikkerheten – mange av oss tenker nok at læreren må være trygg på seg selv for å tørre å gå inn i undersøkelseslandskaper sammen med elevene, for eksempel. Og en tredje del av diskusjonen handlet om hvorvidt vårt akademiske miljø åpner for at man fabulerer om ting som har med tvil og usikkerhet å gjøre – vi vil jo gjerne ha sikkerhet.
Jeg klarer ikke nå å yte foredraget mer rettferdighet enn det jeg har gjort her, og det er bare å beklage. Det skyldes dels foredragets form og dels mine begrensninger. Men jeg tror mange fikk mye å tenke videre på og begreper å tenke videre med etter foredraget. For egen del var kanskje ”forgrunn”-begrepet det mest interessante – selv om det ikke er noe helt nytt begrep, er det relativt nytt for meg.
Resten av dagen gikk med til FoU-grupper. På min gruppe arbeidet vi en god del med regnestrategier i addisjon, noe som er nyttig for meg som snart skal undervise om det igjen. Frode Sirnes Larsen hadde interessante ting å legge fram her. Vi snakket om filosofiske samtaler med Lars Reinholdtsen, om Smartboard med Gjertrud Indresæter og om eksamensoppgaver knyttet til Oslo med Anne Birgitte Fyhn. Disse samtalene er vanskeligere å referere fra enn foredragene – de inneholder jo også til dels upubliserte ting som kun var ment for intern drøfting.
Og så var vi ute ved søsterkirkene og fikk omvisning og orgelkonsert. Og enda er vi bare halvveis på konferansen.
Ole startet med en kritikk av utviklingen i dagens skole: han ba oss tenke oss at vi reiste til et land langt borte og oppdaget en masse barn som var altfor tynne. De hadde tynne, skrøpelige armer og tydelig avmagrede ben. Naturligvis ville vi gå til aksjon umiddelbart, og gå til innsamling av badevekter til disse barna. Vi ville sørge for at de kunne veie seg jevnlig. Absurd, ikke sant? Så ba han oss tenke oss et land ikke så langt borte, hvor masse barn hadde altfor tynne matematikkunnskaper. Barna hadde mange problemer med matematikk som ville gi dem problemer gjennom livet. Vi ville umiddelbart gå til aksjon og lage tester slik at barna kunne testes jevnlig.
Dagens testregime i skolen kaller Ole ”badevektsyndromet”. (I de kretser jeg ellers vanker, kaller man isteden situasjonen før testregimet for ”å hoppe høyde uten list” (man prøver og prøver, men vet aldri om det man gjør fører til forbedring eller ikke). Jeg synes fortsatt at det beste argumentet for et utbredt testregime er en artikkel i Aftenposten for noen år siden hvor man kunne påvise at elevene på en skole nå kunne lese bedre enn før, og hvor lærerne sa at det var fordi man nå fokuserte på lesing. Hva fokuserte man på før? Det vet jeg ikke.)
Men badevektsyndromet var bare en innledning til et foredrag hvor Ole snakket om kritisk pedagogikk og prøvde å utvide innholdet i dette. Han satte opp den tradisjonelle ”kritiske pedagogikk” og satte opp mot denne en alternativ kritisk pedagogikk. I foredraget ble disse kalt ”det blå landskap” og ”det røde landskap” (og disse var ikke politisk ment). I det blå landskap ruver ord som ”analytisk innsikt”, ”grad av sikkerhet”, ”velargumentert politisk posisjon” og ”velbegrunnet pedagogisk strategi”, mens i det røde landskap finnes rom for bekymring, usikkerhet, søken/eksperimentering og pedagogisk fantasi.
Dette var det ikke helt lett å få tak på for undertegnede, men en del av Oles poenger ble tydeliggjort av gode eksempler og anekdoter. Han snakket om den gangen han skulle ha foredrag for lærere og egentlig skulle snakke om prosjektmetodikk i streng forstand. Han forsto der og da at dette ville bli helt galt – for skråsikkert og ferdigtygd – og diskuterte isteden undersøkelseslandskaper og at læreren har ulike valgmuligheter. Han snakket om elevens ”forgrunner”, som er det motsatte av elevens bakgrunn. Elevens forgrunn er det eleven forestiller seg om sin egen framtid – Ole mener at dette påvirker elevens nåtid kanskje like mye som bakgrunnen. Han snakket om eksempler på kritisk matematikkundervisning som ble så tett knyttet til barnas hverdag at de ikke lærte de tingene de trengte for å komme inn på videre skole – ”kritisk matematikkundervisning som parkeringsplass”. Og han snakket om mange ting som jeg slett ikke husker.
Og han snakket om pedagogisk fantasi. At vi må makte å tenke at ting kunne vært annerledes, og vurdere andre alternativer. ”Vi” er både lærere og elever.
Foredraget varte i en drøy time, og ble etterfulgt av over tre kvarter med diskusjon. Foredraget trigget altså forsamlingen. Noe av diskusjonen handlet om i hvor stor grad dette var et oppgjør med den tradisjonelle ”kritiske matematikkundervisning” og i hvor stor grad det kun var et ønske om å utvide rammene og nyansere det feltet. En annen del av diskusjonen handlet om forutsetningene for å gå inn i tvilen og usikkerheten – mange av oss tenker nok at læreren må være trygg på seg selv for å tørre å gå inn i undersøkelseslandskaper sammen med elevene, for eksempel. Og en tredje del av diskusjonen handlet om hvorvidt vårt akademiske miljø åpner for at man fabulerer om ting som har med tvil og usikkerhet å gjøre – vi vil jo gjerne ha sikkerhet.
Jeg klarer ikke nå å yte foredraget mer rettferdighet enn det jeg har gjort her, og det er bare å beklage. Det skyldes dels foredragets form og dels mine begrensninger. Men jeg tror mange fikk mye å tenke videre på og begreper å tenke videre med etter foredraget. For egen del var kanskje ”forgrunn”-begrepet det mest interessante – selv om det ikke er noe helt nytt begrep, er det relativt nytt for meg.
Resten av dagen gikk med til FoU-grupper. På min gruppe arbeidet vi en god del med regnestrategier i addisjon, noe som er nyttig for meg som snart skal undervise om det igjen. Frode Sirnes Larsen hadde interessante ting å legge fram her. Vi snakket om filosofiske samtaler med Lars Reinholdtsen, om Smartboard med Gjertrud Indresæter og om eksamensoppgaver knyttet til Oslo med Anne Birgitte Fyhn. Disse samtalene er vanskeligere å referere fra enn foredragene – de inneholder jo også til dels upubliserte ting som kun var ment for intern drøfting.
Og så var vi ute ved søsterkirkene og fikk omvisning og orgelkonsert. Og enda er vi bare halvveis på konferansen.
mandag 20. september 2010
Sannerkonferansen dag 1
I dag har første dag av årets "etterutdanningskonferanse" for matematikkdidaktikere vært holdt på Sanner hotell på Hadeland. Folk kommer fra hele landet og dagen startet derfor til lunsj. Etter lunsj holdt Vetle Rohde innledning - han ønsket velkommen og fortalte noen av hovedtankene bak konferansen. Dette er blant annet at det er satt av mer tid til FoU-verksteder enn tidligere, for å stimulere til diskusjon om FoU-prosjekter. Det er også satt av mer "pauser" enn tidligere, ut fra en tankegang om at det er nettopp i pausene at alle får tid og rom til å diskutere det som nettopp har foregått. Og det er satt av rikelig med tid til diskusjon i plenum også.
Det første plenumsforedraget på konferansen sto Reinert Rinvold fra Høgskolen i Hedmark for. Overskriften var "Generaliseringer i tallteori". Slik jeg ser det hadde foredraget et dobbelt formål. Dels handlet det om hvordan en generalisering av begreper som "primtall" til det komplekse tallområdet kan kaste lys over primtall og pytagoreiske tripler innen de "vanlige" tallene. Men dels ble dette brukt som et eksempel på hvordan generaliseringer kan brukes til å oppdage nye ting ved den matematikken vi vanligvis arbeider med.
Jeg var litt usikker på om det ville være nok diskusjoner etter dette foredraget til å fylle en hel halvtime, men det hadde jeg ikke vært nødt til å bekymre meg for. Det ble rikelig. Ikke minst kom Runar Ile med gode forslag til andre generaliseringer av Pytagoras' setning. "Den var imponerende den der, Runar", sa Reinert. "Ihvertfall hvis det er riktig", svarte Runar. Jeg tipper det var relativt mange i salen som trippet etter å sjekke resultatet etter den lille replikkvekslingen...
Reinert snakket for øvrig også om "generaliseringstaket" - du vet du har nådd det når du har generalisert så langt at du ikke finner flere resultater. Og Christoph Kirfel pekte på det motsatte: at det ofte finnes enkelteksempler som er svært illustrative og som kan belyse generelle sammenhenger. Og Ole Skovsmose viste eksempler på hvordan generaliseringer av for eksempel Pytagoras' kan gi undersøkelseslandskaper.
Etter Reinerts stimulerende foredrag - og kaffe og kaker - ble det FoU-grupper. Her er deltakerne på konferansen delt i fem ulike grupper etter temaer, og gruppene diskuterer deltakernes pågående eller planlagte FoU-arbeider/FoU-interesser. Det er satt av hele 4,5 timer til dette på konferansen, og det er derfor viktig at de fungerer godt. Den jeg deltok på var ihvertfall veldig interessant for meg - naturligvis delvis fordi den brukte mye tid på mitt prosjekt denne første økta. Det kom mange gode innspill, ihvertfall.
Og nå er det snart middag. Jeg synes vi har kommet godt i gang med konferansen, og gleder meg til de kommende dagene. Ute regner det riktignok, men det er meldt oppholdsvær til utflukten i morgen ettermiddag...
(Jeg skulle gjerne ha lagt ved bilder også, men internettforbindelsen på hotellrommet muliggjør ikke opplasting av noe særlig med bilder.)
