Så var det klart for årets Holmboesymposium, den årlige, tradisjonelle markeringen av Holmboeprisvinneren.
Sigbjørn Hals, årets prisvinner, hadde valgt tittelen "Kva ville Polya ha gjort mee GeoGebra?" Polya er jo kjent for boka "How to solve it" og mye annet. Hals fortalte om Polya og om hva problemløsning er og viste eksempler på problemløsningsstrategier ved noen fine oppgaveeksempler (som jeg ikke klarer å gjengi her).
Så kom han over på hjertebarnet, GeoGebra. Først et eksempel hvor han brukte regresjon til å finne en formel for antall deler en sirkel deles i av diagonalene i en innskrevet n-kant. (Tallfølgen blir 2, 4, 8, 16, 31 (!), ...) Deretter noen andre geometriske oppgaver hvor GeoGebra brukes til å teste hypoteser som utgangspunkt for å bevise noe algebraisk. Et av eksemplene var ganske enkelt standardillustrasjonen av Pytagoras - hvis du ser på trekantene som "ligger mellom" kvadratene, vil du se at de kan se ut til å ha samme areal som trekanten i midten. Det kan man utforske i GeoGebra.
Hals mener at Polya ville ha elsket GeoGebra fordi det er godt egnet til å visualisere matematikken, fordi det er gratis og fordi det er nyttig til å teste hypoteser.
Men er lærere og elever klare for utforskende oppgaver med GeoGebra? Neppe. Hals' egen masteroppgave viser at læreres hovedgrunn til ikke å arbeide med sånt er at det ikke er tilstrekkelig nyttig på eksamen. Men det er likevel viktig å holde på med. En lærer må aldri si at "det bare er sånn", det å finne ut av ting må være en viktig del av undervisningen. Forsking viser dessuten at det å arbeide med problemløsningsstrategier er effektivt for matematikklæring. (Hattie)
Så avsluttet Hals med en kavalkade av vakre matematikkformler til tonene av "It's a wonderful world".
I diskusjonen nevnte Einar Jahr at kalkulator og andre hjelpemidler kan brukes både som krykke og som treningsapparat. Det bør brukes som treningsapparat, men brukes altfor ofte som krykke.
Michael Naylor fra Matematikksenteret "tok tilhørerne med på en fantastisk reise..." for å sitere programmet, med tittelen "Abacaba! Utrolige mønster Utrolige forbindelser". Matematikk er studiet av mønstre, og lar oss forutsi, forbinde og skape ting. Hovedmønsteret som ble analysert på ulike måter var slik: a, aba, abacaba, abacabadabacaba... Hvert nytt ord får du ved å ta to kopier av forrige ord og sette på den neste bokstaven i alfabetet imellom. Analyse av antallet bokstaver i ord nr. n gir et fint mønster - like fint som antall håndtrykk... Siden dette blir eksponensiell vekst får man mange morsomme, store tall å arbeide med.
Han undersøkte (med hjelp av GarageBand) også hva "ordene" ville høres ut som som noter - og det ble riktig pent. Og så kom han inn på fraktaler, og koblet blant annet abacaba til trappefraktalen (og mer avanserte varianter).
Å skrive tallrekka i totallsystemet viser også abakaba-struktur (ved å se på antall nuller på slutten av tallene, når vi ignorerer de som slutter med 1). Han kom også inn på Hanoitårnet, hvor abacaba-mønsteret gir løsningen. Og han forklarte hvordan man kan unngå å gå seg vill på en firedimensjonal kube. Og han viste et valgtredikt.
Informasjon om mye av dette finner man på sida abacaba.org.
Torgeir Onstads tema var "Fotball og matematikk". Han nevnte først en rekke ting han ikke vil snakke om: serie, cup, poenggivning, statistikk (vinner man oftere hjemme enn borte...) og så videre.
Han snakket litt om fotballbanen: man kan arbeide med sentersirkelen, for eksempel. Og størst og minst mulige areal av banen (for lengden og bredden kan variere innen gitte rammer). Symmetrier kan man se på, og også fotballbane som måleenhet for areal. Hvilke plasseringer på sidelinja er best for å få god synsvinkel mot målet? Dette spørsmålet besvarte han ved hjelp av periferivinkelsatsen.
Men hovedtemaet var selve fotballen: den er sydd sammen av regulære polygoner - femkanter og sekskanter. Hvorfor ikke bare én type? Dette benyttet han som en mulighet til å snakke om polyedre, og kom blant annet innom Eulers polyedersetning og regulære polyedre. Han brukte polyedersetningen til å undersøke hvilke andre fotballer vi kunne ha hatt. Han definerte "vinkelgapet" som det som mangler på 360 grader når bitene vi setter sammen ligger flatt. Vinkelgapet på dodekaederet er 36 grader (og på for eksempel tetraderet 180 grader...). Med to sekskanter og en femkant blir vinkelgapet bare 12 grader, og det er derfor mye mindre "spisst" enn mange andre alternativer. Her ble det mye utforskning av hva som er mulige romfigurer.
I alt ble det tre kreative og artige foredrag som viser at matematikk er et artig fag. Så gjelder det å utdanne lærere som mener det samme og i framtida kjemper om Holmboeprisen!
Viser innlegg med etiketten matematikk. Vis alle innlegg
Viser innlegg med etiketten matematikk. Vis alle innlegg
mandag 23. mai 2011
lørdag 12. mars 2011
Norge har ikke flinke elever
"I flere år har elever i Norge skåret middels eller dårlig på internasjonale undersøkelser. Resultatene er dessverre skuffende, men vi må huske at det kun er et gjennomsnittstall. Det finnes flere tusen dyktige elever som blir gjemt og glemt i denne sammenhengen." Dette skriver Hilde Kristin Steen i Si ;D-spalta i Aftenposten i dag.
Nåvel. Et lite påaktet resultat i de internasjonale undersøkelsene er at Norge ikke har "flinke" elever. Ja, naturligvis setter jeg ting på spissen, men i TIMSS-undersøkelsene om matematikk har Norge nesten ingen elever på det høyeste nivået, mens toppland har mange.
Det at folk ikke har fått med seg dette, ser man for eksempel når noen "unnskylder" Norges dårlige resultater med at Norge (tror de) har med flere av de svakeste elevene enn andre land. Dette er det naturligvis kontrollert for, men uansett ville ikke det forklare at Norge ikke har elever på det øverste nivået.
Men dette er vel og merke ikke noe argument mot det som er Steens hovedpoent: "Altfor mange får heller ikke utnyttet sin kompetanse eller potensiale, grunnet for lite personlig oppfølging i skolen." Nettopp dette kan kanskje være grunnen til at vi ikke har "flinke" elever i norsk skole.
Nåvel. Et lite påaktet resultat i de internasjonale undersøkelsene er at Norge ikke har "flinke" elever. Ja, naturligvis setter jeg ting på spissen, men i TIMSS-undersøkelsene om matematikk har Norge nesten ingen elever på det høyeste nivået, mens toppland har mange.
Det at folk ikke har fått med seg dette, ser man for eksempel når noen "unnskylder" Norges dårlige resultater med at Norge (tror de) har med flere av de svakeste elevene enn andre land. Dette er det naturligvis kontrollert for, men uansett ville ikke det forklare at Norge ikke har elever på det øverste nivået.
Men dette er vel og merke ikke noe argument mot det som er Steens hovedpoent: "Altfor mange får heller ikke utnyttet sin kompetanse eller potensiale, grunnet for lite personlig oppfølging i skolen." Nettopp dette kan kanskje være grunnen til at vi ikke har "flinke" elever i norsk skole.
onsdag 9. mars 2011
Frokostmøte arrangert av Kunnskap i skolen (KiS)
En av fordelene med å være plassert i Oslo, er at det er en mengde relevante seminarer og konferanser å få med seg. Men det er jo de aller færreste av disse man har tid til. Denne onsdagsmorgenen prioriterte jeg imidlertid å få med meg et frokostmøte om matematikkundervisning på Blindern.
Første innleder var Anders Baumberger fra Kikora, som lager et nettbasert læremiddel hvor elever får øyeblikkelig tilbakemelding på sine oppgaveløsninger. Han startet med en kritikk av teknologi hvor det er kulhetsfaktoren som er det viktigste. Kikora har jobbet med lærere for å ha fokus på læringsutbytte. Løsningsstrategiene er det man er mest opptatt av, derfor må også det digitale ta hensyn til løsningene og ikke bare svarene. Og Kikora mener at det er læreren som er best til å forklare matematikken i samspill med elevene, derfor konsentrerer programmet seg om å bidra når elevene løser oppgaver.
Baumberger presenterte fire hovedprinsipper:
- Fortløpende tilbakemeldinger - uansett valg av løsningsmetode (men eleven får ansvaret for å finne hvordan det kan løses riktig. Og av og til er det oppfølgingsspørsmål også til rette svar.)
- bidra til å gi alle elever utfordringer på ditt nivå.
- gi lærer fortløpende oversikt over elevenes progresjon. Ikke bare hva som er korrekt, men hvor mange feilsvar de har hatt, hvor lang tid de har brukt osv. Dette gir mulighet til å følge opp lekser.
- ivareta det praktiske for læreren. Integreres i Fronter, It's learning osv.
Torgeir Onstad spurte om svarene kommer umiddelbart, for hver enkelt linje, og det gjør de. Dette må vel bety at elevene ikke får trening i å vurdere svarene. Slik trening tenker jeg at elevene trenger, og det må de da få på en annen måte.
Det viktigste med Kikora slik jeg ser det, er muligheten for læreren til å kunne se hva elevene har gjort når de arbeidet for eksempel med lekse, slik at han kan ta tak i det i den kommende timen, basert på hva elevene faktisk har gjort og hva de har hatt problemer med.
Den andre innlederen var Skage Hansen. Han jobber ved Engebråten ungdomskole, og har utviklet en del kortstokker. Det å spille ulike typer kortspill i undervisningen er jo ikke så nytt, men det at de er ferdigproduserte kan være en fordel for lærerne, selv om de ikke er så billige. Han har også laget et begrepsleksikon og en oppgavesamling i geometri. Han har solgt 80000 kortstokker.
I panelet etter innledningene satt min kollega Arne Hole (Høgskolen i Oslo) og Terje Idland ved matematikk.net.
Arne Hole kommenterte at det er interessant å få verktøy hvor det er lettvint å skrive matematikken og hvor det er enkelt å se strukturen i etterkant. Han mente at kortstokkene til Hansen kan være et fint supplement til den jevne undervisningen.
Terje Idland la vekt på at skolehverdagen er travel, og at begge produktene som ble presentert her er hjelp til å få til undervisning som man ønsker. Han bruker Kikura og opplever at Kikora gjør at han kan bruke tid på det han vil bruke tid på, og overlate annet til Kikora. Han nevnte spesielt at det ikke er tid i hverdagen til å samle inn leksene så ofte.
I den åpne diskusjonen etterpå kommenterte Onstad den nøkternheten Kikora viser - de vil ikke revolusjonere skolen, men hjelpe læreren. Onstad kommenterte også at det er viktig å kunne vurdere svaret. Dette kommenterte også en person til, som spurte om det går an å få mer mulighet til å tilpasse slik at man ikke alltid får svar på hver linje. Baumberger svarte at de vil vurdere å legge inn mulighet for at læreren skrur av denne funksjonaliteten på enkelte oppgaver og for enkelte elever.
En norskdidaktiker kommenterte gramatikkspillet Grei som hun mener er fornuftig i deler av fagene hvor det er riktig eller feil svar. Fornuftig retting er å markere linja hvor noe er galt, ikke å gjøre jobben for eleven.
Guri Nordtvet kommenterte betydningen av lærerens kompetanse, og at vi må se på hva slags kompetanse læreren trenger i møte med hjelpemidlet. For det finnes ingen "quick fix" som styrer utenom læreren.
Kirsti Klette syntes dette var to strålende eksempler på hvordan pedagogiske ideer kan konkretiseres i "fagfagene".
Liv Sissel Grønmo understreket også lærerens rolle. Men hun understreket viktigheten av oppsummering i klassen etter aktiviteter er gjort for å trekke ting enda videre. Man får diskusjoner hvor ikke bare de flinkeste elevene er med.
Birgit Pepin nevnte sin studie av elevers holdninger til matematikk i ungdomsskolen. Lærerens rolle er viktig og kommunikasjon er viktig. Kikora er bra for "procedural fluency", men kommunikasjonen og diskusjonen rundt er sentral.
Terje Idland kommenterte at det er gull for forskere å se på elevsvarene som er lagret i Kikora (men Baumberger kommenterte at det kunne være juridiske problemer knyttet til det).
