Tangenten 1/2010: Praktiske aktiviteter – ikke noen lek

I artikkelen ”Praktiske aktiviteter – ikke noen lek” beskriver Frode Olav Haara en butikkaktivitet gjennomført av henholdsvis en ufaglært vikar og en erfaren matematikklærer. Den viser hvor viktig lærerens rolle er, og betydningen av en kompetent lærer for at denne rollen skal bli god.

Et kort sitat: ”For didaktisk å kunne forsvare bruken av aktiviteten må den være formålstjenlig i forhold til et eller flere faglige mål og læreren må legge til rette for at aktiviteten skal gi faglige utfordringer i henhold til undervisningens faglige mål. Det gjør den neppe om elevene er i butikkonteksten uten mål og mening.”

Artikkelen passer godt inn i den fornyede interessen for lærerkompetanse som har vært å merke de siste årene. Mens man tidligere kanskje var mer opptatt av å studere barns læring, har stadig flere forskere blitt opptatt av hva som egentlig ligger i lærerkompetanse og hvordan den arter seg. For lærerutdannere er jo det relativt sentrale grunnlagsspørsmål. En forsker som jeg har stor sans for i den sammenhengen, er Deborah Ball, men det finnes mange flere, og det skal bli spennende å se hvordan lærerutdanningen blir påvirket av dette i årene framover.

Tangenten 1/2010: Ostomachion

Ostomachion er et av verdens eldste puslespill, men jeg hadde ikke hørt om det før jeg leste Tangenten 1/2010. Det er Gjert-Anders Askevold som forteller om det i den artikkelen. Han er i godt selskap - tidligere har selveste Arkimedes skrevet om Ostomachion, kan Askevold fortelle.

Ostomachion er et puslespill a la tangram, hovedforskjellen er kanskje at tangrammet har "mer regulære" figurer. Det kan pusles sammen - se en dynamisk nettside for å prøve det uten å måtte klippe papir - eller du kan more deg med å finne arealer osv. Askevold bruker det blant annet til å komme inn på stambrøker.

Derfor: har du sans for tangram i matematikkundervisningen, kan du sikkert få sans for ostomachion også.

Tangenten 1/2010: Konkreter i læring av algebra

Hva er poenget med konkreter i algebra? I forordet til dette nummeret av Tangenten skriver Christoph Kirfel at det er fire aspekter som er sentrale når man bruker konkretisering: materialisering, eksemplifisering, kontekstualisering og visualisering.

Reinert Rinvold skriver i sin artikkel "Konkreter i læring av algebra" om en konsekvens av å jobbe konkret som vi kanskje ikke tenker så ofte over. I artikkelen jobber elever med figurtall, og forfatteren ser på hvordan elevene tenker om dette. Jeg tar med et lite sitat fra artikkelen for å vise tankegangen:

Vi ser at det brukes mye gester når det arbeides med fysiske mønstre. Håndbevegelsene til Lisa bidrar trolig til å skape en romlig representasjon som avlaster arbeidsminnet, se Sabina (2008). Den siste av håndbevegelsene peker ikke
på en konkret figur. Slike gester kan være med å danne et mer abstrakt bilde av figurene.

Det å observere elevenes språkbruk har vært veldig populært ganske lenge, og det er blitt gjort en god del forskning med båndopptakere i klasserommet. I denne artikkelen gis det noen eksempler på at man da mister mye informasjon - av og til kan håndbevegelser ikke bare si mye om hvordan elevene tenker, men sannsynligvis også være en sentral del av selve læringen.

Jeg er takknemlig for alle artikler som gir meg mer innsikt i hva det der med "semiotikk" egentlig handler om. Artikkelen viser til Luis Radford som har jobbet mye med dette. Jeg har hørt Radford mange ganger, men har hatt en lei tendens til å koble ut når ord som "semiotisk" og "tegn" dukker opp. Neste gang jeg hører ham skal jeg prøve å følge med også på de delene av foredragene... :-)

Tangenten 1/2010: Perlesnor og tom tallinje

Tangenten 1/2010 er et temanummer om konkretisering. Den første artikkelen er skrevet av Hanne Hafnor Dahl og May Else Nohr, og handler om perlesnor og tom tallinje.