Det første plenumsforedraget på konferansen sto Reinert Rinvold fra Høgskolen i Hedmark for. Overskriften var "Generaliseringer i tallteori". Slik jeg ser det hadde foredraget et dobbelt formål. Dels handlet det om hvordan en generalisering av begreper som "primtall" til det komplekse tallområdet kan kaste lys over primtall og pytagoreiske tripler innen de "vanlige" tallene. Men dels ble dette brukt som et eksempel på hvordan generaliseringer kan brukes til å oppdage nye ting ved den matematikken vi vanligvis arbeider med.
Jeg var litt usikker på om det ville være nok diskusjoner etter dette foredraget til å fylle en hel halvtime, men det hadde jeg ikke vært nødt til å bekymre meg for. Det ble rikelig. Ikke minst kom Runar Ile med gode forslag til andre generaliseringer av Pytagoras' setning. "Den var imponerende den der, Runar", sa Reinert. "Ihvertfall hvis det er riktig", svarte Runar. Jeg tipper det var relativt mange i salen som trippet etter å sjekke resultatet etter den lille replikkvekslingen...
Reinert snakket for øvrig også om "generaliseringstaket" - du vet du har nådd det når du har generalisert så langt at du ikke finner flere resultater. Og Christoph Kirfel pekte på det motsatte: at det ofte finnes enkelteksempler som er svært illustrative og som kan belyse generelle sammenhenger. Og Ole Skovsmose viste eksempler på hvordan generaliseringer av for eksempel Pytagoras' kan gi undersøkelseslandskaper.
Etter Reinerts stimulerende foredrag - og kaffe og kaker - ble det FoU-grupper. Her er deltakerne på konferansen delt i fem ulike grupper etter temaer, og gruppene diskuterer deltakernes pågående eller planlagte FoU-arbeider/FoU-interesser. Det er satt av hele 4,5 timer til dette på konferansen, og det er derfor viktig at de fungerer godt. Den jeg deltok på var ihvertfall veldig interessant for meg - naturligvis delvis fordi den brukte mye tid på mitt prosjekt denne første økta. Det kom mange gode innspill, ihvertfall.
Og nå er det snart middag. Jeg synes vi har kommet godt i gang med konferansen, og gleder meg til de kommende dagene. Ute regner det riktignok, men det er meldt oppholdsvær til utflukten i morgen ettermiddag...
(Jeg skulle gjerne ha lagt ved bilder også, men internettforbindelsen på hotellrommet muliggjør ikke opplasting av noe særlig med bilder.)
søndag 19. september 2010
Læreres kritiske kompetanse
I morgen starter årets "etterutdanningskonferanse" for matematikkdidaktikere i Norge. I år er det (som for to år siden) matematikkdidaktikkmiljøet ved Høgskolen i Oslo som arrangerer konferansen, og den har fått tittelen "Læreres kritiske kompetanse".
Som alltid er det mye å se fram til. Et høydepunkt er at Ole Skovsmose kommer og holder et foredrag - han er et av de store navnene internasjonalt. Han kommer til å være til stede under hele konferansen. Det blir flere andre spennende plenumsforedrag, et utvalg av parallellsesjoner og ikke minst mye tid til å diskutere FoU-prosjekter i mindre grupper.
Vi som arrangerer konferansen har lagt mye vekt på at det skal være godt med "pauser" under konferansen. Når jeg setter ordet "pauser" i hermetegn, er det naturligvis fordi "pausene" ikke brukes til å ta pause fra det faglige, men snarere til å diskutere med kolleger og knytte nye kontakter med andre som er interesserte i det samme.
Jeg satser på å blogge fra konferansen (skjønt det er alltid usikkert på forhånd om jeg får tid til å renskrive ting under konferansen eller om jeg må poste innleggene i etterkant). Så for dem som ikke klarte å rive seg løs og komme seg til Sanner disse dagene, er det bare å følge med i denne bloggen...
(Som antydet ovenfor sitter jeg i arrangementskomiteen denne gang.)
Som alltid er det mye å se fram til. Et høydepunkt er at Ole Skovsmose kommer og holder et foredrag - han er et av de store navnene internasjonalt. Han kommer til å være til stede under hele konferansen. Det blir flere andre spennende plenumsforedrag, et utvalg av parallellsesjoner og ikke minst mye tid til å diskutere FoU-prosjekter i mindre grupper.
Vi som arrangerer konferansen har lagt mye vekt på at det skal være godt med "pauser" under konferansen. Når jeg setter ordet "pauser" i hermetegn, er det naturligvis fordi "pausene" ikke brukes til å ta pause fra det faglige, men snarere til å diskutere med kolleger og knytte nye kontakter med andre som er interesserte i det samme.
Jeg satser på å blogge fra konferansen (skjønt det er alltid usikkert på forhånd om jeg får tid til å renskrive ting under konferansen eller om jeg må poste innleggene i etterkant). Så for dem som ikke klarte å rive seg løs og komme seg til Sanner disse dagene, er det bare å følge med i denne bloggen...
(Som antydet ovenfor sitter jeg i arrangementskomiteen denne gang.)
tirsdag 27. juli 2010
ESU6
Forrige uke var jeg, som nevnt, på ESU6 (European Summer University on the History and the Epistemology of Mathematics in Education - jeg forstår hvorfor folk bruker kortformen...) Min vane tro blogger jeg om innholdet på konferansen: følg med i min engelskspråklige blogg!
De to første innleggene (om de to første dagene) kan allerede leses: Dag 1 og Dag 2.
Blogginnleggene har bilder av mange av foredragsholderne, men her kanskje jeg skal gjøre et unntak: her er et bilde av en del av deltakerne på verkstedet til Kostas og meg - dypt konsentrerte, som du ser:
De to første innleggene (om de to første dagene) kan allerede leses: Dag 1 og Dag 2.
Blogginnleggene har bilder av mange av foredragsholderne, men her kanskje jeg skal gjøre et unntak: her er et bilde av en del av deltakerne på verkstedet til Kostas og meg - dypt konsentrerte, som du ser:
søndag 30. mai 2010
Tangenten 1/2010: Praktiske aktiviteter – ikke noen lek
I artikkelen ”Praktiske aktiviteter – ikke noen lek” beskriver Frode Olav Haara en butikkaktivitet gjennomført av henholdsvis en ufaglært vikar og en erfaren matematikklærer. Den viser hvor viktig lærerens rolle er, og betydningen av en kompetent lærer for at denne rollen skal bli god.
Et kort sitat: ”For didaktisk å kunne forsvare bruken av aktiviteten må den være formålstjenlig i forhold til et eller flere faglige mål og læreren må legge til rette for at aktiviteten skal gi faglige utfordringer i henhold til undervisningens faglige mål. Det gjør den neppe om elevene er i butikkonteksten uten mål og mening.”
Artikkelen passer godt inn i den fornyede interessen for lærerkompetanse som har vært å merke de siste årene. Mens man tidligere kanskje var mer opptatt av å studere barns læring, har stadig flere forskere blitt opptatt av hva som egentlig ligger i lærerkompetanse og hvordan den arter seg. For lærerutdannere er jo det relativt sentrale grunnlagsspørsmål. En forsker som jeg har stor sans for i den sammenhengen, er Deborah Ball, men det finnes mange flere, og det skal bli spennende å se hvordan lærerutdanningen blir påvirket av dette i årene framover.
Et kort sitat: ”For didaktisk å kunne forsvare bruken av aktiviteten må den være formålstjenlig i forhold til et eller flere faglige mål og læreren må legge til rette for at aktiviteten skal gi faglige utfordringer i henhold til undervisningens faglige mål. Det gjør den neppe om elevene er i butikkonteksten uten mål og mening.”
Artikkelen passer godt inn i den fornyede interessen for lærerkompetanse som har vært å merke de siste årene. Mens man tidligere kanskje var mer opptatt av å studere barns læring, har stadig flere forskere blitt opptatt av hva som egentlig ligger i lærerkompetanse og hvordan den arter seg. For lærerutdannere er jo det relativt sentrale grunnlagsspørsmål. En forsker som jeg har stor sans for i den sammenhengen, er Deborah Ball, men det finnes mange flere, og det skal bli spennende å se hvordan lærerutdanningen blir påvirket av dette i årene framover.
torsdag 20. mai 2010
En kanon for matematikkdidaktikk?
Sosiologinytt morer seg med å sette opp en kanon for norsk sosiologi, leser jeg blant annet i Uniforum - se også kommentar i Aftenposten.
Jeg skal ikke mene så mye om det, ut over at jeg håper at intervjuene som ble gitt til Harald Eia ikke havner på lista.
Men slike kanonkåringer kan jo føre til artige diskusjoner. Derfor leker jeg med tanken: hva kunne en kanon for matematikkdidaktikk bestått av? Hvis vi velger fra hele verdens litteratur - hva er de 10 (eller 25...) viktigste tekstene i matematikkdidaktikk gjennom historien?
Platons Menon bør kanskje med - som representant for synet at matematikken er noe man kan finne fram til ved hjelp av gode spørsmål?
Polyas How to solve it? vil jeg nok ha med for interessant arbeid med problemløsning.
Noe av Ubiratan D'Ambrosio om etnomatematikk ville jeg argumentert for å ha med.
Mange vil helt sikkert argumentere for at noe av Jean Piagets arbeid bør med.
Hva med Freudenthal? Hva med ...
Hvem vil du ha med på en kanon for matematikkdidaktikk?
Jeg skal ikke mene så mye om det, ut over at jeg håper at intervjuene som ble gitt til Harald Eia ikke havner på lista.
Men slike kanonkåringer kan jo føre til artige diskusjoner. Derfor leker jeg med tanken: hva kunne en kanon for matematikkdidaktikk bestått av? Hvis vi velger fra hele verdens litteratur - hva er de 10 (eller 25...) viktigste tekstene i matematikkdidaktikk gjennom historien?
Platons Menon bør kanskje med - som representant for synet at matematikken er noe man kan finne fram til ved hjelp av gode spørsmål?
Polyas How to solve it? vil jeg nok ha med for interessant arbeid med problemløsning.
Noe av Ubiratan D'Ambrosio om etnomatematikk ville jeg argumentert for å ha med.
Mange vil helt sikkert argumentere for at noe av Jean Piagets arbeid bør med.
Hva med Freudenthal? Hva med ...