Undertegnede kommenterte at også elevene bør kunne velge hvordan tilbakemelding bør gis - så kan læreren se hvem som har valgt hva. For øvrig la jeg vekt på viktigheten av lekseoppfølging, hvor Kikora ser ut som et utmerket verktøy. I norsk skole er det jo mange lærere som overhodet ikke følger opp det elevene har jobbet med hjemme, mens med Kikora vil det bli veldig mye enklere å ta utgangspunkt i problemer elever har hatt eller ulike løsningsstrategier de har brukt.
Skolenes Landsforbund ved Anne (jeg fikk ikke tak i etternavnet) sa at "alle monner drar" alt som gir mer mulighet til variasjon er av det gode. Men vi må også lete etter andre måter å treffe alle elevene og gjøre skolen mindre teoritung.
Det var et interessant seminar, og jeg ser ikke bort fra at vi i lærerutdanningen bør se mer på Kikora og hvordan det kan brukes i vurderingssammenheng, for eksempel. Skage Hansens kortstokker har vi allerede en del av, men jeg har ikke selv erfaring med å bruke dem med elever.
(For ordens skyld må jeg tillegge at en av personene bak Kikora er en venn av meg fra studietida.)
Første innleder var Anders Baumberger fra Kikora, som lager et nettbasert læremiddel hvor elever får øyeblikkelig tilbakemelding på sine oppgaveløsninger. Han startet med en kritikk av teknologi hvor det er kulhetsfaktoren som er det viktigste. Kikora har jobbet med lærere for å ha fokus på læringsutbytte. Løsningsstrategiene er det man er mest opptatt av, derfor må også det digitale ta hensyn til løsningene og ikke bare svarene. Og Kikora mener at det er læreren som er best til å forklare matematikken i samspill med elevene, derfor konsentrerer programmet seg om å bidra når elevene løser oppgaver.
Baumberger presenterte fire hovedprinsipper:
- Fortløpende tilbakemeldinger - uansett valg av løsningsmetode (men eleven får ansvaret for å finne hvordan det kan løses riktig. Og av og til er det oppfølgingsspørsmål også til rette svar.)
- bidra til å gi alle elever utfordringer på ditt nivå.
- gi lærer fortløpende oversikt over elevenes progresjon. Ikke bare hva som er korrekt, men hvor mange feilsvar de har hatt, hvor lang tid de har brukt osv. Dette gir mulighet til å følge opp lekser.
- ivareta det praktiske for læreren. Integreres i Fronter, It's learning osv.
Torgeir Onstad spurte om svarene kommer umiddelbart, for hver enkelt linje, og det gjør de. Dette må vel bety at elevene ikke får trening i å vurdere svarene. Slik trening tenker jeg at elevene trenger, og det må de da få på en annen måte.
Det viktigste med Kikora slik jeg ser det, er muligheten for læreren til å kunne se hva elevene har gjort når de arbeidet for eksempel med lekse, slik at han kan ta tak i det i den kommende timen, basert på hva elevene faktisk har gjort og hva de har hatt problemer med.
Den andre innlederen var Skage Hansen. Han jobber ved Engebråten ungdomskole, og har utviklet en del kortstokker. Det å spille ulike typer kortspill i undervisningen er jo ikke så nytt, men det at de er ferdigproduserte kan være en fordel for lærerne, selv om de ikke er så billige. Han har også laget et begrepsleksikon og en oppgavesamling i geometri. Han har solgt 80000 kortstokker.
I panelet etter innledningene satt min kollega Arne Hole (Høgskolen i Oslo) og Terje Idland ved matematikk.net.
Arne Hole kommenterte at det er interessant å få verktøy hvor det er lettvint å skrive matematikken og hvor det er enkelt å se strukturen i etterkant. Han mente at kortstokkene til Hansen kan være et fint supplement til den jevne undervisningen.
Terje Idland la vekt på at skolehverdagen er travel, og at begge produktene som ble presentert her er hjelp til å få til undervisning som man ønsker. Han bruker Kikura og opplever at Kikora gjør at han kan bruke tid på det han vil bruke tid på, og overlate annet til Kikora. Han nevnte spesielt at det ikke er tid i hverdagen til å samle inn leksene så ofte.
I den åpne diskusjonen etterpå kommenterte Onstad den nøkternheten Kikora viser - de vil ikke revolusjonere skolen, men hjelpe læreren. Onstad kommenterte også at det er viktig å kunne vurdere svaret. Dette kommenterte også en person til, som spurte om det går an å få mer mulighet til å tilpasse slik at man ikke alltid får svar på hver linje. Baumberger svarte at de vil vurdere å legge inn mulighet for at læreren skrur av denne funksjonaliteten på enkelte oppgaver og for enkelte elever.
En norskdidaktiker kommenterte gramatikkspillet Grei som hun mener er fornuftig i deler av fagene hvor det er riktig eller feil svar. Fornuftig retting er å markere linja hvor noe er galt, ikke å gjøre jobben for eleven.
Guri Nordtvet kommenterte betydningen av lærerens kompetanse, og at vi må se på hva slags kompetanse læreren trenger i møte med hjelpemidlet. For det finnes ingen "quick fix" som styrer utenom læreren.
Kirsti Klette syntes dette var to strålende eksempler på hvordan pedagogiske ideer kan konkretiseres i "fagfagene".
Liv Sissel Grønmo understreket også lærerens rolle. Men hun understreket viktigheten av oppsummering i klassen etter aktiviteter er gjort for å trekke ting enda videre. Man får diskusjoner hvor ikke bare de flinkeste elevene er med.
Birgit Pepin nevnte sin studie av elevers holdninger til matematikk i ungdomsskolen. Lærerens rolle er viktig og kommunikasjon er viktig. Kikora er bra for "procedural fluency", men kommunikasjonen og diskusjonen rundt er sentral.
Terje Idland kommenterte at det er gull for forskere å se på elevsvarene som er lagret i Kikora (men Baumberger kommenterte at det kunne være juridiske problemer knyttet til det).
Undertegnede kommenterte at også elevene bør kunne velge hvordan tilbakemelding bør gis - så kan læreren se hvem som har valgt hva. For øvrig la jeg vekt på viktigheten av lekseoppfølging, hvor Kikora ser ut som et utmerket verktøy. I norsk skole er det jo mange lærere som overhodet ikke følger opp det elevene har jobbet med hjemme, mens med Kikora vil det bli veldig mye enklere å ta utgangspunkt i problemer elever har hatt eller ulike løsningsstrategier de har brukt.
Skolenes Landsforbund ved Anne (jeg fikk ikke tak i etternavnet) sa at "alle monner drar" alt som gir mer mulighet til variasjon er av det gode. Men vi må også lete etter andre måter å treffe alle elevene og gjøre skolen mindre teoritung.
Det var et interessant seminar, og jeg ser ikke bort fra at vi i lærerutdanningen bør se mer på Kikora og hvordan det kan brukes i vurderingssammenheng, for eksempel. Skage Hansens kortstokker har vi allerede en del av, men jeg har ikke selv erfaring med å bruke dem med elever.
(For ordens skyld må jeg tillegge at en av personene bak Kikora er en venn av meg fra studietida.)
fredag 25. februar 2011
Årets etterutdanningskonferanse for matematikklærerutdannere
Jeg har allerede begynt å glede meg til årets konferanse for matematikkmiljøene i lærerutdanningene. I år er det Høgskulen i Volda som arrangerer den, og den er i Geiranger 19.-22. september. Fagmiljøet i Volda er alt i gang med å lage hjemmeside og planlegge konferansen, og de varsler allerede at Morten Blomhøj blir en av foredragsholderne.
Dette blir nok bra!
Dette blir nok bra!
søndag 23. januar 2011
Homoundervisning i matematikk, naturfag og geografi
Jeg leser på nettet at det i Storbritannia er laget undervisningsmateriale for å inkludere LHBT-tematikk i undervisningen i alle skolens fag, også fag som matematikk, naturfag og geografi. Materialet er laget av Schools Out. (Homonytt fra hele verden)
Dette er et bra tiltak. Som man ser av forslagene er det ikke snakk om å ta undervisningstid fra for eksempel matematikk til å undervise om LHBT-tematikk, men derimot å bruke LHBT-temaer istedenfor heterofile (eller nøytrale) temaer i undervisningen av matematikken.
Materialet er imidlertid ikke klart enda. I mellomtiden går det jo an å se på ressurspakka som FHiOHL har laget for profesjonsutdanningene... (pdf)
("Homonytt fra hele verden" drives av undertegnede, og jeg har også vært redaktør for ressurspakka. En blogg vil alltid ha litt fokus på det bloggeren selv driver med...)
Dette er et bra tiltak. Som man ser av forslagene er det ikke snakk om å ta undervisningstid fra for eksempel matematikk til å undervise om LHBT-tematikk, men derimot å bruke LHBT-temaer istedenfor heterofile (eller nøytrale) temaer i undervisningen av matematikken.
Materialet er imidlertid ikke klart enda. I mellomtiden går det jo an å se på ressurspakka som FHiOHL har laget for profesjonsutdanningene... (pdf)
("Homonytt fra hele verden" drives av undertegnede, og jeg har også vært redaktør for ressurspakka. En blogg vil alltid ha litt fokus på det bloggeren selv driver med...)
onsdag 5. januar 2011
Om å grave hull
Kasper Bjering Søby Jensen gjengir i et blogginnlegg en oppgave han fikk når han var liten:
Artig oppgave. Jeg anbefaler for øvrig Søby Jensens betrakninger om dette og kritisk refleksjon generelt.
(PS: Svaret er - rimeligvis - at det ikke er mulig å grave et halvt hull.)
”Hvis 4 mand er to timer om at grave et hul, hvor lang tid tager det så én mand at grave et halvt hul?”
Artig oppgave. Jeg anbefaler for øvrig Søby Jensens betrakninger om dette og kritisk refleksjon generelt.
(PS: Svaret er - rimeligvis - at det ikke er mulig å grave et halvt hull.)
søndag 2. januar 2011
Matematikk omtales stadig mer i media
Noen raske søk i Atekst viser at "matematikk" ble nevnt 2289 i norske papirmedia i 2010. Dette synes å være ny rekord - tallet for 2009 var 1904.
Noen mener kanskje at de store internasjonale undersøkelsene, som TIMSS og PISA, får for stor medieoppmerksomhet. TIMSS er nevnt bare 271 ganger i media de siste ti årene, men PISA er nevnt 3204 ganger (og med en økende tendens gjennom perioden). Til sammenlikning er nasjonale prøver nevnt 2920 ganger, men i 2010 ble det nevnt oftere enn PISA.
(For ordens skyld: jeg har ikke gått gjennom de 3204 for å se hvor mange av dem som gjelder den italienske byen med et litt skeivt tårn.)
Ordet "læringsstiler" ble brukt 17 ganger og "baseskoler" 36 ganger i 2010.
Og så lurer du kanskje på hva slags matematikkord som ble mest nevnt i papirmedia i 2010? Jeg holder en knapp på følgende ord, som ble nevnt hele 945 ganger; "trekant".
Noen mener kanskje at de store internasjonale undersøkelsene, som TIMSS og PISA, får for stor medieoppmerksomhet. TIMSS er nevnt bare 271 ganger i media de siste ti årene, men PISA er nevnt 3204 ganger (og med en økende tendens gjennom perioden). Til sammenlikning er nasjonale prøver nevnt 2920 ganger, men i 2010 ble det nevnt oftere enn PISA.
(For ordens skyld: jeg har ikke gått gjennom de 3204 for å se hvor mange av dem som gjelder den italienske byen med et litt skeivt tårn.)
Ordet "læringsstiler" ble brukt 17 ganger og "baseskoler" 36 ganger i 2010.
Og så lurer du kanskje på hva slags matematikkord som ble mest nevnt i papirmedia i 2010? Jeg holder en knapp på følgende ord, som ble nevnt hele 945 ganger; "trekant".
onsdag 6. oktober 2010
Sannsynligheten for at en mynt havner på høykant
Verdt og vite ga for et par uker siden følgende matematikknøtt:
"En norsk 20-krone er 28 mm i diameter, og 2,2 mm tykk. Vi skal gjennomføre et kast med den, under optimale forhold. Vi ser altså bort fra alt som kan skape avvik i forhold til den matematiske sannsynligheten: mynten må være perfekt støpt, og uten slitasje; luftmotstand og luftbevegelser ser vi bort fra, bordplaten er helt jevn, og helt vannrett, friksjonskoeffisienten og hardheten er optimale, m.m.
Hvor stor er sannsynligheten for at mynten etter et slikt kast blir stående på høykant?"