Det er vel forskere ved Freudenthalinstituttet som har æren for at perlesnor og tomme tallinjer har kommet inn i skolen.(1) Her i Norge har blant annet min kollega Ida Heiberg Solem jobbet mye med det. Perlesnora kan for eksempel ha 100 kuler, hvor det er ti hvite, ti røde, ti hvite og så videre. Arbeid med denne perlesnora gir dermed blant annet mulighet til å bli kjent med å se på tall som sammensatt av tiere og enere.

De tomme tallinjene kan ses på som en videreføring av perlesnora. At tallinjene er "tomme" innebærer at de ikke har alle tallene markert. Eleven fyller selv på de tallene som trengs i den aktuelle oppgaven. Det at tallinja er "tom" gjør at eleven kan bruke sine egne strategier. Det er vel dette som er noe av hovedpoenget - at man kan bruke denne som verktøy med mange ulike strategier, og gradvis oppdage forenklinger.

Jeg har selv fortalt litegranne om tomme tallinjer (og perlesnorer) på kurs for lærere, og fått tilbakemelding om at det var elever i disse lærernes klasser som ikke hadde fått til addisjon og subtraksjon før, men som nå virkelig utfoldet seg. Dette er naturligvis anekdotisk informasjon, men likevel en inspirasjon til å lære mer om det.

Artikkelen i Tangenten forteller naturligvis bare en kortversjon av alt det Dahl og Nohr vet (de har tidligere skrevet et helt hefte om det, og også arbeidet dette i en mastergrad), men den er likevel et utmerket utgangspunkt for nysgjerrige lærere.

(1): Jeg innrømmer at jeg ikke kjenner historien til verken perlesnorer eller tomme tallinjer. Jeg vet bare at det er fra Freudenthalinstituttet de jeg kjenner har fått inspirasjon, og at tomme tallinjer har blitt nevnt i samme åndedrag som Freudenthalinstituttet også i andre land jeg har vært.

Tangenten 4/09: Kengurukonkurransen

I Tangenten 4/09 har Anne-Gunn Svorkmo en interessant henvisning til Kengurukonkurransen, en internasjonal sak med vekt på "bra problem som är tänkta att väcka nyfikenhet och lust att lära matematik". På nettstedet til konkurransen er det et vell av gode og litt utradisjonelle oppgaver med løsningsforslag.

Bare litt pirk: i Tangentenartikkelen står følgende oppgave: "Romeo skrev en rad med flere ulike positive heltall. Alle tallene var mindre enn 11. Julia undersøkte tallene og oppdaget noe interessant. Hvert tall i raden var delelig med sitt nabotall. Hvor mange tall kan Romeo maksimalt ha skrevet?" Bytter man ut ordene "sitt nabotall" med "ett av sine nabotall" blir det lettere å forstå oppgaven. Det er en fin - og passe begrenset - utforskningsoppgave.

Tangenten 4/09: Læreren som vurderer

Hans Isdahl har et interessant leserinnlegg i Tangenten 4/09. Han peker på at det har skjedd en glidning i karakterkravene i videregående skole. I tidligere tider var det en ganske firkantet uskreven regel om at kravene til bestått burde være 30%, til treer 50%, til firer 65%, til femmer 80%. Men nå har det kommet nye grenser: 25-27%, 41-43%, 59-60% og 76-77%.

Det Isdahl ikke tar opp er hvordan prøvene har sett ut og ser ut. En fast strykgrense på 30% er bare en "fast" grense hvis eksamensoppgavene fra år til år har samme profil (altså er like vanskelige og har samme andel oppgaver på ulike vanskelighetsnivåer). Og på samme måte: Man kan ikke si at det å la 25-27% bestå på dagens prøve er "snillere" enn å la 30% bestå på tidligere prøver, uten å vurdere innretningen på de eksamenene som gis.

Videre bør man kanskje også se på om læreplanene er mer eller mindre ambisiøse enn før. Det er sikkert lett å finne områder hvor ambisjonene har gått ned (jeg tipper at euklidsk geometri er et slikt område), men samtidig er det områder som er en del av matematikkfaget som elever lærte lite eller ingenting om for 30-40 år siden, som sannsynlighetsteorien. Hvis læreplanene fylles med mer innhold og prøvene tester alt, kan 27% nå likevel tilsvare 30% før. Er det omvendt, er situasjonen enda verre enn Isdahl skisserer.