Hvem vil du ha med på en kanon for matematikkdidaktikk?
søndag 28. februar 2010
Å gjøre mange ting på en gang (og late som det er bare én)
Det er så mye jeg har lyst til å gjøre her i verden. Jeg har vært interessert i matematikkhistorie siden tidlig i studiene, og har en gang lyst til å skrive den ultimate matematikkhistorieboka for lærere. Jeg er med i ei internasjonal gruppe som jobber med matematikkhistorie i skolen og er interessert i å bidra til å forstå hva som gjør at matematikkhistorien har såpass liten plass i skolen i dag. Jeg er interessert i hvordan wikier kan endre studentenes arbeidssituasjon, og prøver å lage en wiki for lærerutdanningene ("eleviki"). Og så er jeg naturligvis - som de fleste andre - opptatt av å finne ut noe nytt som kan legges fram på konferanser og trykkes i tidsskrifter, altså "FoU-produksjon".
Akkurat nå er jeg ganske fornøyd med meg selv, fordi jeg har funnet et lite delprosjekt som passer som hånd i hanske inn i alt det ovenfor. Jeg holder altså på å pusle med én ting som kan brukes til mange ting, og det er en lykkelig situasjon.
Delprosjektet er i utgangspunktet veldig enkelt: jeg lager en oversikt over "alt" (så godt jeg kan få det til) av litteratur om matematikkhistorie som er relevant for grunnskolen og som er skrevet på norsk. Så leser jeg og analyserer denne ut fra en del perspektiver (blant annet basert på den internasjonale forskningen om matematikkhistorie i skolen).
Hva leder dette til?
Vel, for det første får jeg ei oppdatert liste over alle skolerelevante ressurser om matematikkhistorie på norsk. Dette er i seg selv et bidrag til at det blir enklere for lærere og lærerutdannere som ønsker å inkludere matematikkhistorie å finne relevant lesestoff.
For det andre får jeg supplert den bunken jeg allerede har med ideer om hva matematikkhistorien kan bidra til i skolen. Disse ideene havner til en viss grad i eleviki med det samme, delvis tas de vare på til senere bruk, for eksempel dersom jeg en dag får ånden over meg til å skrive den boka. Det som havner i wikien gjør at den får en substans og at den dermed forhåpentligvis blir nyttig.
For det tredje gir analysen meg resultater som jeg kan legge fram for mine kolleger på internasjonale konferanser. Det er neppe noen som før har tatt for seg all litteraturen om matematikkhistorie på ett språk og analysert den, og den kan si en del interessant om hva vi nordmenn anser som interessant matematikkhistorie - eller hva vi i det hele tatt anser matematikkhistorie for å være. Dette gir både "FoU-produksjon" men også (og viktigere) et faktagrunnlag for refleksjon over hvorfor matematikkhistoriens stilling er som den er. (En relativt opplagt konklusjon som jeg nesten kan trekke allerede er at det aller meste som er skrevet på norsk om matematikkhistorie finnes i bøker og tidsskrifter som lærerne ikke har...)
For det fjerde gir denne analysen meg et innblikk i hva som mangler - er det områder/perspektiver som ikke er dekket og hvor det definitivt trengs at noen skriver noe?
For det femte gir dette arbeidet meg en oversikt over litteratur som kan egne seg for studentene når de nå skal i gang med å legge fram matematikkdidaktiske artikler for hverandre - og det gir meg ideer når jeg etter hvert skal være med på å sette sammen pensum for de nye matematikkursene i de nye grunnskolelærerutdanningene.
Som om ikke dette var nok: selve forskningsdesignet er perfekt egnet til en travel hverdag med møter om ny lærerutdanning, undervisning, avdelingsstyremøter og så videre. Når andre bestemmer hva du skal gjøre og når du skal gjøre det ganske store deler av arbeidsdagen, er det viktig å ha FoU-prosjekter som ikke utelukkende er avhengig av andre mennesker de også. I dette delprosjektet kan jeg jobbe videre om jeg så bare har en halvtime mellom to møter. (Naturligvis kreves det noe mer sammenhengende tid i analysefasen, men mye av "fotarbeidet" kan gjøres i mange, små skritt.)
Jada, jeg er også overarbeidet, som alle andre. Men jeg føler at jeg får mer ut av overarbeidet enn jeg av og til ellers har følt...
Akkurat nå er jeg ganske fornøyd med meg selv, fordi jeg har funnet et lite delprosjekt som passer som hånd i hanske inn i alt det ovenfor. Jeg holder altså på å pusle med én ting som kan brukes til mange ting, og det er en lykkelig situasjon.
Delprosjektet er i utgangspunktet veldig enkelt: jeg lager en oversikt over "alt" (så godt jeg kan få det til) av litteratur om matematikkhistorie som er relevant for grunnskolen og som er skrevet på norsk. Så leser jeg og analyserer denne ut fra en del perspektiver (blant annet basert på den internasjonale forskningen om matematikkhistorie i skolen).
Hva leder dette til?
Vel, for det første får jeg ei oppdatert liste over alle skolerelevante ressurser om matematikkhistorie på norsk. Dette er i seg selv et bidrag til at det blir enklere for lærere og lærerutdannere som ønsker å inkludere matematikkhistorie å finne relevant lesestoff.
For det andre får jeg supplert den bunken jeg allerede har med ideer om hva matematikkhistorien kan bidra til i skolen. Disse ideene havner til en viss grad i eleviki med det samme, delvis tas de vare på til senere bruk, for eksempel dersom jeg en dag får ånden over meg til å skrive den boka. Det som havner i wikien gjør at den får en substans og at den dermed forhåpentligvis blir nyttig.
For det tredje gir analysen meg resultater som jeg kan legge fram for mine kolleger på internasjonale konferanser. Det er neppe noen som før har tatt for seg all litteraturen om matematikkhistorie på ett språk og analysert den, og den kan si en del interessant om hva vi nordmenn anser som interessant matematikkhistorie - eller hva vi i det hele tatt anser matematikkhistorie for å være. Dette gir både "FoU-produksjon" men også (og viktigere) et faktagrunnlag for refleksjon over hvorfor matematikkhistoriens stilling er som den er. (En relativt opplagt konklusjon som jeg nesten kan trekke allerede er at det aller meste som er skrevet på norsk om matematikkhistorie finnes i bøker og tidsskrifter som lærerne ikke har...)
For det fjerde gir denne analysen meg et innblikk i hva som mangler - er det områder/perspektiver som ikke er dekket og hvor det definitivt trengs at noen skriver noe?
For det femte gir dette arbeidet meg en oversikt over litteratur som kan egne seg for studentene når de nå skal i gang med å legge fram matematikkdidaktiske artikler for hverandre - og det gir meg ideer når jeg etter hvert skal være med på å sette sammen pensum for de nye matematikkursene i de nye grunnskolelærerutdanningene.
Som om ikke dette var nok: selve forskningsdesignet er perfekt egnet til en travel hverdag med møter om ny lærerutdanning, undervisning, avdelingsstyremøter og så videre. Når andre bestemmer hva du skal gjøre og når du skal gjøre det ganske store deler av arbeidsdagen, er det viktig å ha FoU-prosjekter som ikke utelukkende er avhengig av andre mennesker de også. I dette delprosjektet kan jeg jobbe videre om jeg så bare har en halvtime mellom to møter. (Naturligvis kreves det noe mer sammenhengende tid i analysefasen, men mye av "fotarbeidet" kan gjøres i mange, små skritt.)
Jada, jeg er også overarbeidet, som alle andre. Men jeg føler at jeg får mer ut av overarbeidet enn jeg av og til ellers har følt...
tirsdag 17. november 2009
Å regne i alle fag – del 2
Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Elin Reikerås (red.): Å regne i alle fag. Universitetsforlaget 2009.
I et tidligere innlegg skrev jeg om del 1 av denne boka. Del 2 er mer konkret knyttet til regning i alle fag, og jeg vil omtale den delen her. Jeg er, som nevnt, spesielt opptatt av at eksemplene som gis er koblet til sentrale deler av både faget og regningen.
Anne Håland og Marta Vassbø skriver om regning i norskfaget. De stiller først spørsmål ved den pussige formuleringen i Kunnskapsløftet om at ”Å kunne regne i norsk er en ferdighet som forutsetter et annet språk enn verbalspråket” – denne har jeg heller aldri forstått, siden man utmerket godt kan holde mye på med regning i norsk innenfor verbalspråket. Så gir de eksempler på regning i norsk: Å lese tabeller, å diskutere matematiske begreper som dukker opp i litteraturen, å selv lage tekster med tabeller eller annen matematikk og å bruke matematiske begreper i bokstavinnlæringen. Til slutt nevner de også at det er mye norsk i matematikkfaget når elevene for eksempel skal lage regnefortellinger.
Hilde Tørnby og Vigdis Flottorp skriver om engelskfaget. Engelskfaget likner på mange måter på norskfaget, med det tillegg at det naturligvis er engelskfaglig interessant at elevene lærer de engelske ordene for tallene, mål og vekt osv. Forfatterne foreslår gjennomføring av spørreundersøkelser med dertil påfølgende statistikk, og begrunner dette blant annet ut fra at elevenes kommunikasjon på engelsk blir mer meningsfylt når de faktisk skal finne ut noe fra hverandre. De gir også noen gode eksempler på engelsk litteratur som inneholder matematikk (som ”Ten Green Bottles” og ”The Very Hungry Caterpillar”). Videre har de eksempler på hvordan man kan arbeide med fremmed valuta – et emne hvor forholdsregning blir sentralt. Tolkning av statistikk og diskusjon av dette på engelsk kan også være interessant (og – vil jeg legge til for egen del – denne statistikken må gjerne handle om det britiske samfunnet, som elevene uansett skal lære om). Og til slutt gir de eksempler på tradisjonelle problemløsningsoppgaver som godt kan gis i engelsk språkdrakt og dermed gi læring i begge fagene.