Dette er et morsomt eksempel på en oppgave som det ikke finnes noe fasitsvar på. Man må på et eller vis kaste mynten "tilfeldig", men hva det vil innebære å kaste den tilfeldig, er ikke definert. (Se Bertrands kordeparadoks for en liknende situasjon, hvor svaret avhenger av hvordan man definerer "tilfeldig".)
Hvis man absolutt ønsker å regne på sannsynligheter her, kan man fjerne det aller meste av virkelighet og tenke seg at mynten alt har nådd bordplata, ikke spinner og at den i dette øyeblikket toucher bordplata i ett punkt. Hvilke vinkler til bordplata vil gjøre at den faller ned på "flatsida", og hvilke vinkler vil føre til at den faller ned på høykant? Det er vel så enkelt som at den vil havne på "flatsida" hvis tyngdepunktet (som naturligvis ligger i krysningen av diagonalene - mynten sett fra siden) havner "utenfor" det punktet som toucher bordet, mens den vil havne på høykant hvis tyngdepunktet kommer "innenfor" punktet.
Et relativt enkelt regnestykke gir at så lenge avviket fra det vertikale er på maks ca. 4,5 grader, vil mynten havne på høykant - ellers vil den havne på flatsida. Og siden 4,5 grader er 1/20 av 90 grader, er sannsynligheten for å havne på høykant ca. 1/20.
Men jeg gjentar: dette er basert på en noe optimistisk modell om at vinkelen mynten når bordet med, er jevnt fordelt mellom 0 og 90 - og at spinn, hastighet og så videre ikke har noen som helst påvirkning. Altså: det er da en matematikkoppgave som kan være artig, men som ikke har særlig kobling til virkeligheten.
Ønsker man virkelig å finne sannsynligheten for at en norsk 20-krone havner på høykant, er nok det enkleste å kaste den et visst (stort) antall ganger. Man må bare kaste den "tilfeldig"...
(Takk til Erik for tips.)
"En norsk 20-krone er 28 mm i diameter, og 2,2 mm tykk. Vi skal gjennomføre et kast med den, under optimale forhold. Vi ser altså bort fra alt som kan skape avvik i forhold til den matematiske sannsynligheten: mynten må være perfekt støpt, og uten slitasje; luftmotstand og luftbevegelser ser vi bort fra, bordplaten er helt jevn, og helt vannrett, friksjonskoeffisienten og hardheten er optimale, m.m.
Hvor stor er sannsynligheten for at mynten etter et slikt kast blir stående på høykant?"
Dette er et morsomt eksempel på en oppgave som det ikke finnes noe fasitsvar på. Man må på et eller vis kaste mynten "tilfeldig", men hva det vil innebære å kaste den tilfeldig, er ikke definert. (Se Bertrands kordeparadoks for en liknende situasjon, hvor svaret avhenger av hvordan man definerer "tilfeldig".)
Hvis man absolutt ønsker å regne på sannsynligheter her, kan man fjerne det aller meste av virkelighet og tenke seg at mynten alt har nådd bordplata, ikke spinner og at den i dette øyeblikket toucher bordplata i ett punkt. Hvilke vinkler til bordplata vil gjøre at den faller ned på "flatsida", og hvilke vinkler vil føre til at den faller ned på høykant? Det er vel så enkelt som at den vil havne på "flatsida" hvis tyngdepunktet (som naturligvis ligger i krysningen av diagonalene - mynten sett fra siden) havner "utenfor" det punktet som toucher bordet, mens den vil havne på høykant hvis tyngdepunktet kommer "innenfor" punktet.
Et relativt enkelt regnestykke gir at så lenge avviket fra det vertikale er på maks ca. 4,5 grader, vil mynten havne på høykant - ellers vil den havne på flatsida. Og siden 4,5 grader er 1/20 av 90 grader, er sannsynligheten for å havne på høykant ca. 1/20.
Men jeg gjentar: dette er basert på en noe optimistisk modell om at vinkelen mynten når bordet med, er jevnt fordelt mellom 0 og 90 - og at spinn, hastighet og så videre ikke har noen som helst påvirkning. Altså: det er da en matematikkoppgave som kan være artig, men som ikke har særlig kobling til virkeligheten.
Ønsker man virkelig å finne sannsynligheten for at en norsk 20-krone havner på høykant, er nok det enkleste å kaste den et visst (stort) antall ganger. Man må bare kaste den "tilfeldig"...
(Takk til Erik for tips.)
mandag 4. oktober 2010
Matematikk for alle?
Kunnskapsdepartementet nedsatte høsten 2009 en arbeidsgruppe til å lage en utredning om fremtidens matematikkfag. Gruppas sammensetning var tillitsvekkende:
- Carla Botten-Verboven, direktør i Norsk Industri (leder)
- Marianne Maugesten, førstelektor, Høgskolen i Østfold
- Gerd Nilsen, lektor, Furnes ungdomsskole, Ringsaker
- Rune Aigeltinger, PP-rådgiver, Andebu, Hof og Re kommuner
- Per Ødegaard, lektor, Nygård skole, Bergen
- Våril Bendiksen, rådgiver, Vox
- Tone Dalvang, seniorrådgiver, Sørlandet kompetansesenter
- Grete Normann Tofteberg, rektor, Kirkebygden skole i Østfold
- Per Aahlin, nestleder, Utdanningsforbundet
- Matematikkfaget i grunnskolen deles i to deler der den ene består av basiskompetanse og den andre er en utvidet del. Sluttvurderingen skal på samme måte være todelt. Basiskompetanse kvalifiserer for opptak til praktisk matematikk i videregående opplæring, mens den teoretiske varianten forutsetter både basis- og utvidet kompetanse.
- Retten til videregående opplæring bør utvides slik at personer som har fullført 10.klasse med basiskompetanse har rett til påbyggingskurs i utvidet pensum. Dette åpner for at de senere kan ta T-matematikken i videregående skole.
Rapporten har 23 forslag til øvrige tiltak. De lister jeg opp her. Det skal bli spennende om departementet er mer lydhøre for andre av forslagene...
Betydning av matematiske kunnskaper
1. Innsatsen for å øke den matematikkdidaktiske kompetansen hos ansatte i barnehagene bør intensiveres.
2. Staten bør øremerke midler til gjennomføring av etterutdanning i matematikk og matematikkdidaktikk. Det er viktig at alle som underviser i faget på samme skole deltar, ikke bare enkeltlærere.
3. Det bør settes i verk tiltak slik at lærere som underviser i matematikk på yrkesfag får tilstrekkelig kompetanse i de respektive yrkesfagene.
4. For å endre undervisningspraksis i skolen bør deler av FoU-midlene til UH-sektoren prioriteres til matematikkdidaktisk forskning.
5. Det bør utvikles et tettere og mer forpliktende samarbeid mellom vitensentrene og skolene for å gi vitensentrene en tydeligere rolle i å oppfylle læreplanmålene.
Lærevansker og motivasjon
6. Kommunene bør pålegges å følge opp de 15 % svakeste elevene på obligatorisk kartleggingsprøve i matematikk for 2. trinn. Oppfølgingen bør være slik som prøven anbefaler. Det bør utvikles et nasjonalt kartleggingsverktøy for 1. trinn som forløper til denne obligatoriske kartleggingsprøven med tanke på tilsvarende tilbud om oppfølging på 1. trinn.
7. Det bør gjøres forsøk med å sette inn tiltak så tidlig som mulig for å unngå lærevansker i matematikk.
8. Det bør opprettes et formalisert samarbeid mellom Statped og lærerutdannings-institusjonene for å øke forståelsen for og kompetansen på lærevansker i matematikk. Kompetansen bør utvikles både for kommende matematikklærere og for PP-rådgivere som skal utrede og tilrå i matematikkvansker.
Behovet for å ivareta spisskompetanse
9. Kunnskapsdepartementet bør legge til rette for etablering av minst 5 realfaggymnas rundt i landet, slik at elever med spesiell interesse og talent for realfag/teknologi kan få utvikle seg videre.
10. Krav om karakter 4 eller bedre fra det høyeste nivået i matematikk i videregående opplæring for opptak til det integrerte masterstudiet i teknologi ved NTNU bør opprettholdes også etter 2012. Det tilsvarende karakterkravet bør også gjøres gjeldende for opptak til bachelorstudiet i ingeniørfag.
11. Kompetanseforskriften i Opplæringsloven bør endres slik at det stilles krav om minimum 90 studiepoeng innenfor relevante fagområder for å undervise på høyeste nivå i videregående opplæring.
12. Kunnskapsdepartementet bør pålegge skoleeiere å sørge for at flere matematikklærere i videregående skole tar videreutdanning i matematikkdidaktikk.
Læreplaner
13. Matematikkfaget i grunnskolen bør deles i en basisdel og en utvidet del. I tråd med dette bør gjeldende læreplan gjennomgås og revideres. Læreplanen bør bli mer presis både med hensyn til kompetanse og arbeidsmåter. Den reviderte planen bør samtidig være mer fleksibel og ta høyde for at elever lærer i ulik takt.
14. Arbeidet, oppgavene og aktivitetene i matematikk bør tilrettelegges med ulike vanskegrader.
Læringsfellesskap
15. Det bør utvikles verktøy som på en god måte avklarer elevenes kompetanse ved overgangen mellom ulike nivå i sirkelmodellen.
16. Det bør innføres en standpunktkarakter i matematikk muntlig.
17. Eksamensformen med todelt skriftlig eksamen bør videreutvikles slik at det skapes et mer markert skille mellom en basisdel og en utvidet del. Begge delprøvene tester ferdigheter, begrepsforståelse, problemløsning og hjelpemiddelkompetanse med sammensatte problemstillinger i rike, åpne og utforskende oppgaver. Eksamen bør bestå av en oppgave fra hvert hovedområde, med økende vanskelighetsgrad.
Læremidler
18. Alle som underviser i matematikk bør ta i bruk læringsressurser som legger til rette for en mer utforskende matematikkundervisning, med fokus på grunnleggende begrepslæring og forståelse. Det gjøres for eksempel gjennom varierte arbeidsmåter og bruk av konkreter.
19. I tilknytning til alle nettbaserte læremidler bør det utvikles strukturerte opplegg som utnytter spennvidden og mulighetene til disse midlene.
Voksnes behov for matematisk kompetanse
20. Det bør opprettes en idèbank med gode eksempler på hvordan opplæringen i grunnleggende matematikkferdigheter kan relateres til ulike yrker. Det bør lyses ut prosjektmidler for å få fram gode eksempler.
21. Den kommunale voksenopplæringen bør ta ansvar for å tilrettelegge relevant opplæring i matematikk på basiskompetanse og utvidet kompetanse for alle voksne.
22. Ordningen med en egen sluttvurdering for voksne bør beholdes for å ivareta voksenaspektet i oppgaveinnholdet. Se også anbefaling om eksamensformen under kapittelet om læringsfellesskap.
23. I videregående opplæring bør voksne som har behov for det få tilbud om opplæring for å styrke sin grunnleggende matematikkompetanse. Opplæringen bør så langt det er mulig bygges opp omkring behov i arbeidsliv og videre utdanning.
onsdag 29. september 2010
Sannerkonferansen dag 4
Så var den siste dagen av konferansen kommet. (Du kan lese om dag 1, dag 2 og dag 3 (del 1 og del 2) i tidligere poster.)
Dagen startet med et plenumsforedrag fra Bodil Kleve ved Høgskolen i Oslo. Temaet var "Undervisningskunnskap i matematikk". Hun presenterte Tim Rowlands verktøy "The Knowledge Quartet" som deler undervisningskunnskap i matematikk inn i foundation, transformation, connection og contingency. (Rowland har jeg også blogget om før.) Selve de teoretiske begrepene var ikke nye for meg, men det var interessante eksempler fra arbeid med brøk i en 5. klasse. Spesielt har jeg sans for kategorien "contingency", som kanskje kan oversettes med "evnen til å takle uventede elevinnspill". I en del av eksemplene blir det veldig tydelig at læreren trenger å bruke et bredt arsenal av grunnkunnskaper, kunnskap om representasjonsformer og kobling til andre temaer for å få det ytterste ut av de gode elevinnspillene.
En fare når man ser på slike eksempler er at man blir sittende og riste på hodet over læreren som lar gode anledninger glippe gang etter gang. Det er i så fall veldig urettferdig og i tillegg lite konstruktivt. Ingen klarer å fange alle anledninger som byr seg i løpet av en undervisningsøkt, og om man skulle klare det, er det ikke opplagt at det blir en strålende undervisningsøkt likevel. Men man kan likevel ha glede av å analysere hva som gjør at noen lærere klarer å fange en del av dem.