Det er grunn til å være på vakt, slik Isdahl er. Det er vanskelig å holde fast på kvalitetskrav over tid, og det ville vært interessant om noen gjorde en større analyse av dette feltet. Noen helt enkel oppgave er det ikke.

Tangenten 4/09: Skriving i matematikkfaget

Visste du at den nye formeleditoren i Word støtter direkte innskriving i LaTeX (det klassiske "programmeringsspråket" for å skrive matematikk? Jeg visste faktisk ikke det, til tross for at jeg bruker Word daglig og er en gammel tilhenger av LaTeX (jeg skrev for eksempel hovedoppgaven min i LaTeX). For alle som vil skrive matematikk raskt og enkelt på datamaskin, bør nok litt LaTeX læres.

Øistein Gjøvik og Anders Sanne har en artikkel om dette i Tangenten 4/09. Artikkelen ligger også på nett. Der går de også inn på hvordan man kan bruke GeoGebra som "dynamisk hjelpefigur" (altså ikke kun til å lage figurene etter at man har tenkt ferdig om hvordan den skal lages).

Det er artig når artikler kan fortelle deg noe nytt om noe du trodde du kunne...

Tangenten 4/09: Elektroniske tavler

Trude Fosse har i Tangenten 4/09 en artikkel om potensialet elektroniske tavler har i matematikkundervisningen.

Elektroniske tavler (ev. interaktive tavler - interactive whiteboards) har ganske raskt fått en veldig sterk posisjon i norske klasserom. Jeg besøker stadig skoler hvor mange eller alle klasserommene har slike. Og ofte møter jeg lærere som ikke kan huske å ha bedt om dette og som ikke vet helt hvordan de kan brukes.

Fosse går gjennom mange av arbeidsformene. Interaktive tavler kan naturligvis brukes akkurat som ei vanlig tavle - til å skrive på. Og man kan lagre det man har skrevet og legge det på klassens LMS (læringsmiljøsystem) hvor elevene kan se nærmere på det senere. Tavlene har også mange innebygde aktiviteter og spill, man kan ha terninger og spill oppe på tavla. Man kan tegne en stor figur når den skal ha oppmerksomheten, og så kan man raskt forminske den og ha den stående i et hjørne av tavla til påminnelse resten av timen. Man kan bruke regneark og geometriprogrammer (som GeoGebra).

Sommeren 2008 var jeg på ICME, den store internasjonale matematikkundervisningskonferansen (The International Congress on Mathematical Education). Jeg deltok blant annet i ei gruppe som snakket om interaktive tavler. Disse forskerne mente at det var en spesielt iøynefallende fordel med interaktive tavler: man kan la elevene holde på med konkretiseringsmateriell, og når man skal oppsummere, kan man ha bilder av det samme materiellet på den interaktive tavla. Slik kan elevene vise hva de har gjort for hele klassa på en enkel måte (uten at læreren trenger å ha et eget "tavlesett" av konkretene). Slik kan altså arbeid med tangram, med tellebrikker, tibasemateriell, spikerbrett og så videre oppsummeres.

Akkurat dette: å kunne oppsummere og diskutere elevenes aktiviteter på en bedre måte enn det man tidligere har klart, vil kunne bli det viktigste bidraget interaktive tavler gir. Hvis man får det til.

Tangenten 4/09: Bevisets stilling

I en kort artikkel i Tangenten 4/09 viser Christoph Kirfel et alternativt bevis for visse kvadratrøtters irrasjonalitet.

Mange matematikklærere synes nok at elevene bør bli kjent med noen beviser, og beviset for at kvadratroten av 2 er irrasjonal er ikke en helt urimelig kandidat. Imidlertid bygger beviset på aritmetikkens fundamentalsetning, noe som gjør det litt tungt. Kirfel viser et bevis for at kvadratroten av 3 er irrasjonal som ikke krever noe sånt. Uheldigvis krever det ørlitegranne regning med kvadratrøtter, men likevel kan det være et fint alternativ. Ideen i beviset er enkel: fra en brøk a/b som antas å være lik kvadratroten av 3 og ha minimal nevner, konstrueres en ny brøk som viser seg å ha mindre nevner.