RLE behandles av Kjersti Melhus og Geir Winje. Istedenfor å ramse opp en rekke ideer har disse konsentrert seg om to hovedområder: kalendre og islamsk kunst. Dette har mye for seg. I de flerkulturelle klasserommene hvor man i økende grad forholder seg til flere kalendre samtidig, gir det god mening å bruke litt tid på de ulike kalendrene. Da vil man nødvendigvis komme inn på sentrale deler av religionenes historie samtidig som man er nødt til å regne litt. Enkle ting som hvorfor fastemåneden ramadan starter 22. august i 2009 men ikke i 2010 må man regne for å finne ut av. Det samme gjelder hvorfor 2000 var skuddår mens 1900 ikke var det. Å se på islamsk kunst gir på samme måte mulighet til å fordype seg litt i tesselleringer og sånt. Ved å fordype seg i to temaer på denne måten unngår Melhus og Winje den kanskje aller største fallgruven ved ”regning i alle fag”, nemlig å bli lettvint og ikke ta både fagets og regningens egenart på alvor.
Kunst og håndverk er et område fullt av matematikk, og mange kunstnere har vært opptatt av matematikk. (Det holder vel å nevne Leonardo da Vinci og M. C. Escher.) Det er Frode Rønning som har skrevet om regning i kunst og håndverk. Han understreker tidlig at faget har to hoveddimensjoner, det håndverksmessige og det kunstneriske. Innen den håndverksmessige finnes naturligvis en mengde regning, som måling, måleusikkerhet, arbeidstegninger, Pytagoras osv, men Rønning velger å konsentrere seg om den kunstneriske. Han velger også å gå i dybden i noen få eksempler heller enn å nevne mange ideer – for eksempel går han ikke inn på perspektiv. Han nevner gylne snitt, men konsentrerer seg mest om tesselleringer og islamsk kunst, og tar med litt etnomatematikk til slutt. Beskrivelsen av letingen etter mønstre i Alhambra synes jeg er interessant.
Utgangspunktet i Arne Jakobsen og Atle Mjåtveits kapittel om kroppsøving er interessant, fordi de skriver at ”Vi vil vise hvordan man kan rette oppmerksomhet mot læringsaktiviteter i kroppsøvingsfaget som også kan være med på å støtte opp under kompetansemål i matematikkfaget” (s. 200) og vil ”bidra til måloppnåelse i begge fag” (s. 201). Hvis jeg først skal pirke litt er dette et forkjært perspektiv. Å kunne regne skal være en del av kroppsøvingsfaget, og hvis elevene lærer å regne ved hjelp av aktiviteter i kroppsøving er dette måloppnåelse i kroppsøving, ikke (bare) i matematikk. Kapitlet inneholder videre mange eksempler på aktiviteter i kroppsøving, for eksempel balltilvenning med innslag av telling og ulike måleaktiviteter på småtrinnet, kartlesing på mellomtrinnet og pulsmåling og planlegging av friluftstur på ungdomstrinnet. Disse aktivitetene gir rom for å arbeide med regning i kroppsøving.
Tuva Bjørkvold skriver om mat og helse. Hun er blant annet opptatt av at mat og helse er et konkret fag, i den betydning at resultatet av de utregningene du gjør kjennes på smaken. Dette gir en motivasjon for å få svaret rett, forutsatt at læreren ikke alltid er der for å rette på elevene hvis de gjør feil. Det er også et praktisk fag, hvor forskjellen på 1 hg og 1 kg er veldig tydelig når du skal måle opp. Bjørkvold nevner en rekke mulige aktiviteter, som å tilpasse en vaffeloppskrift, diskutere antall vaffelhjerter, sammenlikne pris ved baking med kjøp av ferdigvare, arbeid med energiinnhold, omgjøring av måleenheter (for eksempel fra amerikanske oppskrifter) eller å vurdere næringsinnhold i chips.
Reidun Åslid Bjørlykke og Leif Bjørn Skorpens kapittel om regning i musikk bruker overraskende mye plass i starten til å argumentere for ”tydelig kunstfaglig fokus” i skolen – noe som vel burde være selvsagt i faget musikk. Men etter innledningen kommer flere eksempler på hvordan regning kan inngå i musikkfaget og berike undervisningen: rytmeforståelse (3/4 takt), notasjon med noter (halvnoter etc), tonehøyder, harmonier (og sammenheng med frekvenser; kvintsirkelen), gjenkjennelse av mønstre i musikk og bruk av matematiske begreper i dans. Imidlertid ser jeg at man trenger mer musikkunnskap enn jeg sitter inne med for å undervise dette på fornuftig vis – som seg hør og bør.
Naturfag er tema for Dag Torvangers kapittel. Han viser til den nære sammenhengen mellom naturfag og matematikk gjennom historien og legger vekt på at denne sammenhengen må tydeliggjøres for elevene. Han skisserer fem måter å trekke inn regning i naturfag: matematikk som ikke er spesielt naturfaglig (telle blader), matematisk-naturfaglige definisjoner (fart=strekning/tid), målinger, matematikk i teknologi (tannhjul) og matematiske strukturer i naturen (snøkrystaller og planetbaner). Hovedeksemplet hans er Kopernikus’ arbeid med planetbaner, men han nevner også perfekte tall, ”himmelkula”, Eratosthenes’ utregninger og Platons verdensbilde med platonske legemer. Utfordringen blir å trekke inn regning uten at det blir de regnemessige vanskene som dominerer.
Til slutt skriver Knut Ole Lysø om regning i samfunnsfag, som jo omfatter både historie, geografi og samfunnskunnskap. I alle delene kan regning trekkes inn. Lysø har valgt å se på eksisterende lærebøker i samfunnsfag for å få se hvordan regning kan trekkes inn, og han har en mengde eksempler. Måleenheter er sentralt, både avstand, areal, vekt og volum, tid (tidssoner og tidslinje), penger (ulike valutaer og sammenlikning av priser, for eksempel), temperaturer og hastigheter. Forholdstall, for eksempel prosent, er et nyttig verktøy. Matematikken i mandatfordeling er et interessant eksempel. I arbeidet med kart kommer man både inn på koordinatsystemer og målestokk. Og ikke minst er statistikk overalt tilstedeværende i samfunnsfag.
Alt i alt gir denne boka et godt overblikk over hvordan regning kan inkluderes i ulike fag, ikke minst med mengder av eksempler. Jeg vil komme tilbake til det jeg startet omtalen av del 1 med: jeg mener at dersom regning skal inngå naturlig i alle fag, må faglæreren oppleve det som sentralt for faget. Regning i alle fag er ikke et tverrfaglig opplegg hvor to lærere må kompromisse med hverandre – det er en enfaglig sak innad i det enkelte fag hvor læreren må se nytten for det som er hans (og fagplanens) hovedinteresse. Nettopp der kommer de gode eksemplene inn. Ingen norsklærer kan påstå at det er irrelevant å diskutere en måleenhet som dukker opp i et eventyr man leser. Ingen engelsklærer kan mene at det er irrelevant å lære om forhold mellom pund og kroner for å klare seg på engelsk. Ingen kroppsøvingslærer kan mene at det er irrelevant å måle elevenes resultater i friidrett. Ingen lærer i mat og helse kan mene at det er irrelevant å kunne doble eller tredoble en oppskrift. Og ingen samfunnsfaglærer kan mene at det er irrelevant å kunne prosentregning for å forstå samfunnet.
Å ha lest denne boka er nyttig for den kursvirksomheten som står foran oss – og jeg vil nok anbefale at skoler kjøper inn et eller flere eksemplarer.
(Og som sist får jeg legge til at jeg kjenner mange av forfatterne i boka. Tuva Bjørkvold har jeg i tillegg samarbeidet med om plan og materiell for kurs i den grunnleggende ferdigheten å regne i norsk.)
I et tidligere innlegg skrev jeg om del 1 av denne boka. Del 2 er mer konkret knyttet til regning i alle fag, og jeg vil omtale den delen her. Jeg er, som nevnt, spesielt opptatt av at eksemplene som gis er koblet til sentrale deler av både faget og regningen.
Anne Håland og Marta Vassbø skriver om regning i norskfaget. De stiller først spørsmål ved den pussige formuleringen i Kunnskapsløftet om at ”Å kunne regne i norsk er en ferdighet som forutsetter et annet språk enn verbalspråket” – denne har jeg heller aldri forstått, siden man utmerket godt kan holde mye på med regning i norsk innenfor verbalspråket. Så gir de eksempler på regning i norsk: Å lese tabeller, å diskutere matematiske begreper som dukker opp i litteraturen, å selv lage tekster med tabeller eller annen matematikk og å bruke matematiske begreper i bokstavinnlæringen. Til slutt nevner de også at det er mye norsk i matematikkfaget når elevene for eksempel skal lage regnefortellinger.
Hilde Tørnby og Vigdis Flottorp skriver om engelskfaget. Engelskfaget likner på mange måter på norskfaget, med det tillegg at det naturligvis er engelskfaglig interessant at elevene lærer de engelske ordene for tallene, mål og vekt osv. Forfatterne foreslår gjennomføring av spørreundersøkelser med dertil påfølgende statistikk, og begrunner dette blant annet ut fra at elevenes kommunikasjon på engelsk blir mer meningsfylt når de faktisk skal finne ut noe fra hverandre. De gir også noen gode eksempler på engelsk litteratur som inneholder matematikk (som ”Ten Green Bottles” og ”The Very Hungry Caterpillar”). Videre har de eksempler på hvordan man kan arbeide med fremmed valuta – et emne hvor forholdsregning blir sentralt. Tolkning av statistikk og diskusjon av dette på engelsk kan også være interessant (og – vil jeg legge til for egen del – denne statistikken må gjerne handle om det britiske samfunnet, som elevene uansett skal lære om). Og til slutt gir de eksempler på tradisjonelle problemløsningsoppgaver som godt kan gis i engelsk språkdrakt og dermed gi læring i begge fagene.
RLE behandles av Kjersti Melhus og Geir Winje. Istedenfor å ramse opp en rekke ideer har disse konsentrert seg om to hovedområder: kalendre og islamsk kunst. Dette har mye for seg. I de flerkulturelle klasserommene hvor man i økende grad forholder seg til flere kalendre samtidig, gir det god mening å bruke litt tid på de ulike kalendrene. Da vil man nødvendigvis komme inn på sentrale deler av religionenes historie samtidig som man er nødt til å regne litt. Enkle ting som hvorfor fastemåneden ramadan starter 22. august i 2009 men ikke i 2010 må man regne for å finne ut av. Det samme gjelder hvorfor 2000 var skuddår mens 1900 ikke var det. Å se på islamsk kunst gir på samme måte mulighet til å fordype seg litt i tesselleringer og sånt. Ved å fordype seg i to temaer på denne måten unngår Melhus og Winje den kanskje aller største fallgruven ved ”regning i alle fag”, nemlig å bli lettvint og ikke ta både fagets og regningens egenart på alvor.