I diskusjonen etterpå ble det mye snakk om brøkbegrepet, som eksemplene handlet om. Hvordan bør brøkdidaktikken være for at lærere skal være bedre forberedt? Her mente Ellen Hovik at vi er altfor opptatt av brøk som del av et hele (del av en enhet), og burde legge mer vekt på andre aspekter ved brøkbegrepet. Reinert Rinvold mente, i tråd med Freudenthal, at man burde legge vekt på naturlig forekommende enheter, som tid. "Kanoniske, generiske eksempler som kan generere forståelse", som han sa. Torgeir Onstad trakk parallellen til prosentbegrepet, hvor vi alltid er veldig nøye med å presisere hva det er prosent av. Hvorfor er vi ikke like nøye med det når det gjelder brøk?
Ole var opptatt av noe av det kunnskapskvartetten ikke tar opp i seg - for eksempel alle andre ting som skjer i klassa. Her er jeg imidlertid mer på linje med de som mener at andre ting som skjer i klassa i dag har en i overkant stor plass i den veiledningen studentene får i praksis, og at hvis kunnskapskvartetten kan bidra til å dreie litt av søkelyset over på mer matematiske forhold, vil det være en berikelse.
Etter dette foredraget var det parallellsesjon igjen. Jeg deltok på Trude Fosse og Beate Lodes parallellsesjon om en såkalt "skolebasert allmennlærerutdanning" (SALU). Først tenkte jeg at dette var noe i retning av "arbeidsplassbasert førskolelærerutdanning" som vi har blant annet på Høgskolen i Oslo, men det var feil. SALU-studenten er fortsatt det meste av tida på høyskolen, men har dobbelt så mye praksis i grunnskolen som det som er vanlig. Det er et spennende prosjekt, selv om det er litt vanskelig å se for seg at det kan "universaliseres" til alle lærerstudenter i Norge.
Så, på slutten, foretok Anne Fyhn en liten oppsummering av konferansen, hvor hun også trakk linjene tilbake til den første konferansen hun deltok på, hvor også Ole Skovsmose deltok. Og så la Høgskulen i Volda fram planene for neste års konferanse - den ser ut til å bli i uke 38 i Geiranger. Det høres flott ut. Og letingen etter hvem som skal ta over stafettpinnen etter Oslo og Volda ser også ut til å være godt i gang.
Som arrangører kan vi ikke være annet enn fornøyde - alt gikk som vi planla, enkelte ting over all forventning og ikke så mye dårligere enn vi hadde trodd. Hotellet stilte med god mat, fine lokaler (inkludert svømmebasseng) og god service, værgudene var vennlige under utflukten og - viktigst av alt - matematikklærerutdanningsmiljøet viste igjen at de slutter opp om konferansen, sier ja når de blir spurt om å bidra og er positive og diskusjonslystne. Slikt blir det bra konferanser av.
(Og konferansens sponsorer kan man lese om på konferansens hjemmesider.)
Dagen startet med et plenumsforedrag fra Bodil Kleve ved Høgskolen i Oslo. Temaet var "Undervisningskunnskap i matematikk". Hun presenterte Tim Rowlands verktøy "The Knowledge Quartet" som deler undervisningskunnskap i matematikk inn i foundation, transformation, connection og contingency. (Rowland har jeg også blogget om før.) Selve de teoretiske begrepene var ikke nye for meg, men det var interessante eksempler fra arbeid med brøk i en 5. klasse. Spesielt har jeg sans for kategorien "contingency", som kanskje kan oversettes med "evnen til å takle uventede elevinnspill". I en del av eksemplene blir det veldig tydelig at læreren trenger å bruke et bredt arsenal av grunnkunnskaper, kunnskap om representasjonsformer og kobling til andre temaer for å få det ytterste ut av de gode elevinnspillene.
En fare når man ser på slike eksempler er at man blir sittende og riste på hodet over læreren som lar gode anledninger glippe gang etter gang. Det er i så fall veldig urettferdig og i tillegg lite konstruktivt. Ingen klarer å fange alle anledninger som byr seg i løpet av en undervisningsøkt, og om man skulle klare det, er det ikke opplagt at det blir en strålende undervisningsøkt likevel. Men man kan likevel ha glede av å analysere hva som gjør at noen lærere klarer å fange en del av dem.
I diskusjonen etterpå ble det mye snakk om brøkbegrepet, som eksemplene handlet om. Hvordan bør brøkdidaktikken være for at lærere skal være bedre forberedt? Her mente Ellen Hovik at vi er altfor opptatt av brøk som del av et hele (del av en enhet), og burde legge mer vekt på andre aspekter ved brøkbegrepet. Reinert Rinvold mente, i tråd med Freudenthal, at man burde legge vekt på naturlig forekommende enheter, som tid. "Kanoniske, generiske eksempler som kan generere forståelse", som han sa. Torgeir Onstad trakk parallellen til prosentbegrepet, hvor vi alltid er veldig nøye med å presisere hva det er prosent av. Hvorfor er vi ikke like nøye med det når det gjelder brøk?
Ole var opptatt av noe av det kunnskapskvartetten ikke tar opp i seg - for eksempel alle andre ting som skjer i klassa. Her er jeg imidlertid mer på linje med de som mener at andre ting som skjer i klassa i dag har en i overkant stor plass i den veiledningen studentene får i praksis, og at hvis kunnskapskvartetten kan bidra til å dreie litt av søkelyset over på mer matematiske forhold, vil det være en berikelse.
Etter dette foredraget var det parallellsesjon igjen. Jeg deltok på Trude Fosse og Beate Lodes parallellsesjon om en såkalt "skolebasert allmennlærerutdanning" (SALU). Først tenkte jeg at dette var noe i retning av "arbeidsplassbasert førskolelærerutdanning" som vi har blant annet på Høgskolen i Oslo, men det var feil. SALU-studenten er fortsatt det meste av tida på høyskolen, men har dobbelt så mye praksis i grunnskolen som det som er vanlig. Det er et spennende prosjekt, selv om det er litt vanskelig å se for seg at det kan "universaliseres" til alle lærerstudenter i Norge.
Så, på slutten, foretok Anne Fyhn en liten oppsummering av konferansen, hvor hun også trakk linjene tilbake til den første konferansen hun deltok på, hvor også Ole Skovsmose deltok. Og så la Høgskulen i Volda fram planene for neste års konferanse - den ser ut til å bli i uke 38 i Geiranger. Det høres flott ut. Og letingen etter hvem som skal ta over stafettpinnen etter Oslo og Volda ser også ut til å være godt i gang.
Som arrangører kan vi ikke være annet enn fornøyde - alt gikk som vi planla, enkelte ting over all forventning og ikke så mye dårligere enn vi hadde trodd. Hotellet stilte med god mat, fine lokaler (inkludert svømmebasseng) og god service, værgudene var vennlige under utflukten og - viktigst av alt - matematikklærerutdanningsmiljøet viste igjen at de slutter opp om konferansen, sier ja når de blir spurt om å bidra og er positive og diskusjonslystne. Slikt blir det bra konferanser av.
(Og konferansens sponsorer kan man lese om på konferansens hjemmesider.)
tirsdag 28. september 2010
Sannerkonferansen dag 3 (del 2)
Etter Marit Johnsen-Høines' foredrag var det tid for paralleller. Jeg valgte Ole Einar Torkildsen og Odd Helge Mjellem Tonheim (begge Høgskulen i Volda) sitt innlegg om eksamen i lærerutdanningen. De har analysert de skriftlige eksamenene i norske lærerutdanninger, og kommet til en kjedelig konklusjon. Det viser seg at det ved mange lærerutdanninger holder å kunne grunnskolepensum for å bestå skriftlig eksamen! På enkelte høyskoler kan man til og med få karakteren A hvis man kan grunnskolepensum godt og i tillegg kan litt generell pedagogikk.
Nå er det riktignok en god del forbehold som må tas. For eksempel: den eksamenen som er analysert for Høgskolen i Oslos vedkommende er på våren i 1. klasse. Vi har i tillegg to eksamener i 2. klasse, og den muntlige eksamenen i 2. klasse teller 51 prosent av hele karakteren. (Den skriftlige i 1. år teller 16 prosent). Slik sett er det kanskje ingen skandale om noen får en god karakter på bakgrunn av solide matematikkunnskaper i grunnskolens pensum.
Men det er alltid på sin plass med en drøfting av hva slags kompetanse som skal testes og som skal gi grunnlag for karakteren i lærerutdanningene.
Etterpå deltok jeg på Leif Bjørn Skorpens parallellsesjon om "undervisningskompetanse og kommunikasjonsformer i matematikkundervisninga". Leif Bjørn og Frode Opsvik har observert i ulike klasserom og la fram noen funn. De er riktignok i en tidlig fase av analysearbeidet så langt, men det var iteressante ting å se. I de bitene vi så, framsto en lærer i en "kontrollør"-rolle, mens en annen lærer hadde mer en "tilrettelegger"-rolle. Det er vel grunn til å tro at de ulike rollene krever ulik grad av kunnskap, og at det vil være nyttig å prøve å få lærerstudentene til å se ulike typer roller og reflektere over hva slags kunnskap de kan trenge hvis de ønsker å kunne veksle mellom ulike lærerroller.
Etter Leif Bjørns innlegg var det en spennende paneldebatt med tittelen "Profesjonalisering som matematikklærere". Arrangørene hadde invitert Reidar Mosvold fra Universitetet i Stavanger og Toril Eskeland Rangnes fra Høgskolen i Bergen til å legge fram hvert sitt ståsted. Denne paneldebatten er muligens det jeg har reflektert mest over i etterkant av konferansen, og dermed kan det jeg skriver være vel så mye preget av det jeg har tenkt etterpå som av selve innholdet - det får eventuelle lesere bære over med.
Reidar Mosvold representerer et forskningsmiljø som har gått inn i Deborah Ball (og kolleger)s forskning om "undervisningskunnskap i matematikk" og vil se på dette fra et norsk perspektiv. Ball har jeg jo blogget om før. Men jeg har ikke satt meg inn i hva Ball gjør mer kvantitativt: de har utformet mengder av "items" for å teste matematikklærere, og har så sett om det er korrelasjon mellom det lærerne gjør i klasserommet og det de svarer på slike tester. Det er det visstnok. Mosvold med kolleger ser på om testene kan brukes også i Norge, uten at jeg fant ut så mye om hvordan dette konkret skal gjøres.
Toril Eskeland Rangnes la fram arbeid med praksis i samarbeid med bedrifter - det konkrete eksemplet hun ga var i samarbeid med et byggfirma. Hun snakket om at profesjonalisering handler om å utvikle beredskap til å se, tolke og utvikle sin matematikkundervisning på en reflektert måte. Hun vendte også tilbake til Skovsmoses modell om hvordan man, på basis av en "ideell situasjon" man tenker seg, bør prøve ut ideer og slik kunne reflektere bedre over "nåsituasjonen".
I diskusjonen etterpå var det noen som oppfattet at Reidar og Toril var nærmest enige - dette var nok et resultat av at de var bedt om å presentere sine egne syn og ikke å angripe den andres. (Ingen av dem var bedt spesielt om å lese seg opp på hverandres syn heller, for den del.) Tanken var at motsetningene skulle bli tydelige i løpet av debatten. For meg fungerte det fint.
En hovedmotsetning som jeg ser ut av debatten er et grunnleggende syn på "rett og galt" i matematikkdidaktikken. Finnes det noen ting som vi som matematikkdidaktikkforskere kan slå fast er rett og annet vi kan slå fast er galt? Eller er det beste vi kan håpe på å få til gode diskusjoner? Ball mener helt tydelig at vi kan lage spørsmål hvor noen svar er bedre enn andre - og at gode lærere vil svare annerledes - og bedre! - enn folk vi finner på gata. Andre vil være veldig skeptiske til å sette opp svaralternativer hvor ett skal være det beste.
Et annet hovedspørsmål som kommer opp er i hvor stor grad kunnskapen er situert i praksis. Noen vil mene at lærerkompetanse kun kan komme til uttrykk i praksis, og at det er der vi må se den. Men hvordan kan vi da forsvare at vi har skriftlige eksamener som en del av evalueringen av lærerstudentene? De fleste vil nok være enige om at det finnes kunnskaper som er nyttige å ha som lærer og som man i noen grad kan teste skriftlig. (Og så er det da også en del av Balls prosjekt å finne ut noe om samsvaret mellom de to.)
