En sannsynlighetsoppgave fra Lewis Carroll

I arbeidet med eleviki kom jeg over en sannsynlighetsoppgave fra Charles Dodgson (som skrev under pseudonymet Lewis Carroll). Oppgaven lød som følger, i Helge Flakstads oversettelse (vil jeg anta):

"En pung inneholder en brikke som er enten svart eller hvit. En hvit brikke av samme form legges i pungen, brikkene ristes godt om og en brikke trekkes ut. Den viser seg å være hvit. Hva er så sannsynligheten for at den siste brikken i pungen også er hvit?"

For å være helt presis: vi kan anta at vi har trukket en tilfeldig brikke fra to (en svart og en hvit), og at vi har lagt denne i pungen - slik at vi anser sannsynligheten for å være 50 % for at brikka i pungen i utgangspunktet var hvit og 50 % for at den var svart. Da er det nærliggende å tenke at etter at vi har lagt i og så fjernet en hvit brikke, er sannsynligheten fortsatt 50 %. Men det er galt. Hva er sannsynligheten?

For egen del synes jeg det her er enklest å lage en tabell:

I utgangspunktet	Hvit (50%)	Svart (50%)
Legger i en hvit	2 hvite	1 hvit og en svart
Trekker ut én	1 hvit (100% av de 50%)	1 hvit (50% av de 50%) eller en svart (50% av de 50%)
Tilbake ligger	1 hvit (50%	1 hvit (25%) eller en svart (25%)

Det viktige er at når "det viser seg" at den uttrukne er hvit, vet vi at vi forholder oss til de 75 % som er med fet skrift i tabellen. I 50/75 vil da den som ligger tilbake være hvit, altså i 2/3 av tilfellene.

(Jeg håper tabellen er leselig i din browser...)

Tangenten 2/09: Lottotrekningen i Excel

Min gamle kollega Peer Andersen beskriver i Tangenten 2/09 hvordan Excel kan brukes til å simulere Lottotrekninger.

Det er flere gode grunner til å bruke simuleringer i sannsynlighetsregningen. En bruk av simuleringer er for å tilnærme seg sannsynligheter som man ikke kan regne ut eller hvor man er usikker på utregningsmetoden. Et klassisk eksempel er å regne ut sannsynligheten for å få to kron på to myntkast, hvor simuleringer kan bidra til å overbevise tvilerne om at sannsynligheten faktisk er 1/4.

Peers anliggende er ikke det. Men han påpeker mot slutten av artikkelen at ”En ting er å lese at sjansen for å vinne er en viss prosent. Dette blir for mange bare et tall. Det er noe annet […] å se resultatet av f. eks. 1000 trekninger, som tilsvarer ukentlig spill i drøye 19 år […]” Simuleringen gir altså mer detaljert informasjon om hva som kan skje enn bare prosentandelene gjør.

Til slutt må jeg få legge til mitt vanlige argument når noen påstår at det er dumt å spille Lotto. Da spør jeg hva som er dummest: å spille en Lottokupong til 40 kroner eller å gå på kino for 80 kroner? Utbyttet er i begge tilfeller vanligvis 0 kroner. Mitt poeng er at det ikke er særlig lurt å spille Lotto som investering, men som underholdning, derimot, kan det være lurt, hvis man faktisk synes at det er gøy.