Kunst og håndverk er et område fullt av matematikk, og mange kunstnere har vært opptatt av matematikk. (Det holder vel å nevne Leonardo da Vinci og M. C. Escher.) Det er Frode Rønning som har skrevet om regning i kunst og håndverk. Han understreker tidlig at faget har to hoveddimensjoner, det håndverksmessige og det kunstneriske. Innen den håndverksmessige finnes naturligvis en mengde regning, som måling, måleusikkerhet, arbeidstegninger, Pytagoras osv, men Rønning velger å konsentrere seg om den kunstneriske. Han velger også å gå i dybden i noen få eksempler heller enn å nevne mange ideer – for eksempel går han ikke inn på perspektiv. Han nevner gylne snitt, men konsentrerer seg mest om tesselleringer og islamsk kunst, og tar med litt etnomatematikk til slutt. Beskrivelsen av letingen etter mønstre i Alhambra synes jeg er interessant.
Utgangspunktet i Arne Jakobsen og Atle Mjåtveits kapittel om kroppsøving er interessant, fordi de skriver at ”Vi vil vise hvordan man kan rette oppmerksomhet mot læringsaktiviteter i kroppsøvingsfaget som også kan være med på å støtte opp under kompetansemål i matematikkfaget” (s. 200) og vil ”bidra til måloppnåelse i begge fag” (s. 201). Hvis jeg først skal pirke litt er dette et forkjært perspektiv. Å kunne regne skal være en del av kroppsøvingsfaget, og hvis elevene lærer å regne ved hjelp av aktiviteter i kroppsøving er dette måloppnåelse i kroppsøving, ikke (bare) i matematikk. Kapitlet inneholder videre mange eksempler på aktiviteter i kroppsøving, for eksempel balltilvenning med innslag av telling og ulike måleaktiviteter på småtrinnet, kartlesing på mellomtrinnet og pulsmåling og planlegging av friluftstur på ungdomstrinnet. Disse aktivitetene gir rom for å arbeide med regning i kroppsøving.
Tuva Bjørkvold skriver om mat og helse. Hun er blant annet opptatt av at mat og helse er et konkret fag, i den betydning at resultatet av de utregningene du gjør kjennes på smaken. Dette gir en motivasjon for å få svaret rett, forutsatt at læreren ikke alltid er der for å rette på elevene hvis de gjør feil. Det er også et praktisk fag, hvor forskjellen på 1 hg og 1 kg er veldig tydelig når du skal måle opp. Bjørkvold nevner en rekke mulige aktiviteter, som å tilpasse en vaffeloppskrift, diskutere antall vaffelhjerter, sammenlikne pris ved baking med kjøp av ferdigvare, arbeid med energiinnhold, omgjøring av måleenheter (for eksempel fra amerikanske oppskrifter) eller å vurdere næringsinnhold i chips.
Reidun Åslid Bjørlykke og Leif Bjørn Skorpens kapittel om regning i musikk bruker overraskende mye plass i starten til å argumentere for ”tydelig kunstfaglig fokus” i skolen – noe som vel burde være selvsagt i faget musikk. Men etter innledningen kommer flere eksempler på hvordan regning kan inngå i musikkfaget og berike undervisningen: rytmeforståelse (3/4 takt), notasjon med noter (halvnoter etc), tonehøyder, harmonier (og sammenheng med frekvenser; kvintsirkelen), gjenkjennelse av mønstre i musikk og bruk av matematiske begreper i dans. Imidlertid ser jeg at man trenger mer musikkunnskap enn jeg sitter inne med for å undervise dette på fornuftig vis – som seg hør og bør.
Naturfag er tema for Dag Torvangers kapittel. Han viser til den nære sammenhengen mellom naturfag og matematikk gjennom historien og legger vekt på at denne sammenhengen må tydeliggjøres for elevene. Han skisserer fem måter å trekke inn regning i naturfag: matematikk som ikke er spesielt naturfaglig (telle blader), matematisk-naturfaglige definisjoner (fart=strekning/tid), målinger, matematikk i teknologi (tannhjul) og matematiske strukturer i naturen (snøkrystaller og planetbaner). Hovedeksemplet hans er Kopernikus’ arbeid med planetbaner, men han nevner også perfekte tall, ”himmelkula”, Eratosthenes’ utregninger og Platons verdensbilde med platonske legemer. Utfordringen blir å trekke inn regning uten at det blir de regnemessige vanskene som dominerer.
Til slutt skriver Knut Ole Lysø om regning i samfunnsfag, som jo omfatter både historie, geografi og samfunnskunnskap. I alle delene kan regning trekkes inn. Lysø har valgt å se på eksisterende lærebøker i samfunnsfag for å få se hvordan regning kan trekkes inn, og han har en mengde eksempler. Måleenheter er sentralt, både avstand, areal, vekt og volum, tid (tidssoner og tidslinje), penger (ulike valutaer og sammenlikning av priser, for eksempel), temperaturer og hastigheter. Forholdstall, for eksempel prosent, er et nyttig verktøy. Matematikken i mandatfordeling er et interessant eksempel. I arbeidet med kart kommer man både inn på koordinatsystemer og målestokk. Og ikke minst er statistikk overalt tilstedeværende i samfunnsfag.
Alt i alt gir denne boka et godt overblikk over hvordan regning kan inkluderes i ulike fag, ikke minst med mengder av eksempler. Jeg vil komme tilbake til det jeg startet omtalen av del 1 med: jeg mener at dersom regning skal inngå naturlig i alle fag, må faglæreren oppleve det som sentralt for faget. Regning i alle fag er ikke et tverrfaglig opplegg hvor to lærere må kompromisse med hverandre – det er en enfaglig sak innad i det enkelte fag hvor læreren må se nytten for det som er hans (og fagplanens) hovedinteresse. Nettopp der kommer de gode eksemplene inn. Ingen norsklærer kan påstå at det er irrelevant å diskutere en måleenhet som dukker opp i et eventyr man leser. Ingen engelsklærer kan mene at det er irrelevant å lære om forhold mellom pund og kroner for å klare seg på engelsk. Ingen kroppsøvingslærer kan mene at det er irrelevant å måle elevenes resultater i friidrett. Ingen lærer i mat og helse kan mene at det er irrelevant å kunne doble eller tredoble en oppskrift. Og ingen samfunnsfaglærer kan mene at det er irrelevant å kunne prosentregning for å forstå samfunnet.
Å ha lest denne boka er nyttig for den kursvirksomheten som står foran oss – og jeg vil nok anbefale at skoler kjøper inn et eller flere eksemplarer.
(Og som sist får jeg legge til at jeg kjenner mange av forfatterne i boka. Tuva Bjørkvold har jeg i tillegg samarbeidet med om plan og materiell for kurs i den grunnleggende ferdigheten å regne i norsk.)
fredag 13. november 2009
Å regne i alle fag – del 1
Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Elin Reikerås (red.): Å regne i alle fag. Universitetsforlaget 2009.
I høst har jeg jobbet med å utarbeide planer og materiell for kurs i "regning i alle fag" sammen med mange kolleger. Jeg har spesielt vært involvert i hvordan regning som grunnleggende ferdighet kan arbeides med i norskfaget. Og på onsdag hadde jeg mitt første kurs (sammen med en kollega) for lærere fra 1.-10. trinn og innen alle fag i temaet "regning i alle fag". Dette er i utgangspunktet en krevende målgruppe, siden variasjonen i problemstillinger er stor både når det gjelder trinn og fag, men det virket som de fleste var fornøyd.
Et helt sentralt poeng er at "regning i alle fag" må skje på fagenes premisser. Det skal ikke være slik at matematikkfaget koloniserer de andre fagene, men derimot slik at ideene vi presenterer skal virke som faglig gode ideer også sett fra det enkelte fags synspunkt. Det er heller ikke slik at det nå er de andre fagene som skal ta over ansvaret for alt som elevene sliter med i matematikk, men snarere at elevene kan få noen ekstra erfaringer med regning utenfor matematikktimene, gjerne i helt andre kontekster. Dette kan gjøre noe både med holdninger til og kompetanse i regning.
Et mantra jeg gjentar ofte er at elevene ofte er nysgjerrige, og at vi som lærere må plukke opp (og stimulere) denne nysgjerrigheten så ofte vi klarer, selv om det ikke passer helt med det faget som står på timeplanen.
Denne uka kom endelig boka "Å regne i alle fag" redigert av Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Elin Reikerås. Her har dyktige fagfolk skrevet kapitler om ulike aspekter ved regning, ikke minst regning i alle skolens fag. Her vil jeg kommentere noe av innholdet:
Elin Reikerås kobler forskning og praksisnærhet på en god måte i kapitlet ”Ulike regnere og ulike typer regning”. Her får vi presentert fire elever med ulike ”regnestiler” og ulike oppfatninger av hva som er poenget med matematikken. Dette får blant annet konsekvenser for hvordan elevene ser på tekstoppgaver, åpne oppgaver osv. Disse elevene drøftes så i lys av nyere forskning slik at vi får antydninger til forklaring på hvorfor elever er så ulike. Slik motiverer kapitlet både til å kartlegge elevenes regnestiler og å lese mer.
Janne Fauskanger og Hilde Skaar Davidsens ”Regning før og ved skolestart” er et oppkomme av eksempler på at barn i førskolealder blir interessert i og motivert for å lære tallsymboler, for eksempel Oskar som vil følge med på stillingen i en fotballkamp. Pedagoger i barnehagene kan her få ideer til arbeid med barna og lærere i skolen får de samme ideene, men blir også minnet på at mange barn kan ha lært riktig mye før de kommer på skolen.