Det ble også en del spørsmål om matematikksynet til Ball. Slik Ball av og til leses, virker det som hun mener at "matematikk" er å kunne regne, bevise ting og slikt - at det er det som er hele målet for matematikkundervisningen. Hvor blir det av kulturen? Av elevenes holdninger? Av matematikkhistorien? Kan Balls modell ta inn i seg et matematikksyn hvor det å lære om fagets epistemologi er en innbakt del?
Men jeg tipper at Torgeir Onstads kommentar mot slutten av diskusjonen ble delt av mange - det er viktig å ha "multiple perspectives", hvis to ulike måter å arbeide med matematikkompetanse på kan gi oss ulike innsikter, trenger vi ikke å velge det ene foran det andre.
For egen del synes jeg Balls teorier er spesielt nyttige for å synliggjøre hva slags matematikkunnskaper som er nyttige for en lærer, og et nyttig redskap for diskusjon med studentene. Testregimet vet jeg for lite om til å mene noe om det.
Så var det over på parallellsesjoner igjen. Anne Fyhn hadde en parallellsesjon om samisk matematikk, og med spørsmålet om vi trenger en samisk fagplan i matematikk. Hvorfor er matematikk så spesielt at vi ikke har samisk fagplan i akkurat dette faget? Hun ga flere interessante eksempler på hvordan matematikken påvirkes av språket og kulturen.
Arne Jakobsen hadde en parallellsesjon som handlet om undervisningskunnskap i matematikk (altså det samme som Reidar Mosvold snakket om) og siden han har hatt et opphold ved University of Michigan kunne han fortelle om hvordan ting ble gjort der. Det var interessant å høre om, men vanskelig å oppsummere. Han hadde med kun ett eksempel på en flervalgsoppgave, og i diskusjonen ble vi ikke helt enige om det var en god oppgave. Det ble også diskusjon om hvor i Balls modell de enkelte kompetanser passer (men for egen del er jeg ikke så opptatt av at ting skal kunne plasseres et entydig sted - kategoriene kan være ulike aspekter ved en kompetanse).
Og dermed var en lang dag på det nærmeste slutt. Middagen hadde forstavelsen "fest-" og innebar mye god mat og godt drikke - og tidenes beste Takk-for-maten-tale. Videoen av den tror jeg at jeg ikke legger ut offentlig.
Nå er det riktignok en god del forbehold som må tas. For eksempel: den eksamenen som er analysert for Høgskolen i Oslos vedkommende er på våren i 1. klasse. Vi har i tillegg to eksamener i 2. klasse, og den muntlige eksamenen i 2. klasse teller 51 prosent av hele karakteren. (Den skriftlige i 1. år teller 16 prosent). Slik sett er det kanskje ingen skandale om noen får en god karakter på bakgrunn av solide matematikkunnskaper i grunnskolens pensum.
Men det er alltid på sin plass med en drøfting av hva slags kompetanse som skal testes og som skal gi grunnlag for karakteren i lærerutdanningene.
Etterpå deltok jeg på Leif Bjørn Skorpens parallellsesjon om "undervisningskompetanse og kommunikasjonsformer i matematikkundervisninga". Leif Bjørn og Frode Opsvik har observert i ulike klasserom og la fram noen funn. De er riktignok i en tidlig fase av analysearbeidet så langt, men det var iteressante ting å se. I de bitene vi så, framsto en lærer i en "kontrollør"-rolle, mens en annen lærer hadde mer en "tilrettelegger"-rolle. Det er vel grunn til å tro at de ulike rollene krever ulik grad av kunnskap, og at det vil være nyttig å prøve å få lærerstudentene til å se ulike typer roller og reflektere over hva slags kunnskap de kan trenge hvis de ønsker å kunne veksle mellom ulike lærerroller.
Etter Leif Bjørns innlegg var det en spennende paneldebatt med tittelen "Profesjonalisering som matematikklærere". Arrangørene hadde invitert Reidar Mosvold fra Universitetet i Stavanger og Toril Eskeland Rangnes fra Høgskolen i Bergen til å legge fram hvert sitt ståsted. Denne paneldebatten er muligens det jeg har reflektert mest over i etterkant av konferansen, og dermed kan det jeg skriver være vel så mye preget av det jeg har tenkt etterpå som av selve innholdet - det får eventuelle lesere bære over med.
Reidar Mosvold representerer et forskningsmiljø som har gått inn i Deborah Ball (og kolleger)s forskning om "undervisningskunnskap i matematikk" og vil se på dette fra et norsk perspektiv. Ball har jeg jo blogget om før. Men jeg har ikke satt meg inn i hva Ball gjør mer kvantitativt: de har utformet mengder av "items" for å teste matematikklærere, og har så sett om det er korrelasjon mellom det lærerne gjør i klasserommet og det de svarer på slike tester. Det er det visstnok. Mosvold med kolleger ser på om testene kan brukes også i Norge, uten at jeg fant ut så mye om hvordan dette konkret skal gjøres.
Toril Eskeland Rangnes la fram arbeid med praksis i samarbeid med bedrifter - det konkrete eksemplet hun ga var i samarbeid med et byggfirma. Hun snakket om at profesjonalisering handler om å utvikle beredskap til å se, tolke og utvikle sin matematikkundervisning på en reflektert måte. Hun vendte også tilbake til Skovsmoses modell om hvordan man, på basis av en "ideell situasjon" man tenker seg, bør prøve ut ideer og slik kunne reflektere bedre over "nåsituasjonen".
I diskusjonen etterpå var det noen som oppfattet at Reidar og Toril var nærmest enige - dette var nok et resultat av at de var bedt om å presentere sine egne syn og ikke å angripe den andres. (Ingen av dem var bedt spesielt om å lese seg opp på hverandres syn heller, for den del.) Tanken var at motsetningene skulle bli tydelige i løpet av debatten. For meg fungerte det fint.
En hovedmotsetning som jeg ser ut av debatten er et grunnleggende syn på "rett og galt" i matematikkdidaktikken. Finnes det noen ting som vi som matematikkdidaktikkforskere kan slå fast er rett og annet vi kan slå fast er galt? Eller er det beste vi kan håpe på å få til gode diskusjoner? Ball mener helt tydelig at vi kan lage spørsmål hvor noen svar er bedre enn andre - og at gode lærere vil svare annerledes - og bedre! - enn folk vi finner på gata. Andre vil være veldig skeptiske til å sette opp svaralternativer hvor ett skal være det beste.
Et annet hovedspørsmål som kommer opp er i hvor stor grad kunnskapen er situert i praksis. Noen vil mene at lærerkompetanse kun kan komme til uttrykk i praksis, og at det er der vi må se den. Men hvordan kan vi da forsvare at vi har skriftlige eksamener som en del av evalueringen av lærerstudentene? De fleste vil nok være enige om at det finnes kunnskaper som er nyttige å ha som lærer og som man i noen grad kan teste skriftlig. (Og så er det da også en del av Balls prosjekt å finne ut noe om samsvaret mellom de to.)
Det ble også en del spørsmål om matematikksynet til Ball. Slik Ball av og til leses, virker det som hun mener at "matematikk" er å kunne regne, bevise ting og slikt - at det er det som er hele målet for matematikkundervisningen. Hvor blir det av kulturen? Av elevenes holdninger? Av matematikkhistorien? Kan Balls modell ta inn i seg et matematikksyn hvor det å lære om fagets epistemologi er en innbakt del?
Men jeg tipper at Torgeir Onstads kommentar mot slutten av diskusjonen ble delt av mange - det er viktig å ha "multiple perspectives", hvis to ulike måter å arbeide med matematikkompetanse på kan gi oss ulike innsikter, trenger vi ikke å velge det ene foran det andre.
For egen del synes jeg Balls teorier er spesielt nyttige for å synliggjøre hva slags matematikkunnskaper som er nyttige for en lærer, og et nyttig redskap for diskusjon med studentene. Testregimet vet jeg for lite om til å mene noe om det.
Så var det over på parallellsesjoner igjen. Anne Fyhn hadde en parallellsesjon om samisk matematikk, og med spørsmålet om vi trenger en samisk fagplan i matematikk. Hvorfor er matematikk så spesielt at vi ikke har samisk fagplan i akkurat dette faget? Hun ga flere interessante eksempler på hvordan matematikken påvirkes av språket og kulturen.
Arne Jakobsen hadde en parallellsesjon som handlet om undervisningskunnskap i matematikk (altså det samme som Reidar Mosvold snakket om) og siden han har hatt et opphold ved University of Michigan kunne han fortelle om hvordan ting ble gjort der. Det var interessant å høre om, men vanskelig å oppsummere. Han hadde med kun ett eksempel på en flervalgsoppgave, og i diskusjonen ble vi ikke helt enige om det var en god oppgave. Det ble også diskusjon om hvor i Balls modell de enkelte kompetanser passer (men for egen del er jeg ikke så opptatt av at ting skal kunne plasseres et entydig sted - kategoriene kan være ulike aspekter ved en kompetanse).
Og dermed var en lang dag på det nærmeste slutt. Middagen hadde forstavelsen "fest-" og innebar mye god mat og godt drikke - og tidenes beste Takk-for-maten-tale. Videoen av den tror jeg at jeg ikke legger ut offentlig.
lørdag 25. september 2010
Sannerkonferansen dag 3 (del 1)
Den tredje dagen av Sannerkonferansen var den mest innholdsrike faglig sett (ganske enkelt fordi den verken inneholdt ankomst, utflukt eller avreise). Dagen startet med et foredrag av Marit Johnsen-Høines om "Undersøkelseslandskap – som didaktisk grep – utfordring for læreres kritiske kompetanser".
Rettere sagt startet dagen med en svømmetur (for mitt vedkommende) etterfulgt av frokost og så – før foredraget – en liten påminnelse om at miljøet trenger at noen fagmiljøer får fornøyelsen av å arrangere konferansen etter at Volda og Oslo er ferdig med sin periode i 2011.
Og før Marit slapp til brukte jeg et par-tre minutter til å minne om den sentrale stillingen Marit har i norsk matematikkdidaktikkhistorie. Hun er jo aller mest kjent for "Begynneropplæringen", som kom på begynnelsen av 80-tallet men som fortsatt er pensum på mange norske lærerutdanninger. Det sier sitt om ideenes slitestyrke. Marit er fra Sauda, og etter å ha fullført sin lærerutdanning ved Bergen Lærerhøgskole i 1967 jobbet hun i grunnskolen i 18 år. Denne sterke praksistilknytningen har preget arbeidet senere.
Caspar Forlag ble stiftet i mai 1981 av Marit Johnsen Høines og Stieg Mellin-Olsen. I dag, når matematikkdidaktikken har fått en så sterk plass i lærerutdanningen at også de kommersielle forlagene flokker til med utgivelser, kan det være vanskelig å forstå viktigheten av Caspar. På den tida besto matematikklærerutdanningsmiljøene for en stor del av en eller to personer på de fleste høyskolene. Kongstanken til Caspar var ikke bare å trykke bøker, men å utvikle, utprøve og diskutere ideer som så ble utviklet til bøker av høy kvalitet.
Marit har også vært en sentral miljøbygger på annet vis, blant annet ved å arrangere konferanser. Hun arrangerte sammen med Bjørg Kristin Selvik Nordisk matematikklærerkonferanse i Nordfjordeid i august 1997. Der ble LAMIS, Landslaget for matematikk i skolen, startet. Og hun var leder for PME i Bergen i 2004.
Hun tok sin doktorgrad i 2002; ”Fleksible språkrom. Matematikklæring som tekstutvikling” og er i dag også blitt professor. Det er godt å se professorer med solid kontakt med praksis.
(Jepp, jeg innser at bildet av konferansen blir noe skjevt når jeg nærmest siterer ordrett det jeg selv sier og bare kort oppsummerer alt det andre som skjer, men slik er det i bloggverdenen...)
Marit startet foredraget med et bilde fra Stieg Mellin-Olsen. En person får hvert år et verktøy som presang. Han ser nytten av verktøyene og setter pris på gaven. Så et år får han et verktøy som han ikke vet hva kan brukes til. Men han vet at verktøyene han får vanligvis kan brukes til noe fornuftig, så han bruker villig sin fantasi til å prøve å finne ut hva det kan brukes til. Kanskje ender det med at han henger det på veggen uten helt å ha nådd i mål. Så får han et nytt verktøy. Kanskje bruken av det kaster lys over hva det forrige kunne brukes til. Poenget med historien er (slik jeg forstår den) at vi som lærere ikke må være så hysterisk redd for at ikke alt vi gir elevene skal ha umiddelbar effekt. Så lenge elevene har en grunnleggende tillit til at det vi legger opp til har en ”nytte”, kan de selv bidra i utforskningen av nøyaktig hva denne nytten måtte være.