Ikke dumt...

Tangenten 4/09: Modellering, måling og meningsfull matematikk

Kyrre Johannesen: Modellering, måling og meningsfull matematikk. Tangenten 4/2009.

Modellering er et viktig stikkord når det gjelder å forklare hvorfor matematikk er et så sentralt kunnskapsområde. Men eksemplene på modellering som presenteres er ikke alltid overbevisende. Selv har jeg for eksempel vært med på å trille kuler ned en bakke og forsøkt å finne sammenhengen mellom hvor høyt oppe i bakken de startet og hvor lang tid de tok. Jeg har også sett at man holder på med å slippe Barbiedukker ned i strikkhopp. Begge deler unektelig morsomme aktiviteter, men det skal en del fantasi til for å overbevise elevene om at dette er matnyttig. (Og er det noe modellering jo nettopp er i den virkelige verden, er det matnyttig.)

Kyrre Johannesens artikkel viser derimot et slående nyttig eksempel: i kornlagre blir kornet gjerne liggende i kjegleaktige hauger, rett og slett fordi kornet fylles på fra et hull i taket. Det er nødvendig for de som eier kornet å kunne finne ut hvor mye korn de har - der det ligger. Det enkleste de kan måle er avstanden fra hullet i taket til toppen av haugen. Finnes det en formel?

Dette kan naturligvis testes i klasserommet og en god del matematikk kan trekkes inn. Elevene kan gjette hvordan sammenhengen er og prøve seg fram. Og de vet hele tiden at den matematikken de holder på med faktisk brukes ute i samfunnet.

Min eneste bekymring er at det fort blir relativt mye søl hvis ei klasse skal holde på med å lage sukkerkjegler i klasserommet. (Nei, det er ikke gøy å plukke sukkerkorn fra gulvet...) Kanskje man heller skulle legge denne timen til ei lokal sandkasse?

I samme nummer av Tangenten har Ragnhild Hansen en artikkel med tittelen "Modellering og kritisk demokratisk kompetanse".

Tangenten 1/2010

Jeg ser at Tangenten 1/2010 er på vei - ihvertfall har noe av innholdet blitt lagt ut på tidsskriftets hjemmesider. Jeg skal naturligvis lese bladet med interesse når det kommer. Men inntil videre må jeg nøye meg med å kommentere de delene av innholdet jeg allerede har lest, nemlig:

Geir Martinussen og Bjørn Smestad: Multiplikasjon og divisjon av brøk - en artikkel om hvordan multiplikasjon og divisjon av brøk kan forklares for elever. Ikke revolusjonerende stoff for oss som jobber i lærerutdanning, men vi møter overraskende ofte lærere i skolen som ikke har gode strategier for å forklare dette på rede hånd. Derfor kan det være greit med en artikkel om det. (Og for ordens skyld: Geir Martinussen har gjort det meste av arbeidet med artikkelen, mens jeg har bidratt i sluttfasen av arbeidet.)

Bjørn Smestad: Norske ressurser om matematikkhistorie - dette er en kort artikkel som refererer til den lista over ressurser om matematikkhistorie på norsk som jeg har publisert i eleviki. Den nevner kort noen av de viktigste kildene for lærere som vil vite mer om matematikkhistorie. Jeg er for øvrig fortsatt ivrig opptatt av å få flere innspill på norsk litteratur om temaet. Ved siden av at det er nyttig i seg selv å ha ei slik liste, skal jeg også legge fram en analyse av dette på en konferanse i Wien i sommer.

Tangenten 4/09: Arbeidsplaner

Ole Kristian Bergem holdt et foredrag om arbeidsplaner på matematikklærerutdanningskonferansen i Loen i fjor høst. Det kommenterte jeg i et tidligere blogginnlegg. Artikkelen i Tangenten 4/09 har en del av det samme innholdet.

Bergem er altså opptatt av de negative virkningene av arbeidsplaner, slik de framkommer i ny forskning. Norsk matematikkundervisning er allerede i overkant individualisert, men med arbeidsplaner forsterkes dette. I tillegg uttrykker elevene at det læreren gjennomgår i liten grad passer med det elevene jobber med akkurat da. Arbeidsplanene skiller heller ikke mellom skole- og hjemmearbeid, med de opplagte negative følgene det får.