Reidar Mosvold skriver om ”Å regne – med utgangspunkt i dagligdagse situasjoner”. Han problematiserer hva det vil si å ta utgangspunkt i det dagligdagse, og gir eksempler på ulike læreres holdninger til dette. Og blant annet viser han til Inger Wisted, som (i Att vardagsanknyta matematikundervisningen) viste strålende eksempler på hvordan elever tvinges til å legge vekk sin kritiske sans og sine reelle erfaringer i en del såkalte ”dagligdagstilknyttede oppgaver”. Til slutt har Mosvold et eksempel fra bruk av sløydsalen i undervisning av Pytagoras’ setning. (For øvrig et godt eksempel på bruk av andre fag i matematikken, ikke av regning i kunst og håndverk.)
Margit Askelands kapittel om ”Regnestrategier i matematikk” minner om viktigheten av å være oppmerksom på elevenes strategier, og en del strategier for addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Deretter skisseres et omfattende opplegg for å gjøre elevene trygge i multiplikasjonstabellene ved hjelp av indre tale. I artikkelen framkommer det imidlertid ikke noe om hvordan elevenes holdninger ble påvirket av dette opplegget, som slik det er skissert ser litt ”kjedelig” og ”puggeaktig” ut. (Jeg forstår naturligvis at jeg kan lese mer om opplegget og få et mer nyansert bilde av det ved å gå til referansene.)
I kapitlet ”Grunnleggende regneferdighet i LK06: To aspekter” av Bjørnar Alseth beskrives både de siste matematikklæreplanenes behandling av ”ferdigheter” og utviklingen som førte fram til at Kunnskapsløftet beskriver ”grunnleggende ferdigheter”. Alseth presiserer at ordet ”ferdigheter” i Kunnskapsløftet ikke skal tolkes like snevert som det tradisjonelt har vært brukt i matematikkfaget, og at for eksempel problemløsning er en sentral del av de grunnleggende ferdigheter. Mot slutten av kapitlet kommer han med to gode eksempler på hvordan ”regning i alle fag” kan realiseres på fagenes egne premisser: gjennom kroppsøvingsfagets tabeller med råd om hvordan styrketrening kan legges opp og gjennom samfunnsfagets grafer over utviklingen av antall inngåtte ekteskap og antall skilsmisser per år. I begge tilfeller kommer regningen inn som en nødvendig støtte for å kunne arbeide med det faglige innholdet.
Geir Botten og Svein Arne Sikkos ”Historiske trender i regneopplæringen i Norge” gir en interessant gjennomgang av matematikkundervisningens historie i Norge fra 1200-tallet til i dag. Kapitlet slutter med å peke på spenningen mellom individualisering og nivådifferensiering på den ene siden og en aktivitetsbasert undervisning med vekt på å få erfaringer i et fellesskap på den andre siden.
Kai Otto Jørgensen og Simon Goodchilds ”Utvikling av unge elevers relasjonelle forståelse i matematikk” beskriver hvordan en matematikklærer (Jørgensen) jobber med blant annet dagens tall for å utvikle elevenes tallforståelse. Den viser på en konkret måte hvordan man kan stille spørsmål og ha en gjennomtenkt bruk av ulike representasjonsformer for å få til dette.
Anne Berit Fuglestad gir i kapitlet ”Digital regning – muligheter og utfordringer” en oppsummering av debatten rundt kalkulatorer og datamaskiner i matematikkundervisningen og gir en rekke eksempler på hvordan for eksempel kalkulatorer kan brukes på en undersøkende måte.
Del 1 av boka avsluttes med Kjersti Lundetræs ”De voksne regnerne” som i hovedsak handler om den internasjonale undersøkelsen Adult Literacy and Life Skills Survey (ALL). Den har undersøkt unge voksne (16-65 år) i til sammen 11 land for å kunne si noe blant annet om deres muligheter til å bruke regning i sitt voksenliv. Undersøkelsen viste at nærmere 40 prosent av norske 16-65-åringer ”har regneferdigheter som er lavere enn det OECD anser som nødvendig for å kunne takle dagliglivets kvantitative utfordringer på en god måte” (s. 136). Men likevel: Norge kommer bedre ut av det enn de andre landene som deltok.
I alt består del 1 av mange interessante artikler, skjønt koblingen til ”å regne i alle fag” er noe mer uklar enn jeg hadde ventet. Del 2, som går mer inn på regning i de enkelte fag, vil jeg komme tilbake til i et senere innlegg i bloggen.
(Jeg må for ordens skyld legge til at jeg kjenner de fleste av forfatterne av denne boka.)
I høst har jeg jobbet med å utarbeide planer og materiell for kurs i "regning i alle fag" sammen med mange kolleger. Jeg har spesielt vært involvert i hvordan regning som grunnleggende ferdighet kan arbeides med i norskfaget. Og på onsdag hadde jeg mitt første kurs (sammen med en kollega) for lærere fra 1.-10. trinn og innen alle fag i temaet "regning i alle fag". Dette er i utgangspunktet en krevende målgruppe, siden variasjonen i problemstillinger er stor både når det gjelder trinn og fag, men det virket som de fleste var fornøyd.
Et helt sentralt poeng er at "regning i alle fag" må skje på fagenes premisser. Det skal ikke være slik at matematikkfaget koloniserer de andre fagene, men derimot slik at ideene vi presenterer skal virke som faglig gode ideer også sett fra det enkelte fags synspunkt. Det er heller ikke slik at det nå er de andre fagene som skal ta over ansvaret for alt som elevene sliter med i matematikk, men snarere at elevene kan få noen ekstra erfaringer med regning utenfor matematikktimene, gjerne i helt andre kontekster. Dette kan gjøre noe både med holdninger til og kompetanse i regning.
Et mantra jeg gjentar ofte er at elevene ofte er nysgjerrige, og at vi som lærere må plukke opp (og stimulere) denne nysgjerrigheten så ofte vi klarer, selv om det ikke passer helt med det faget som står på timeplanen.
Denne uka kom endelig boka "Å regne i alle fag" redigert av Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Elin Reikerås. Her har dyktige fagfolk skrevet kapitler om ulike aspekter ved regning, ikke minst regning i alle skolens fag. Her vil jeg kommentere noe av innholdet:
Elin Reikerås kobler forskning og praksisnærhet på en god måte i kapitlet ”Ulike regnere og ulike typer regning”. Her får vi presentert fire elever med ulike ”regnestiler” og ulike oppfatninger av hva som er poenget med matematikken. Dette får blant annet konsekvenser for hvordan elevene ser på tekstoppgaver, åpne oppgaver osv. Disse elevene drøftes så i lys av nyere forskning slik at vi får antydninger til forklaring på hvorfor elever er så ulike. Slik motiverer kapitlet både til å kartlegge elevenes regnestiler og å lese mer.
Janne Fauskanger og Hilde Skaar Davidsens ”Regning før og ved skolestart” er et oppkomme av eksempler på at barn i førskolealder blir interessert i og motivert for å lære tallsymboler, for eksempel Oskar som vil følge med på stillingen i en fotballkamp. Pedagoger i barnehagene kan her få ideer til arbeid med barna og lærere i skolen får de samme ideene, men blir også minnet på at mange barn kan ha lært riktig mye før de kommer på skolen.
Reidar Mosvold skriver om ”Å regne – med utgangspunkt i dagligdagse situasjoner”. Han problematiserer hva det vil si å ta utgangspunkt i det dagligdagse, og gir eksempler på ulike læreres holdninger til dette. Og blant annet viser han til Inger Wisted, som (i Att vardagsanknyta matematikundervisningen) viste strålende eksempler på hvordan elever tvinges til å legge vekk sin kritiske sans og sine reelle erfaringer i en del såkalte ”dagligdagstilknyttede oppgaver”. Til slutt har Mosvold et eksempel fra bruk av sløydsalen i undervisning av Pytagoras’ setning. (For øvrig et godt eksempel på bruk av andre fag i matematikken, ikke av regning i kunst og håndverk.)
Margit Askelands kapittel om ”Regnestrategier i matematikk” minner om viktigheten av å være oppmerksom på elevenes strategier, og en del strategier for addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Deretter skisseres et omfattende opplegg for å gjøre elevene trygge i multiplikasjonstabellene ved hjelp av indre tale. I artikkelen framkommer det imidlertid ikke noe om hvordan elevenes holdninger ble påvirket av dette opplegget, som slik det er skissert ser litt ”kjedelig” og ”puggeaktig” ut. (Jeg forstår naturligvis at jeg kan lese mer om opplegget og få et mer nyansert bilde av det ved å gå til referansene.)
I kapitlet ”Grunnleggende regneferdighet i LK06: To aspekter” av Bjørnar Alseth beskrives både de siste matematikklæreplanenes behandling av ”ferdigheter” og utviklingen som førte fram til at Kunnskapsløftet beskriver ”grunnleggende ferdigheter”. Alseth presiserer at ordet ”ferdigheter” i Kunnskapsløftet ikke skal tolkes like snevert som det tradisjonelt har vært brukt i matematikkfaget, og at for eksempel problemløsning er en sentral del av de grunnleggende ferdigheter. Mot slutten av kapitlet kommer han med to gode eksempler på hvordan ”regning i alle fag” kan realiseres på fagenes egne premisser: gjennom kroppsøvingsfagets tabeller med råd om hvordan styrketrening kan legges opp og gjennom samfunnsfagets grafer over utviklingen av antall inngåtte ekteskap og antall skilsmisser per år. I begge tilfeller kommer regningen inn som en nødvendig støtte for å kunne arbeide med det faglige innholdet.
Geir Botten og Svein Arne Sikkos ”Historiske trender i regneopplæringen i Norge” gir en interessant gjennomgang av matematikkundervisningens historie i Norge fra 1200-tallet til i dag. Kapitlet slutter med å peke på spenningen mellom individualisering og nivådifferensiering på den ene siden og en aktivitetsbasert undervisning med vekt på å få erfaringer i et fellesskap på den andre siden.
Kai Otto Jørgensen og Simon Goodchilds ”Utvikling av unge elevers relasjonelle forståelse i matematikk” beskriver hvordan en matematikklærer (Jørgensen) jobber med blant annet dagens tall for å utvikle elevenes tallforståelse. Den viser på en konkret måte hvordan man kan stille spørsmål og ha en gjennomtenkt bruk av ulike representasjonsformer for å få til dette.