Marit snakket så om ”mathemacy”, om ”empowerment” og så om sitt nåværende praksisprosjekt. Der skal studenter i allmennlærerutdanningen gå i samarbeid med en bedrift for å skape ny undervisning for elevene ute i skolen. Marit fortalte fra ett slikt studentprosjekt (skjønt hun sikkert ville protestere på begrepet ”studentprosjekt”, fordi det er et felles prosjekt for studenter, praksislærer og høyskolelærer) hvor en elev, etter å ha vært i undervisning i en butikk, plutselig sitter under pulten sin og prøver å se hvor mange (modell)pizzadisker det er plass til under pulten. (Studentene hadde nettopp vært opptatt av å gi elevene innblikk i volum som begrep.) Eksemplet hun ga kan tolkes som et undersøkelseslandskap for elevene – læreren har invitert til og elevene realiserer, et undersøkelseslandskap. Men viktigere i denne sammenheng: hele prosjektet er en invitasjon til studentene om å se på praksis som et undersøkelseslandskap.
Marit tok tak i Oles velkjente modell hvor ”oppgavediskursen” er på venstresiden og ”undersøkelseslandskaper” er på den høyre siden, og presenterte så en ny modell hvor undervisning ”ut fra formulerte rammer og modeller” er på den venstre siden og ”utforskende tilnærming” er på den høyre. Dette ble da en modell for undersøkelseslandskaper i matematikkfagets praksis. (Den andre dimensjonen ble noe sånt som observasjon, veiledet praksis, samarbeidende praksis.)
Jeg synes dette er en interessant tilnærming til praksis – at studentene må se praksis som et sted for utprøvning, ikke som et sted for å vise at de allerede behersker undervisning i sin fulle bredde.
Marit viste også en modell fra Skovsmose hvor poenget er at vi må bruke vår pedagogiske fantasi til å forestille oss en ”ideell” situasjon – forestille oss noe annet enn den nåværende situasjon. Så kan vi eksperimentere og på den måten arrangere en situasjon, og så kritisk reflektere over denne arrangerte situasjonen og se hvordan den forholder seg til den ”ideelle” situasjonen. Slik kan vi oppnå innsikter som muligens kan bringe nåsituasjonen nærmere den ideelle situasjonen.
Marit pekte også på noen andre positive konsekvenser av en slik tilnærming til praksis: studentene innser at de er med på å prøve ut noe, og det man i etterkant diskuterer er ikke om enkeltstudenten behersket å pusse av tavla, men om det var interessante ting å finne i det man har prøvd ut. Det skaper distanse til evaluering av studentene. Marit kalte det at man går fra personliggjøring til tingliggjøring av erfaringene.
Et påtrengende spørsmål er likevel om ikke studentene må ha en viss fortrolighet med undervisning (”nå-situasjonen”) før det gir mening å prøve ut noe særlig – omtrent som man i forskning gjerne ønsker en nullhypotese når man gjør endringer. Her vil sannsynligvis de fleste mene at det er viktig å ha begge aspekter med. Som Marit sa: hvis man helt mister høyresiden i tabellen, vil også venstresiden forandre karakter.
Diskusjonen etterpå klarte jeg ikke å notere noe særlig fra, av den enkle grunn at jeg var ordstyrer. Men jeg fikk med meg at Ole lanserte begrepet ”Teacheracy” som parallell til ”Mathemacy”, og han antydet at pedagogisk fantasi, refleksjon (eller coflexion – collective reflection) var sentrale deler av en ”Teacheracy”.
Og jeg husker rimeligvis hva jeg selv sa – at foredraget til Marit ga grunn til å tenke over rammene for vår egen praksisopplæring. I undersøkelseslandskaper er ”invitasjon” et viktig element – at læreren inviterer elevene til å utforske. På hvilke måter inviterer vi studentene til å utforske i praksis? Er våre veiledningsskjemaer, med sine rubrikker og krav til ”velbegrunnet” og ”velreflektert” for lite interessert i å prøve ting man er utrygg på?
Jeg ser at dette innlegget blir urimelig langt hvis jeg ikke avbryter her – og forteller om resten av tredje dag senere.
Rettere sagt startet dagen med en svømmetur (for mitt vedkommende) etterfulgt av frokost og så – før foredraget – en liten påminnelse om at miljøet trenger at noen fagmiljøer får fornøyelsen av å arrangere konferansen etter at Volda og Oslo er ferdig med sin periode i 2011.
Og før Marit slapp til brukte jeg et par-tre minutter til å minne om den sentrale stillingen Marit har i norsk matematikkdidaktikkhistorie. Hun er jo aller mest kjent for "Begynneropplæringen", som kom på begynnelsen av 80-tallet men som fortsatt er pensum på mange norske lærerutdanninger. Det sier sitt om ideenes slitestyrke. Marit er fra Sauda, og etter å ha fullført sin lærerutdanning ved Bergen Lærerhøgskole i 1967 jobbet hun i grunnskolen i 18 år. Denne sterke praksistilknytningen har preget arbeidet senere.
Caspar Forlag ble stiftet i mai 1981 av Marit Johnsen Høines og Stieg Mellin-Olsen. I dag, når matematikkdidaktikken har fått en så sterk plass i lærerutdanningen at også de kommersielle forlagene flokker til med utgivelser, kan det være vanskelig å forstå viktigheten av Caspar. På den tida besto matematikklærerutdanningsmiljøene for en stor del av en eller to personer på de fleste høyskolene. Kongstanken til Caspar var ikke bare å trykke bøker, men å utvikle, utprøve og diskutere ideer som så ble utviklet til bøker av høy kvalitet.
Marit har også vært en sentral miljøbygger på annet vis, blant annet ved å arrangere konferanser. Hun arrangerte sammen med Bjørg Kristin Selvik Nordisk matematikklærerkonferanse i Nordfjordeid i august 1997. Der ble LAMIS, Landslaget for matematikk i skolen, startet. Og hun var leder for PME i Bergen i 2004.
Hun tok sin doktorgrad i 2002; ”Fleksible språkrom. Matematikklæring som tekstutvikling” og er i dag også blitt professor. Det er godt å se professorer med solid kontakt med praksis.
(Jepp, jeg innser at bildet av konferansen blir noe skjevt når jeg nærmest siterer ordrett det jeg selv sier og bare kort oppsummerer alt det andre som skjer, men slik er det i bloggverdenen...)
Marit startet foredraget med et bilde fra Stieg Mellin-Olsen. En person får hvert år et verktøy som presang. Han ser nytten av verktøyene og setter pris på gaven. Så et år får han et verktøy som han ikke vet hva kan brukes til. Men han vet at verktøyene han får vanligvis kan brukes til noe fornuftig, så han bruker villig sin fantasi til å prøve å finne ut hva det kan brukes til. Kanskje ender det med at han henger det på veggen uten helt å ha nådd i mål. Så får han et nytt verktøy. Kanskje bruken av det kaster lys over hva det forrige kunne brukes til. Poenget med historien er (slik jeg forstår den) at vi som lærere ikke må være så hysterisk redd for at ikke alt vi gir elevene skal ha umiddelbar effekt. Så lenge elevene har en grunnleggende tillit til at det vi legger opp til har en ”nytte”, kan de selv bidra i utforskningen av nøyaktig hva denne nytten måtte være.
Marit snakket så om ”mathemacy”, om ”empowerment” og så om sitt nåværende praksisprosjekt. Der skal studenter i allmennlærerutdanningen gå i samarbeid med en bedrift for å skape ny undervisning for elevene ute i skolen. Marit fortalte fra ett slikt studentprosjekt (skjønt hun sikkert ville protestere på begrepet ”studentprosjekt”, fordi det er et felles prosjekt for studenter, praksislærer og høyskolelærer) hvor en elev, etter å ha vært i undervisning i en butikk, plutselig sitter under pulten sin og prøver å se hvor mange (modell)pizzadisker det er plass til under pulten. (Studentene hadde nettopp vært opptatt av å gi elevene innblikk i volum som begrep.) Eksemplet hun ga kan tolkes som et undersøkelseslandskap for elevene – læreren har invitert til og elevene realiserer, et undersøkelseslandskap. Men viktigere i denne sammenheng: hele prosjektet er en invitasjon til studentene om å se på praksis som et undersøkelseslandskap.
Marit tok tak i Oles velkjente modell hvor ”oppgavediskursen” er på venstresiden og ”undersøkelseslandskaper” er på den høyre siden, og presenterte så en ny modell hvor undervisning ”ut fra formulerte rammer og modeller” er på den venstre siden og ”utforskende tilnærming” er på den høyre. Dette ble da en modell for undersøkelseslandskaper i matematikkfagets praksis. (Den andre dimensjonen ble noe sånt som observasjon, veiledet praksis, samarbeidende praksis.)
Jeg synes dette er en interessant tilnærming til praksis – at studentene må se praksis som et sted for utprøvning, ikke som et sted for å vise at de allerede behersker undervisning i sin fulle bredde.
Marit viste også en modell fra Skovsmose hvor poenget er at vi må bruke vår pedagogiske fantasi til å forestille oss en ”ideell” situasjon – forestille oss noe annet enn den nåværende situasjon. Så kan vi eksperimentere og på den måten arrangere en situasjon, og så kritisk reflektere over denne arrangerte situasjonen og se hvordan den forholder seg til den ”ideelle” situasjonen. Slik kan vi oppnå innsikter som muligens kan bringe nåsituasjonen nærmere den ideelle situasjonen.
Marit pekte også på noen andre positive konsekvenser av en slik tilnærming til praksis: studentene innser at de er med på å prøve ut noe, og det man i etterkant diskuterer er ikke om enkeltstudenten behersket å pusse av tavla, men om det var interessante ting å finne i det man har prøvd ut. Det skaper distanse til evaluering av studentene. Marit kalte det at man går fra personliggjøring til tingliggjøring av erfaringene.
Et påtrengende spørsmål er likevel om ikke studentene må ha en viss fortrolighet med undervisning (”nå-situasjonen”) før det gir mening å prøve ut noe særlig – omtrent som man i forskning gjerne ønsker en nullhypotese når man gjør endringer. Her vil sannsynligvis de fleste mene at det er viktig å ha begge aspekter med. Som Marit sa: hvis man helt mister høyresiden i tabellen, vil også venstresiden forandre karakter.
Diskusjonen etterpå klarte jeg ikke å notere noe særlig fra, av den enkle grunn at jeg var ordstyrer. Men jeg fikk med meg at Ole lanserte begrepet ”Teacheracy” som parallell til ”Mathemacy”, og han antydet at pedagogisk fantasi, refleksjon (eller coflexion – collective reflection) var sentrale deler av en ”Teacheracy”.
Og jeg husker rimeligvis hva jeg selv sa – at foredraget til Marit ga grunn til å tenke over rammene for vår egen praksisopplæring. I undersøkelseslandskaper er ”invitasjon” et viktig element – at læreren inviterer elevene til å utforske. På hvilke måter inviterer vi studentene til å utforske i praksis? Er våre veiledningsskjemaer, med sine rubrikker og krav til ”velbegrunnet” og ”velreflektert” for lite interessert i å prøve ting man er utrygg på?
Jeg ser at dette innlegget blir urimelig langt hvis jeg ikke avbryter her – og forteller om resten av tredje dag senere.
onsdag 22. september 2010
Sannerkonferansen dag 2
Dag to på konferansen ble innledet av et plenumsforedrag av Ole Skovsmose. Ole er jo en internasjonal kapasitet som vi er veldig glade for å ha her. Tittelen på hans foredrag var ”Kritik som fælles ressource”.
Ole startet med en kritikk av utviklingen i dagens skole: han ba oss tenke oss at vi reiste til et land langt borte og oppdaget en masse barn som var altfor tynne. De hadde tynne, skrøpelige armer og tydelig avmagrede ben. Naturligvis ville vi gå til aksjon umiddelbart, og gå til innsamling av badevekter til disse barna. Vi ville sørge for at de kunne veie seg jevnlig. Absurd, ikke sant? Så ba han oss tenke oss et land ikke så langt borte, hvor masse barn hadde altfor tynne matematikkunnskaper. Barna hadde mange problemer med matematikk som ville gi dem problemer gjennom livet. Vi ville umiddelbart gå til aksjon og lage tester slik at barna kunne testes jevnlig.
Dagens testregime i skolen kaller Ole ”badevektsyndromet”. (I de kretser jeg ellers vanker, kaller man isteden situasjonen før testregimet for ”å hoppe høyde uten list” (man prøver og prøver, men vet aldri om det man gjør fører til forbedring eller ikke). Jeg synes fortsatt at det beste argumentet for et utbredt testregime er en artikkel i Aftenposten for noen år siden hvor man kunne påvise at elevene på en skole nå kunne lese bedre enn før, og hvor lærerne sa at det var fordi man nå fokuserte på lesing. Hva fokuserte man på før? Det vet jeg ikke.)