Som jeg skrev i september: "Til sammen dannet Bergems konklusjoner, underbygget av en rekke sitater fra elever som var blitt intervjuet, et ganske deprimerende bilde. Hvis lærergjerningen blir redusert til å sette en toukersperiode i gang og så avslutte den to uker senere, uten å ha elevens oppmerksomhet i mellomtiden, og uten å være den som hjelper elevene når de står fast, blir det hele ganske så håpløst. Og kjedelig." Arbeid med arbeidsplaner må skje med nøye blikk for slike mulige negative konsekvenser.

Tangenten 3/09: Matematikk på perspektivet

Svenning Bjørke har skrevet en artikkel om perspektivtegning. Perspektivtegning er jo noe som mange matematikklærere overlater til kunst og håndverklæreren (det er i begge fagplanene), men det er litt dumt. Temaet har nemlig et stort matematisk potensiale som det er fare for at kunst og håndverklæreren ikke får elevene til å se. For eksempel kan de grunnleggende reglene for perspektivtegning beskrives i matematisk språk, med henvisning til parallelle linjer, skjæringspunkter og vinkler.

Bjørke har med en interessant ”grublis”: hvis du ser en mann stå et stykke unna, hvordan kan du gi et godt anslag på hvor langt unna han er – naturligvis uten å gå bort til ham eller få han til å komme bort til deg? Løsningen på denne grublisen inneholder formlike trekanter.

Bjørke skriver også om hvordan GeoGebra kan brukes til å utforske perspektiv. Her vil jeg vise til en figur som jeg har laget og publisert i GeoGebra-wikien. Denne viser hvordan dynamiske illustrasjoner kan gi andre muligheter til å utforske perspektivtegning enn statiske tegninger kan gjøre.

Til slutt i artikkelen skriver Bjørke om det problemet at hvis vi verken vet størrelsen på en ting eller hvor langt unna det er, kan vi ikke bestemme noen av delene basert på synsinntrykket. Det minner meg om følgende sitat som jeg ikke husker helt hvor jeg har fra: ”Hvis den er så langt borte som den ser liten ut, da er den jammen stor!”

Lenke til artikkelen.

Tangenten 3/09: Matematikk i Bård Breiviks kunst

At mye kunst har sterk tilknytning til matematikk er velkjent. Men det er velkomment når vi får førstehånds innblikk i nøyaktig hvordan denne tilknytningen arter seg i den moderne kunsten.

Christoph Kirfels artikkel om "Matematikk i Bård Breiviks kunst" forteller om et samarbeid mellom billedkunstner Bård Breivik og en arkitekt, en professor i bildebehandling og en informatikkstudent. Målet med samarbeidet var å utsmykke det nye informatikkbygget ved UiO. Inspirert av stjernebildet Orion og bildebehandling, og ved hjelp av kompliserte datamodeller, endte det hele opp som et tredimensjonalt bølgeaktig kunstverk som i dag kan ses på veggen på Blindern, hvis jeg forstår det rett.

Interessant!

Lenke til artikkelen.

Tangenten 3/09: Vicenzo Vivianis setning

Vicenzo Vivianis setning sier at hvis du velger et punkt S i det indre av en likesidet trekant, vil summen av de tre avstandene fra S til de tre sidene alltid være den samme og lik trekantens høyde h.

Dette kan bevises enkelt, noe artikkelforfatter Arne Amdal også gjør: Arealet av trekanten er sidelengden multiplisert med h. Men man kan jo også dele opp trekanten i tre mindre trekanter ved å trekke linjer fra S til hjørnepunktene. Arealene av hver av disse tre trekantene blir sidelengden ganget med den respektive høyden. Da ser vi at høyden i den store trekanten er lik summen av de tre ”små” høydene, og dermed har vi vist setningen.

Setningen er morsom fordi den er så enkel, og elevene kan lett oppdage den selv for eksempel ved eksperimentering i GeoGebra.