Anne Berit Fuglestad gir i kapitlet ”Digital regning – muligheter og utfordringer” en oppsummering av debatten rundt kalkulatorer og datamaskiner i matematikkundervisningen og gir en rekke eksempler på hvordan for eksempel kalkulatorer kan brukes på en undersøkende måte.
Del 1 av boka avsluttes med Kjersti Lundetræs ”De voksne regnerne” som i hovedsak handler om den internasjonale undersøkelsen Adult Literacy and Life Skills Survey (ALL). Den har undersøkt unge voksne (16-65 år) i til sammen 11 land for å kunne si noe blant annet om deres muligheter til å bruke regning i sitt voksenliv. Undersøkelsen viste at nærmere 40 prosent av norske 16-65-åringer ”har regneferdigheter som er lavere enn det OECD anser som nødvendig for å kunne takle dagliglivets kvantitative utfordringer på en god måte” (s. 136). Men likevel: Norge kommer bedre ut av det enn de andre landene som deltok.
I alt består del 1 av mange interessante artikler, skjønt koblingen til ”å regne i alle fag” er noe mer uklar enn jeg hadde ventet. Del 2, som går mer inn på regning i de enkelte fag, vil jeg komme tilbake til i et senere innlegg i bloggen.
(Jeg må for ordens skyld legge til at jeg kjenner de fleste av forfatterne av denne boka.)
søndag 16. august 2009
Årsakene til matematikkangst
En av fire voksne har "matteangst", skriver VG. Og Bård Vegar Solhjell sier at "Vi skal sette ned en arbeidsgruppe som skal se nærmere på hvordan matematikkfaget undervises, hvordan undervisningsmateriellet og lærerkompetansen er, og om det kan være behov for mer koblinger til praktiske eksempler."
Dette er nesten rart. Disse spørsmålene - og tilliggende spørsmål - er jo selve kjernen i forskningsområdet matematikkdidaktikk, som er stort både i Norge og i resten av verden. Man kan stusse litt over hva denne arbeidsgruppa vil finne ut som ikke alt er kjent.
La meg svare stikkordsmessig på Solhjells spørsmål:
1. Matematikkfaget undervises veldig forskjellig i forskjellige klasserom, men mange underviser det fortsatt på en tradisjonell måte hvor læreren viser fram en metode og elevene deretter skal bruke den på mange, mange oppgaver. Elevene får også slike oppgaver som lekser, men lekser følges sjelden opp senere, ifølge TIMSS-undersøkelsen. For eksempel. At det er for lite av oppsummeringer som oppfordrer elevene til å reflektere over hva de har lært, er et annet eksempel.
2. Lærerkompetansen er betenkelig - noe sånt som halvparten av alle matematikklærere på barnetrinnet mangler matematikk i sin lærerutdanning. Det innebærer at de underviser på grunnlag av det de selv har lært på skolen, og ikke har særlig kjennskap til noe av det forskningen har vist om matematikkundervisning.
3. Mer kobling til praktiske eksempler? Jo, gjerne det - og dette har blant annet Freudenthalinstituttet jobbet mye med. Men det er bare ett eksempel på hva man bør gjøre mer av. Men min kjepphest er at man trenger matematikklærere med kompetanse som selv kan vurdere hva som er nødvendig å gjøre i sin klasse, og som har tid til å diskutere slike problemstillinger med sine kolleger. Kompetanse og tid er sentrale stikkord.
Ikke minst er tilpasset opplæring viktig. Dyktige lærere som i fellesskap kan finne fram til måter å jobbe med tilpasset undervisning på sin skole er en måte å komme dit. Lærere som ikke har tid til annet enn å løpe fra time til time og innimellom har møter om organiseringen av neste ukes timeplan, vil lett tvinges til å undervise på et nivå som bare passer "elevene i midten", hvilket gjør at den nederste fjerdedelen får matematikkangst og den øverste fjerdedelen kjeder seg...
Oj, det er mye å si om dette temaet...
Dette er nesten rart. Disse spørsmålene - og tilliggende spørsmål - er jo selve kjernen i forskningsområdet matematikkdidaktikk, som er stort både i Norge og i resten av verden. Man kan stusse litt over hva denne arbeidsgruppa vil finne ut som ikke alt er kjent.
La meg svare stikkordsmessig på Solhjells spørsmål:
1. Matematikkfaget undervises veldig forskjellig i forskjellige klasserom, men mange underviser det fortsatt på en tradisjonell måte hvor læreren viser fram en metode og elevene deretter skal bruke den på mange, mange oppgaver. Elevene får også slike oppgaver som lekser, men lekser følges sjelden opp senere, ifølge TIMSS-undersøkelsen. For eksempel. At det er for lite av oppsummeringer som oppfordrer elevene til å reflektere over hva de har lært, er et annet eksempel.
2. Lærerkompetansen er betenkelig - noe sånt som halvparten av alle matematikklærere på barnetrinnet mangler matematikk i sin lærerutdanning. Det innebærer at de underviser på grunnlag av det de selv har lært på skolen, og ikke har særlig kjennskap til noe av det forskningen har vist om matematikkundervisning.
3. Mer kobling til praktiske eksempler? Jo, gjerne det - og dette har blant annet Freudenthalinstituttet jobbet mye med. Men det er bare ett eksempel på hva man bør gjøre mer av. Men min kjepphest er at man trenger matematikklærere med kompetanse som selv kan vurdere hva som er nødvendig å gjøre i sin klasse, og som har tid til å diskutere slike problemstillinger med sine kolleger. Kompetanse og tid er sentrale stikkord.
Ikke minst er tilpasset opplæring viktig. Dyktige lærere som i fellesskap kan finne fram til måter å jobbe med tilpasset undervisning på sin skole er en måte å komme dit. Lærere som ikke har tid til annet enn å løpe fra time til time og innimellom har møter om organiseringen av neste ukes timeplan, vil lett tvinges til å undervise på et nivå som bare passer "elevene i midten", hvilket gjør at den nederste fjerdedelen får matematikkangst og den øverste fjerdedelen kjeder seg...
Oj, det er mye å si om dette temaet...
onsdag 29. juli 2009
Spesialnummer om matematikkhistorie og undervisning
Nummer 2 av Educational studies in mathematics i 2007 var et spesialnummer om matematikkhistorie og undervisning. Av en eller annen grunn har jeg ikke lest dette nummeret før, men skal gjøre det i dagene framover. Jeg blogger om artiklene i min engelskspråklige blogg.
Den første artikkelen:
Luis Radford and Luis Puig: Syntax and Meaning as Sensuous, Visual, Historical forms of Algebraic Thinking.
Den første artikkelen:
Luis Radford and Luis Puig: Syntax and Meaning as Sensuous, Visual, Historical forms of Algebraic Thinking.
tirsdag 7. juli 2009
Tangenten 2/09: Oppgavediskursen i matematikk
Begrepsparet ”oppgavediskurs” og ”undersøkelseslandskap” har jeg brukt i mange sammenhenger gjennom årene, og jeg har stor sans for dem. Derfor setter jeg pris på at Tangenten har trykt opp igjen en gammel artikkel fra Stieg Mellin-Olsen om oppgavediskursen i matematikk. Ikke minst er dette fint fordi jeg helt til nå har trodd at begrepet ”oppgavediskurs” kom fra Ole Skovsmose, i likhet med begrepet ”undersøkelseslandskap”. Den gang ei.
Artikkelen beskriver hvordan mange (de fleste?) lærere omtaler faget. Undervisningen beskrives som en reise, som elevene skal ”gjennom”, hvor noen blir ”hengende etter”, hvor man må holde oppe tempoet og så videre og så videre. Oppgavene har en helt sentral rolle – både lærere og elever ser på oppgavene som det matematikken dreier seg om. Artikkelen viser også hvordan noen lærere prøver å tenke på andre måter, men nesten av seg selv glir over i oppgavediskurstankegang igjen.
Personlig avslører jeg stadig meg selv (og andre) i å skrive ut fra oppgavediskursen, og dette gjør at jeg (kanskje) klarer å være mer bevisst at det også finnes alternativer.
Så kan man naturligvis spørre om dette er helt spesielt for matematikkfaget. Svaret tror jeg er ja – jeg kan ikke komme på noe annet fag som (tradisjonelt) er så oppgavebasert som matematikkfaget. I fag som samfunnsfag opplever jeg oppgavene mer som en kontroll for elev og lærere på at man har lest og fått med seg teksten, mens det i matematikk nærmest er omvendt: teksten er der for at man skal få til oppgavene, og får man til oppgavene uten teksten, dropper man lesingen.
Artikkelen beskriver hvordan mange (de fleste?) lærere omtaler faget. Undervisningen beskrives som en reise, som elevene skal ”gjennom”, hvor noen blir ”hengende etter”, hvor man må holde oppe tempoet og så videre og så videre. Oppgavene har en helt sentral rolle – både lærere og elever ser på oppgavene som det matematikken dreier seg om. Artikkelen viser også hvordan noen lærere prøver å tenke på andre måter, men nesten av seg selv glir over i oppgavediskurstankegang igjen.
Personlig avslører jeg stadig meg selv (og andre) i å skrive ut fra oppgavediskursen, og dette gjør at jeg (kanskje) klarer å være mer bevisst at det også finnes alternativer.
Så kan man naturligvis spørre om dette er helt spesielt for matematikkfaget. Svaret tror jeg er ja – jeg kan ikke komme på noe annet fag som (tradisjonelt) er så oppgavebasert som matematikkfaget. I fag som samfunnsfag opplever jeg oppgavene mer som en kontroll for elev og lærere på at man har lest og fått med seg teksten, mens det i matematikk nærmest er omvendt: teksten er der for at man skal få til oppgavene, og får man til oppgavene uten teksten, dropper man lesingen.
fredag 26. juni 2009
Gard Brekke er død
En nestor i norsk lærerutdanning innen matematikk, Gard Brekke, er død.
Han har vært savnet siden 18. mars, men ble ikke funnet før tirsdag denne uken.
Tankene går til familie, venner og kolleger.