Men badevektsyndromet var bare en innledning til et foredrag hvor Ole snakket om kritisk pedagogikk og prøvde å utvide innholdet i dette. Han satte opp den tradisjonelle ”kritiske pedagogikk” og satte opp mot denne en alternativ kritisk pedagogikk. I foredraget ble disse kalt ”det blå landskap” og ”det røde landskap” (og disse var ikke politisk ment). I det blå landskap ruver ord som ”analytisk innsikt”, ”grad av sikkerhet”, ”velargumentert politisk posisjon” og ”velbegrunnet pedagogisk strategi”, mens i det røde landskap finnes rom for bekymring, usikkerhet, søken/eksperimentering og pedagogisk fantasi.
Dette var det ikke helt lett å få tak på for undertegnede, men en del av Oles poenger ble tydeliggjort av gode eksempler og anekdoter. Han snakket om den gangen han skulle ha foredrag for lærere og egentlig skulle snakke om prosjektmetodikk i streng forstand. Han forsto der og da at dette ville bli helt galt – for skråsikkert og ferdigtygd – og diskuterte isteden undersøkelseslandskaper og at læreren har ulike valgmuligheter. Han snakket om elevens ”forgrunner”, som er det motsatte av elevens bakgrunn. Elevens forgrunn er det eleven forestiller seg om sin egen framtid – Ole mener at dette påvirker elevens nåtid kanskje like mye som bakgrunnen. Han snakket om eksempler på kritisk matematikkundervisning som ble så tett knyttet til barnas hverdag at de ikke lærte de tingene de trengte for å komme inn på videre skole – ”kritisk matematikkundervisning som parkeringsplass”. Og han snakket om mange ting som jeg slett ikke husker.
Og han snakket om pedagogisk fantasi. At vi må makte å tenke at ting kunne vært annerledes, og vurdere andre alternativer. ”Vi” er både lærere og elever.
Foredraget varte i en drøy time, og ble etterfulgt av over tre kvarter med diskusjon. Foredraget trigget altså forsamlingen. Noe av diskusjonen handlet om i hvor stor grad dette var et oppgjør med den tradisjonelle ”kritiske matematikkundervisning” og i hvor stor grad det kun var et ønske om å utvide rammene og nyansere det feltet. En annen del av diskusjonen handlet om forutsetningene for å gå inn i tvilen og usikkerheten – mange av oss tenker nok at læreren må være trygg på seg selv for å tørre å gå inn i undersøkelseslandskaper sammen med elevene, for eksempel. Og en tredje del av diskusjonen handlet om hvorvidt vårt akademiske miljø åpner for at man fabulerer om ting som har med tvil og usikkerhet å gjøre – vi vil jo gjerne ha sikkerhet.
Jeg klarer ikke nå å yte foredraget mer rettferdighet enn det jeg har gjort her, og det er bare å beklage. Det skyldes dels foredragets form og dels mine begrensninger. Men jeg tror mange fikk mye å tenke videre på og begreper å tenke videre med etter foredraget. For egen del var kanskje ”forgrunn”-begrepet det mest interessante – selv om det ikke er noe helt nytt begrep, er det relativt nytt for meg.
Resten av dagen gikk med til FoU-grupper. På min gruppe arbeidet vi en god del med regnestrategier i addisjon, noe som er nyttig for meg som snart skal undervise om det igjen. Frode Sirnes Larsen hadde interessante ting å legge fram her. Vi snakket om filosofiske samtaler med Lars Reinholdtsen, om Smartboard med Gjertrud Indresæter og om eksamensoppgaver knyttet til Oslo med Anne Birgitte Fyhn. Disse samtalene er vanskeligere å referere fra enn foredragene – de inneholder jo også til dels upubliserte ting som kun var ment for intern drøfting.
Og så var vi ute ved søsterkirkene og fikk omvisning og orgelkonsert. Og enda er vi bare halvveis på konferansen.
Ole startet med en kritikk av utviklingen i dagens skole: han ba oss tenke oss at vi reiste til et land langt borte og oppdaget en masse barn som var altfor tynne. De hadde tynne, skrøpelige armer og tydelig avmagrede ben. Naturligvis ville vi gå til aksjon umiddelbart, og gå til innsamling av badevekter til disse barna. Vi ville sørge for at de kunne veie seg jevnlig. Absurd, ikke sant? Så ba han oss tenke oss et land ikke så langt borte, hvor masse barn hadde altfor tynne matematikkunnskaper. Barna hadde mange problemer med matematikk som ville gi dem problemer gjennom livet. Vi ville umiddelbart gå til aksjon og lage tester slik at barna kunne testes jevnlig.
Dagens testregime i skolen kaller Ole ”badevektsyndromet”. (I de kretser jeg ellers vanker, kaller man isteden situasjonen før testregimet for ”å hoppe høyde uten list” (man prøver og prøver, men vet aldri om det man gjør fører til forbedring eller ikke). Jeg synes fortsatt at det beste argumentet for et utbredt testregime er en artikkel i Aftenposten for noen år siden hvor man kunne påvise at elevene på en skole nå kunne lese bedre enn før, og hvor lærerne sa at det var fordi man nå fokuserte på lesing. Hva fokuserte man på før? Det vet jeg ikke.)
Men badevektsyndromet var bare en innledning til et foredrag hvor Ole snakket om kritisk pedagogikk og prøvde å utvide innholdet i dette. Han satte opp den tradisjonelle ”kritiske pedagogikk” og satte opp mot denne en alternativ kritisk pedagogikk. I foredraget ble disse kalt ”det blå landskap” og ”det røde landskap” (og disse var ikke politisk ment). I det blå landskap ruver ord som ”analytisk innsikt”, ”grad av sikkerhet”, ”velargumentert politisk posisjon” og ”velbegrunnet pedagogisk strategi”, mens i det røde landskap finnes rom for bekymring, usikkerhet, søken/eksperimentering og pedagogisk fantasi.
Dette var det ikke helt lett å få tak på for undertegnede, men en del av Oles poenger ble tydeliggjort av gode eksempler og anekdoter. Han snakket om den gangen han skulle ha foredrag for lærere og egentlig skulle snakke om prosjektmetodikk i streng forstand. Han forsto der og da at dette ville bli helt galt – for skråsikkert og ferdigtygd – og diskuterte isteden undersøkelseslandskaper og at læreren har ulike valgmuligheter. Han snakket om elevens ”forgrunner”, som er det motsatte av elevens bakgrunn. Elevens forgrunn er det eleven forestiller seg om sin egen framtid – Ole mener at dette påvirker elevens nåtid kanskje like mye som bakgrunnen. Han snakket om eksempler på kritisk matematikkundervisning som ble så tett knyttet til barnas hverdag at de ikke lærte de tingene de trengte for å komme inn på videre skole – ”kritisk matematikkundervisning som parkeringsplass”. Og han snakket om mange ting som jeg slett ikke husker.
Og han snakket om pedagogisk fantasi. At vi må makte å tenke at ting kunne vært annerledes, og vurdere andre alternativer. ”Vi” er både lærere og elever.
Foredraget varte i en drøy time, og ble etterfulgt av over tre kvarter med diskusjon. Foredraget trigget altså forsamlingen. Noe av diskusjonen handlet om i hvor stor grad dette var et oppgjør med den tradisjonelle ”kritiske matematikkundervisning” og i hvor stor grad det kun var et ønske om å utvide rammene og nyansere det feltet. En annen del av diskusjonen handlet om forutsetningene for å gå inn i tvilen og usikkerheten – mange av oss tenker nok at læreren må være trygg på seg selv for å tørre å gå inn i undersøkelseslandskaper sammen med elevene, for eksempel. Og en tredje del av diskusjonen handlet om hvorvidt vårt akademiske miljø åpner for at man fabulerer om ting som har med tvil og usikkerhet å gjøre – vi vil jo gjerne ha sikkerhet.
Jeg klarer ikke nå å yte foredraget mer rettferdighet enn det jeg har gjort her, og det er bare å beklage. Det skyldes dels foredragets form og dels mine begrensninger. Men jeg tror mange fikk mye å tenke videre på og begreper å tenke videre med etter foredraget. For egen del var kanskje ”forgrunn”-begrepet det mest interessante – selv om det ikke er noe helt nytt begrep, er det relativt nytt for meg.
Resten av dagen gikk med til FoU-grupper. På min gruppe arbeidet vi en god del med regnestrategier i addisjon, noe som er nyttig for meg som snart skal undervise om det igjen. Frode Sirnes Larsen hadde interessante ting å legge fram her. Vi snakket om filosofiske samtaler med Lars Reinholdtsen, om Smartboard med Gjertrud Indresæter og om eksamensoppgaver knyttet til Oslo med Anne Birgitte Fyhn. Disse samtalene er vanskeligere å referere fra enn foredragene – de inneholder jo også til dels upubliserte ting som kun var ment for intern drøfting.
Og så var vi ute ved søsterkirkene og fikk omvisning og orgelkonsert. Og enda er vi bare halvveis på konferansen.
mandag 20. september 2010
Sannerkonferansen dag 1
I dag har første dag av årets "etterutdanningskonferanse" for matematikkdidaktikere vært holdt på Sanner hotell på Hadeland. Folk kommer fra hele landet og dagen startet derfor til lunsj. Etter lunsj holdt Vetle Rohde innledning - han ønsket velkommen og fortalte noen av hovedtankene bak konferansen. Dette er blant annet at det er satt av mer tid til FoU-verksteder enn tidligere, for å stimulere til diskusjon om FoU-prosjekter. Det er også satt av mer "pauser" enn tidligere, ut fra en tankegang om at det er nettopp i pausene at alle får tid og rom til å diskutere det som nettopp har foregått. Og det er satt av rikelig med tid til diskusjon i plenum også.
Det første plenumsforedraget på konferansen sto Reinert Rinvold fra Høgskolen i Hedmark for. Overskriften var "Generaliseringer i tallteori". Slik jeg ser det hadde foredraget et dobbelt formål. Dels handlet det om hvordan en generalisering av begreper som "primtall" til det komplekse tallområdet kan kaste lys over primtall og pytagoreiske tripler innen de "vanlige" tallene. Men dels ble dette brukt som et eksempel på hvordan generaliseringer kan brukes til å oppdage nye ting ved den matematikken vi vanligvis arbeider med.
Jeg var litt usikker på om det ville være nok diskusjoner etter dette foredraget til å fylle en hel halvtime, men det hadde jeg ikke vært nødt til å bekymre meg for. Det ble rikelig. Ikke minst kom Runar Ile med gode forslag til andre generaliseringer av Pytagoras' setning. "Den var imponerende den der, Runar", sa Reinert. "Ihvertfall hvis det er riktig", svarte Runar. Jeg tipper det var relativt mange i salen som trippet etter å sjekke resultatet etter den lille replikkvekslingen...
Reinert snakket for øvrig også om "generaliseringstaket" - du vet du har nådd det når du har generalisert så langt at du ikke finner flere resultater. Og Christoph Kirfel pekte på det motsatte: at det ofte finnes enkelteksempler som er svært illustrative og som kan belyse generelle sammenhenger. Og Ole Skovsmose viste eksempler på hvordan generaliseringer av for eksempel Pytagoras' kan gi undersøkelseslandskaper.
Etter Reinerts stimulerende foredrag - og kaffe og kaker - ble det FoU-grupper. Her er deltakerne på konferansen delt i fem ulike grupper etter temaer, og gruppene diskuterer deltakernes pågående eller planlagte FoU-arbeider/FoU-interesser. Det er satt av hele 4,5 timer til dette på konferansen, og det er derfor viktig at de fungerer godt. Den jeg deltok på var ihvertfall veldig interessant for meg - naturligvis delvis fordi den brukte mye tid på mitt prosjekt denne første økta. Det kom mange gode innspill, ihvertfall.
Og nå er det snart middag. Jeg synes vi har kommet godt i gang med konferansen, og gleder meg til de kommende dagene. Ute regner det riktignok, men det er meldt oppholdsvær til utflukten i morgen ettermiddag...
(Jeg skulle gjerne ha lagt ved bilder også, men internettforbindelsen på hotellrommet muliggjør ikke opplasting av noe særlig med bilder.)