Tangenten 3/09: Geometriske paradigmer

Jeg har alltid syntes at skolegeometrien er litt vanskelig. Euklids geometri er for så vidt oversiktlig og grei; man starter med starten og arbeider seg stegvis utover. I skolen, derimot, er man ikke så systematisk, og jeg føler av og til at det kan bli en litt vaklende oppbygging: noen teoremer begrunnes bare intuitivt uten å gå i dybden, mens man så må gi et logisk holdbart bevis som bygger på de vi nettopp viste intuitivt. Av og til føler jeg at jeg må gjette på om den setningen jeg har lyst til å bruke faktisk er bevist enda, eller om den kommer litt lenger ut i boka…

Alain Kuzniaks artikkel ”Geometriske paradigmer” har relevans for den problemstillingen jeg har skissert. Han skiller mellom tre forskjellige geometriske paradigmer, hvor det første ”har den virkelige og følbare verden som sannhetskilde”, det andre er av typen klassisk euklidsk geometri, mens den tredje er formell aksiomatisk geometri. Problemet oppstår når man skifter mellom paradigmene, gjerne uten at verken elevene eller læreren er klar over det – hvis man det ene øyeblikket er opptatt av å bevise formelt noe som er intuitivt opplagt, mens man det neste øyeblikket hopper over det formelle fordi det er ideen man vil ha fram – og spiller på intuisjonen for å få fram det man vil.

Løsningen blir altså matematikklærere som er klar over dette problemet og en lærebok som også er det…

Tangenten 4/09: Julekorger

Gjert-Anders Askevold har en interessant artikkel i Tangenten 4/09 som jeg fant ut at jeg måtte forte meg å blogge om før den plutselig blir litt mindre aktuell i noen måneder. Han skriver nemlig om matematikken i julekorger.

Alle vet at det er en del symmetri og mønster involvert i å lage julekurver. Askevold viser i tillegg at det går an å koble inn mer matematikk, for eksempel Fibonaccitall for å få morsomme mønstre. Og man kan være kreativ og få kurver som ingen har sett før.

Han har også laget noen mønstre som kan lastes ned i en pdf-fil.

God jul!

Tangenten 3/09: GPS i matematikkundervisningen

Mine planer om å blogge om interessante artikler jeg leser har støtt på visse kapasitetsproblemer, men jeg kan jo prøve igjen. Og jeg begynner med Tangenten 3/09, hvor det er intet mindre enn fire artikler om GPS (global positioning system). Per Gunnar Flo skriver om hvordan GPS virker – hvorfor er det nødvendig med fire satelitter? Helge Jellestad, Jane Merethe Braute og Nina Gudmundsen Nylund skriver om forsøk i ulike skoleklasser. Jellestad har blant annet bedt elevene sjekke om idrettsplassen er rektangulær og han skriver også om geocaching. Braute har latt elevene finne koordinatene til hjørnene på skolen, importert dataene til GeoGebra og regnet ut arealet der. Nylund har brukt det både til skattejakt og til å arbeide med fart.

Etter å ha lest artiklene er jeg ikke overbevist om at GPS bør øverst på ønskelista til matematikklærere, men etter hvert som GPS blir standardutstyr i det meste av elektronikk (mobiltelefoner, kameraer etc) gir det gode muligheter for kobling mellom kartkompetanse, areal, avstand, vei/fart/tid og andre matematikktemaer.

Tangenten 2/09: Gang – igen, igjen

Et matematikkdidaktisk arbeid som jeg stadig vender tilbake til, er Inger Wisteds ”Att vardagsanknyta matematikundervisningen”. Dette arbeidet viser så tydelig hvor vanskelig det kan være å lage realistiske matematikkoppgaver. Man vil jo så gjerne at oppgavene skal være realistiske, men må samtidig ofte fjerne ”distraherende” faktorer som finnes i virkeligheten. Gjør man dette i for stor grad, risikerer man imidlertid å lære elevene at matematikk handler om å se bort fra alt man vet fra hverdagen og la være å bruke den sunne fornuft. Det er skummelt.

Inge Henningsens innlegg i Tangenten 2/09 er et innlegg i en debatt som jeg ikke har fått med meg resten av. Den handler om en matematikkoppgave som påstår at ”For menn gir formelen n/P = 140 et tilnærmet forhold mellom n og P hvor n = antall skritt pr. minutt og P = skrittlengde i meter.” Oppgaven er gitt i PISA-sammenheng.