Se artikkel i Telen.
Han har vært savnet siden 18. mars, men ble ikke funnet før tirsdag denne uken.
Tankene går til familie, venner og kolleger.
Se artikkel i Telen.
søndag 14. juni 2009
Matematikkdidaktikk i klasserommet
Olafsen/Maugesten: Matematikkdidaktikk i klasserommet. Universitetsforlaget 2009.
Denne boka fyller opplagt et hull i den tilgjengelige bunken av litteratur for lærerstudenter. Det har en stund vært slik at de mest matematikkdidaktiske bøkene har vært rettet mest mot barnetrinnet. Denne boka har særlig vekt på ungdomstrinnet. Sentrale matematikkdidaktikkbøker som "Begynneropplæringen" og "Det matematiske barnet" har dessuten vært gode til å gi innsikt i hvordan elevene lærer, men mindre opptatt av undervisningen.
"Matematikkdidaktikk i klasserommet" er proppfull av konkrete eksempler på oppgaver og aktiviteter. Det kan muligens være et problem at den forutsetter gode matematikkunnskaper hos sine lesere - til tider skal man kunne matematikken godt for å se hva de matematiske poengene er ved oppgavene, især når begrunnelsene i boka blir knappe.
Boka favner bredt og er oppdatert på nyere forskning - til og med TIMSS 2007-resultatene (som ble offentliggjort i 2009) er behandlet. Sentrale temaer er grunnleggende ferdigheter, problemløsning og PBL, ulike arbeidsmåter og oppgavetyper, hoderegning, IKT og tilpasset opplæring.
Noen steder blir behandlingen av temaene litt knapp. For eksempel blir "kognitiv konflikt" så kort beskrevet at leseren neppe vil se kraften i dette. (Noen studenter tror av og til at når man har oppdaget en misoppfatning vil det holde å fortelle eleven om emnet en gang til, så vil misoppfatningen gå over. Da overser de kraften i å få eleven selv til å oppdage, gjennom nøye utvalgt konkretisering, for eksempel, at tankegangen er gal.) Og det som sies om "rike oppgaver" åpner for ganske ulike tolkninger.
Boka kan trygt anbefales, gjerne akkompagnert av gode diskusjoner i kurs- eller utdanningssammenheng.
Denne boka fyller opplagt et hull i den tilgjengelige bunken av litteratur for lærerstudenter. Det har en stund vært slik at de mest matematikkdidaktiske bøkene har vært rettet mest mot barnetrinnet. Denne boka har særlig vekt på ungdomstrinnet. Sentrale matematikkdidaktikkbøker som "Begynneropplæringen" og "Det matematiske barnet" har dessuten vært gode til å gi innsikt i hvordan elevene lærer, men mindre opptatt av undervisningen.
"Matematikkdidaktikk i klasserommet" er proppfull av konkrete eksempler på oppgaver og aktiviteter. Det kan muligens være et problem at den forutsetter gode matematikkunnskaper hos sine lesere - til tider skal man kunne matematikken godt for å se hva de matematiske poengene er ved oppgavene, især når begrunnelsene i boka blir knappe.
Boka favner bredt og er oppdatert på nyere forskning - til og med TIMSS 2007-resultatene (som ble offentliggjort i 2009) er behandlet. Sentrale temaer er grunnleggende ferdigheter, problemløsning og PBL, ulike arbeidsmåter og oppgavetyper, hoderegning, IKT og tilpasset opplæring.
Noen steder blir behandlingen av temaene litt knapp. For eksempel blir "kognitiv konflikt" så kort beskrevet at leseren neppe vil se kraften i dette. (Noen studenter tror av og til at når man har oppdaget en misoppfatning vil det holde å fortelle eleven om emnet en gang til, så vil misoppfatningen gå over. Da overser de kraften i å få eleven selv til å oppdage, gjennom nøye utvalgt konkretisering, for eksempel, at tankegangen er gal.) Og det som sies om "rike oppgaver" åpner for ganske ulike tolkninger.
Boka kan trygt anbefales, gjerne akkompagnert av gode diskusjoner i kurs- eller utdanningssammenheng.
torsdag 11. juni 2009
Min Lidle Norske Regnebog
Geir Botten har lenge studert Norges første lærebok i matematikk, Arithmetica Danica fra 1645. Den var skrevet av Tyge Hanssøn ved Trondheim katedralskole. Bottens arbeid med boka har resultert i boka Min Lidle Norske Regnebog.
Å se på ei drøyt 350 år gammel matematikklærebok er interessant av så mange slags årsaker. Vi ser noe om hva som var kjernen i matematikkfaget den gang og dermed hvordan matematikkfaget har utviklet seg. Vi ser hvordan matematikken var presentert og dermed noe om utviklingen på det didaktiske området. Men vi ser også en hel del om samfunnet for øvrig, gjennom valget av kontekster i oppgaver og eksempler – og de mange motiverende versene som boka inneholder. Og gjennom at Geir Botten skriver litt om norsk skole på denne tida, lærer vi litt om det også.
Noen ganger tenker vi kanskje at tekstoppgaver er et moderne fenomen. Det er det ikke. Et godt eksempel fra boka er dette:
«En mann fortjener daglig ved bryggen når han arbeider, 15 skilling og fordrikker 9 når han er ørkesløs. Da året var passert er alt sammen fordrukket og dertil skyldig ølkonen 7 mark og 8 skilling. Hvor mange dager har han arbeidet og hvor mange har han vært ørkesløs? Fasit 112 dager arbeidet, 200 dager holdt hellig».
Bare i en slik liten oppgave er det mye å fordype seg i. At oppgaven er ment å advare mot drukkenskap er det vel liten tvil om. Det er imidlertid interessant å vurdere om oppgaven er realistisk. Botten nevner også den noe interessante koblingen mellom å holde dager hellige og å opparbeide drikkegjeld.
Læreboka starter med å beskrive hvordan vi skriver tall, viser algoritmer for addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon, alt relativt kjent fortsatt. Den legger stor vekt på å lære gangetabellen, noe vi fortsatt legger vekt på. Innen likningsløsning presenterer den metoden regula de tri. (Vi må huske at boka var skrevet før vi begynte med x’er og y’er i slike oppgaver.) Den viser også utregning av kvadratrøtter og kubikkrøtter – som i dag regnes som klart for vanskelig for våre elever.
Som nevnt tidligere i denne bloggen har Arithmetica Danica med en grei måte å sjekke utregninger på, basert på tverrsum (evnt moduloregning, alt etter hvordan man ser det). Denne sjekkmetoden var med i enkelte norske lærebøker ihvertfall så sent som på 1970-tallet, og undervises fortsatt i gresk skole. Både i Arithmetica Danica, i Norge på 70-tallet og i dagens greske skole blir den presentert i lærebøker uten forklaring. Den er derfor i seg selv eksempel på en seiglivet tradisjon med å vise metoder uten å bry seg om forståelsen.
Jeg tror mange lærere og lærerstudenter (og lærerutdannere, naturligvis) vil ha stor glede av å lese denne boka. Jeg regner også med at den vil vekke interesse utenfor landets grenser, og håper at i det minste høydepunkter fra den blir tilgjengelig på utenlandsk i nær framtid…
(For ordens skyld: jeg har vært engasjert av forlaget som konsulent for boka.)
Å se på ei drøyt 350 år gammel matematikklærebok er interessant av så mange slags årsaker. Vi ser noe om hva som var kjernen i matematikkfaget den gang og dermed hvordan matematikkfaget har utviklet seg. Vi ser hvordan matematikken var presentert og dermed noe om utviklingen på det didaktiske området. Men vi ser også en hel del om samfunnet for øvrig, gjennom valget av kontekster i oppgaver og eksempler – og de mange motiverende versene som boka inneholder. Og gjennom at Geir Botten skriver litt om norsk skole på denne tida, lærer vi litt om det også.
Noen ganger tenker vi kanskje at tekstoppgaver er et moderne fenomen. Det er det ikke. Et godt eksempel fra boka er dette:
«En mann fortjener daglig ved bryggen når han arbeider, 15 skilling og fordrikker 9 når han er ørkesløs. Da året var passert er alt sammen fordrukket og dertil skyldig ølkonen 7 mark og 8 skilling. Hvor mange dager har han arbeidet og hvor mange har han vært ørkesløs? Fasit 112 dager arbeidet, 200 dager holdt hellig».
Bare i en slik liten oppgave er det mye å fordype seg i. At oppgaven er ment å advare mot drukkenskap er det vel liten tvil om. Det er imidlertid interessant å vurdere om oppgaven er realistisk. Botten nevner også den noe interessante koblingen mellom å holde dager hellige og å opparbeide drikkegjeld.
Læreboka starter med å beskrive hvordan vi skriver tall, viser algoritmer for addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon, alt relativt kjent fortsatt. Den legger stor vekt på å lære gangetabellen, noe vi fortsatt legger vekt på. Innen likningsløsning presenterer den metoden regula de tri. (Vi må huske at boka var skrevet før vi begynte med x’er og y’er i slike oppgaver.) Den viser også utregning av kvadratrøtter og kubikkrøtter – som i dag regnes som klart for vanskelig for våre elever.
Som nevnt tidligere i denne bloggen har Arithmetica Danica med en grei måte å sjekke utregninger på, basert på tverrsum (evnt moduloregning, alt etter hvordan man ser det). Denne sjekkmetoden var med i enkelte norske lærebøker ihvertfall så sent som på 1970-tallet, og undervises fortsatt i gresk skole. Både i Arithmetica Danica, i Norge på 70-tallet og i dagens greske skole blir den presentert i lærebøker uten forklaring. Den er derfor i seg selv eksempel på en seiglivet tradisjon med å vise metoder uten å bry seg om forståelsen.
Jeg tror mange lærere og lærerstudenter (og lærerutdannere, naturligvis) vil ha stor glede av å lese denne boka. Jeg regner også med at den vil vekke interesse utenfor landets grenser, og håper at i det minste høydepunkter fra den blir tilgjengelig på utenlandsk i nær framtid…
(For ordens skyld: jeg har vært engasjert av forlaget som konsulent for boka.)
Abonner på:
Innlegg (Atom)
Innlegg