Som debatten viser klart, er det minst to måter å tolke oppgaven på. Gjelder den for en enkeltperson, som uvegerlig vil øke skrittfrekvensen når han øker skrittlengden, eller er det slik for en populasjon, at folk med lange bein (og dermed stor skrittlengde) også har høy skrittfrekvens? Den første tolkningen avskrives av en autoritet som Mogens Niss (ifølge Henningsen) som ”simpelthen meningsløs”. (Når jeg er ute og går tur, hender det at jeg skifter fra en relativt rask takt med korte skritt til en noe tregere takt med lengre skritt, for eksempel.) Den andre tolkningen virker lite troverdig for meg. (Kanskje det er fordi jeg er urban at min relativt store skrittlengde gjør at jeg er nødt til å ha lavere skrittfrekvens enn mine omgivelser, for å unngå altfor mange ”pågåelser”?)

Oppgaven virker uegnet som en PISA-oppgave, både fordi det er vanskelig å tolke påstanden i oppgaven, og fordi mange elever vil tenke at den virker helt meningsløs. De burde derfor få poeng for å hoppe over oppgaven! Elever som har arbeidet med å forholde seg kritisk til matematiske modeller, vil stille svakere enn elever som kun har lært å sette tall ukritisk inn i en formel. Oppgaven kan imidlertid egne seg brukbart i en klasseromssituasjon, hvor man kan sette av tid til å diskutere alternative modeller.

Jeg møter av og til på folk som ukvalifisert avviser PISA-undersøkelsene og TIMSS-undersøkelsene med at de ikke tester det vi synes er viktig i Norge, at de tester rare ting, at oppgavene er dårlige eller at utvalget av elever er ulikt i ulike land. Jeg pleier å nærmest avfeie slik kritikk med at det er noen av våre beste forskere som står bak undersøkelsene, og at de naturligvis er opptatt av å få mest mulig korrekte resultater. Jeg oppfordrer derfor kritikerne til å lese (de relativt leservennlige) rapportene og se om ikke kritikken imøtekommes der. Det vil jeg fortsette med. Men jeg håper at det ikke er særlig mange flere oppgaver som på såpass tvilsomt vis ”modellerer” situasjoner som elevene har god kjennskap til.

Tangenten 2/09: Oppgavediskursen i matematikk

Begrepsparet ”oppgavediskurs” og ”undersøkelseslandskap” har jeg brukt i mange sammenhenger gjennom årene, og jeg har stor sans for dem. Derfor setter jeg pris på at Tangenten har trykt opp igjen en gammel artikkel fra Stieg Mellin-Olsen om oppgavediskursen i matematikk. Ikke minst er dette fint fordi jeg helt til nå har trodd at begrepet ”oppgavediskurs” kom fra Ole Skovsmose, i likhet med begrepet ”undersøkelseslandskap”. Den gang ei.

Artikkelen beskriver hvordan mange (de fleste?) lærere omtaler faget. Undervisningen beskrives som en reise, som elevene skal ”gjennom”, hvor noen blir ”hengende etter”, hvor man må holde oppe tempoet og så videre og så videre. Oppgavene har en helt sentral rolle – både lærere og elever ser på oppgavene som det matematikken dreier seg om. Artikkelen viser også hvordan noen lærere prøver å tenke på andre måter, men nesten av seg selv glir over i oppgavediskurstankegang igjen.

Personlig avslører jeg stadig meg selv (og andre) i å skrive ut fra oppgavediskursen, og dette gjør at jeg (kanskje) klarer å være mer bevisst at det også finnes alternativer.

Så kan man naturligvis spørre om dette er helt spesielt for matematikkfaget. Svaret tror jeg er ja – jeg kan ikke komme på noe annet fag som (tradisjonelt) er så oppgavebasert som matematikkfaget. I fag som samfunnsfag opplever jeg oppgavene mer som en kontroll for elev og lærere på at man har lest og fått med seg teksten, mens det i matematikk nærmest er omvendt: teksten er der for at man skal få til oppgavene, og får man til oppgavene uten teksten, dropper man lesingen.