Det første plenumsforedraget på konferansen sto Reinert Rinvold fra Høgskolen i Hedmark for. Overskriften var "Generaliseringer i tallteori". Slik jeg ser det hadde foredraget et dobbelt formål. Dels handlet det om hvordan en generalisering av begreper som "primtall" til det komplekse tallområdet kan kaste lys over primtall og pytagoreiske tripler innen de "vanlige" tallene. Men dels ble dette brukt som et eksempel på hvordan generaliseringer kan brukes til å oppdage nye ting ved den matematikken vi vanligvis arbeider med.
Jeg var litt usikker på om det ville være nok diskusjoner etter dette foredraget til å fylle en hel halvtime, men det hadde jeg ikke vært nødt til å bekymre meg for. Det ble rikelig. Ikke minst kom Runar Ile med gode forslag til andre generaliseringer av Pytagoras' setning. "Den var imponerende den der, Runar", sa Reinert. "Ihvertfall hvis det er riktig", svarte Runar. Jeg tipper det var relativt mange i salen som trippet etter å sjekke resultatet etter den lille replikkvekslingen...
Reinert snakket for øvrig også om "generaliseringstaket" - du vet du har nådd det når du har generalisert så langt at du ikke finner flere resultater. Og Christoph Kirfel pekte på det motsatte: at det ofte finnes enkelteksempler som er svært illustrative og som kan belyse generelle sammenhenger. Og Ole Skovsmose viste eksempler på hvordan generaliseringer av for eksempel Pytagoras' kan gi undersøkelseslandskaper.
Etter Reinerts stimulerende foredrag - og kaffe og kaker - ble det FoU-grupper. Her er deltakerne på konferansen delt i fem ulike grupper etter temaer, og gruppene diskuterer deltakernes pågående eller planlagte FoU-arbeider/FoU-interesser. Det er satt av hele 4,5 timer til dette på konferansen, og det er derfor viktig at de fungerer godt. Den jeg deltok på var ihvertfall veldig interessant for meg - naturligvis delvis fordi den brukte mye tid på mitt prosjekt denne første økta. Det kom mange gode innspill, ihvertfall.
Og nå er det snart middag. Jeg synes vi har kommet godt i gang med konferansen, og gleder meg til de kommende dagene. Ute regner det riktignok, men det er meldt oppholdsvær til utflukten i morgen ettermiddag...
(Jeg skulle gjerne ha lagt ved bilder også, men internettforbindelsen på hotellrommet muliggjør ikke opplasting av noe særlig med bilder.)
søndag 19. september 2010
Læreres kritiske kompetanse
I morgen starter årets "etterutdanningskonferanse" for matematikkdidaktikere i Norge. I år er det (som for to år siden) matematikkdidaktikkmiljøet ved Høgskolen i Oslo som arrangerer konferansen, og den har fått tittelen "Læreres kritiske kompetanse".
Som alltid er det mye å se fram til. Et høydepunkt er at Ole Skovsmose kommer og holder et foredrag - han er et av de store navnene internasjonalt. Han kommer til å være til stede under hele konferansen. Det blir flere andre spennende plenumsforedrag, et utvalg av parallellsesjoner og ikke minst mye tid til å diskutere FoU-prosjekter i mindre grupper.
Vi som arrangerer konferansen har lagt mye vekt på at det skal være godt med "pauser" under konferansen. Når jeg setter ordet "pauser" i hermetegn, er det naturligvis fordi "pausene" ikke brukes til å ta pause fra det faglige, men snarere til å diskutere med kolleger og knytte nye kontakter med andre som er interesserte i det samme.
Jeg satser på å blogge fra konferansen (skjønt det er alltid usikkert på forhånd om jeg får tid til å renskrive ting under konferansen eller om jeg må poste innleggene i etterkant). Så for dem som ikke klarte å rive seg løs og komme seg til Sanner disse dagene, er det bare å følge med i denne bloggen...
(Som antydet ovenfor sitter jeg i arrangementskomiteen denne gang.)
Som alltid er det mye å se fram til. Et høydepunkt er at Ole Skovsmose kommer og holder et foredrag - han er et av de store navnene internasjonalt. Han kommer til å være til stede under hele konferansen. Det blir flere andre spennende plenumsforedrag, et utvalg av parallellsesjoner og ikke minst mye tid til å diskutere FoU-prosjekter i mindre grupper.
Vi som arrangerer konferansen har lagt mye vekt på at det skal være godt med "pauser" under konferansen. Når jeg setter ordet "pauser" i hermetegn, er det naturligvis fordi "pausene" ikke brukes til å ta pause fra det faglige, men snarere til å diskutere med kolleger og knytte nye kontakter med andre som er interesserte i det samme.
Jeg satser på å blogge fra konferansen (skjønt det er alltid usikkert på forhånd om jeg får tid til å renskrive ting under konferansen eller om jeg må poste innleggene i etterkant). Så for dem som ikke klarte å rive seg løs og komme seg til Sanner disse dagene, er det bare å følge med i denne bloggen...
(Som antydet ovenfor sitter jeg i arrangementskomiteen denne gang.)
onsdag 7. juli 2010
Hva er et pentagon? Og et heksagon?
Jeg sitter og leser i den nye boka "Tall og tanke" (som jeg sikkert skal blogge mer om etter hvert, utmerket som den er). Et sted i den står det at et pentagon er en "regulær femkant" og at et "heksagon" er en "regulær sekskant".
Dette stusset jeg over, for jeg ville oversatt pentagon med femkant og heksagon med sekskant, uten noe krav om regularitet.
Så jeg sjekker andre kilder:
Norsk Wikipedia skriver at "I geometri er et heksagon et polygon med seks hjørner og seks kanter." Her nevnes ingen regularitet.
Men om pentagon skrives det betydelig mer: "En pentagon er en sammenhengende geometrisk figur som består av fem sider, dvs en geometrisk figur med 5 sider. I matematikken sier man en fem siders polygon eller mangekant. Sidene i dette polygonet trenger ikke å være like lange, men en pentagon med fem like lange sider har fått ett eget navn, en likebenet pentagon. Det er ofte en likebenet pentagon man tenker på når man i daglidags tale snakker om en pentagon."
Wikipedia sier altså at når vi i dagligtale snakker om pentagon, mener vi en likebenet (men ikke nødvendigvis regulær!) femkant. Altså et mellomstandpunkt mellom "Tall og tanke" og mitt utgangspunkt. Hm...
Jeg går til Bokmålsordboka. Den har ingen oppslag på "heksagon", men skriver om pentagon: "likesidet femkant". Altså er den tilbøyelig til å være enig med Wikipedia, ser det ut til.
Store Norske Leksikon, derimot, skriver rett og slett at et pentagon er en "femkant", mens et heksagon er en "mangekant med seks sider."
matematikk.net nøyer seg også med å kreve fem kanter: "Femkant eller pentagon er et geometrisk objekt med fem sidekanter. Et spesialtilfelle er den regulære femkant som er en figur der alle sider er like lange og alle vinkler like store."
Når jeg i tillegg vet at verken ordet "pentagon" eller "heksagon" har noe regularitet i seg etymologisk sett, tror jeg at jeg inntil videre vil holde på intuisjonen min: et pentagon er ganske enkelt en femkant. Men det brukes åpenbart ulikt, selv i leksika og ordbøker.
Så til kompetente lesere der ute: hva er den korrekte forståelsen av ordet "pentagon" og ordet "heksagon" på norsk?
Dette stusset jeg over, for jeg ville oversatt pentagon med femkant og heksagon med sekskant, uten noe krav om regularitet.
Så jeg sjekker andre kilder:
Norsk Wikipedia skriver at "I geometri er et heksagon et polygon med seks hjørner og seks kanter." Her nevnes ingen regularitet.
Men om pentagon skrives det betydelig mer: "En pentagon er en sammenhengende geometrisk figur som består av fem sider, dvs en geometrisk figur med 5 sider. I matematikken sier man en fem siders polygon eller mangekant. Sidene i dette polygonet trenger ikke å være like lange, men en pentagon med fem like lange sider har fått ett eget navn, en likebenet pentagon. Det er ofte en likebenet pentagon man tenker på når man i daglidags tale snakker om en pentagon."
Wikipedia sier altså at når vi i dagligtale snakker om pentagon, mener vi en likebenet (men ikke nødvendigvis regulær!) femkant. Altså et mellomstandpunkt mellom "Tall og tanke" og mitt utgangspunkt. Hm...
Jeg går til Bokmålsordboka. Den har ingen oppslag på "heksagon", men skriver om pentagon: "likesidet femkant". Altså er den tilbøyelig til å være enig med Wikipedia, ser det ut til.
Store Norske Leksikon, derimot, skriver rett og slett at et pentagon er en "femkant", mens et heksagon er en "mangekant med seks sider."
matematikk.net nøyer seg også med å kreve fem kanter: "Femkant eller pentagon er et geometrisk objekt med fem sidekanter. Et spesialtilfelle er den regulære femkant som er en figur der alle sider er like lange og alle vinkler like store."
Når jeg i tillegg vet at verken ordet "pentagon" eller "heksagon" har noe regularitet i seg etymologisk sett, tror jeg at jeg inntil videre vil holde på intuisjonen min: et pentagon er ganske enkelt en femkant. Men det brukes åpenbart ulikt, selv i leksika og ordbøker.
Så til kompetente lesere der ute: hva er den korrekte forståelsen av ordet "pentagon" og ordet "heksagon" på norsk?
søndag 30. mai 2010
Tangenten 1/2010: Praktiske aktiviteter – ikke noen lek
I artikkelen ”Praktiske aktiviteter – ikke noen lek” beskriver Frode Olav Haara en butikkaktivitet gjennomført av henholdsvis en ufaglært vikar og en erfaren matematikklærer. Den viser hvor viktig lærerens rolle er, og betydningen av en kompetent lærer for at denne rollen skal bli god.
Et kort sitat: ”For didaktisk å kunne forsvare bruken av aktiviteten må den være formålstjenlig i forhold til et eller flere faglige mål og læreren må legge til rette for at aktiviteten skal gi faglige utfordringer i henhold til undervisningens faglige mål. Det gjør den neppe om elevene er i butikkonteksten uten mål og mening.”
Artikkelen passer godt inn i den fornyede interessen for lærerkompetanse som har vært å merke de siste årene. Mens man tidligere kanskje var mer opptatt av å studere barns læring, har stadig flere forskere blitt opptatt av hva som egentlig ligger i lærerkompetanse og hvordan den arter seg. For lærerutdannere er jo det relativt sentrale grunnlagsspørsmål. En forsker som jeg har stor sans for i den sammenhengen, er Deborah Ball, men det finnes mange flere, og det skal bli spennende å se hvordan lærerutdanningen blir påvirket av dette i årene framover.
Et kort sitat: ”For didaktisk å kunne forsvare bruken av aktiviteten må den være formålstjenlig i forhold til et eller flere faglige mål og læreren må legge til rette for at aktiviteten skal gi faglige utfordringer i henhold til undervisningens faglige mål. Det gjør den neppe om elevene er i butikkonteksten uten mål og mening.”
Artikkelen passer godt inn i den fornyede interessen for lærerkompetanse som har vært å merke de siste årene. Mens man tidligere kanskje var mer opptatt av å studere barns læring, har stadig flere forskere blitt opptatt av hva som egentlig ligger i lærerkompetanse og hvordan den arter seg. For lærerutdannere er jo det relativt sentrale grunnlagsspørsmål. En forsker som jeg har stor sans for i den sammenhengen, er Deborah Ball, men det finnes mange flere, og det skal bli spennende å se hvordan lærerutdanningen blir påvirket av dette i årene framover.
mandag 3. mai 2010
Tankevekkende elevutsagn
Aftenposten skriver om Albertkonkurransen i matematikk (som Aftenposten nå delvis har begynt å omtale som "matte" - sic transit gloria mundi).
Elevenes utsagn i den forbindelse er tankevekkende:
"Det jeg lærte av matte i 1. og 2. klasse i India var nok til at jeg klarte meg bra til 5. og 6. klasse her. Det er strengere der, elevene lærer mer, det er mer konkurranse mellom elevene."
"Det er stor forskjell på matteundervisningen her og i Pakistan. Pensumet vi har i første videregående, hadde jeg i 7. klasse i Pakistan, med unntak av sannsynlighetsregning."
Dette er naturligvis ikke noe nytt - internasjonale undersøkelser har jevnlig vist at norsk skole er helt på det jevne når det gjelder læring i kjernefagene. Men det er likevel verdt å tenke over på nytt. Greit nok at vi i Norge kanskje har en skole som først og fremst tar vare på de middels gode, mens andre land fokuserer på de flinkeste. Men er det nødvendig at dette skal føre til så store utslag?
Og for øvrig: det er også grunn til å minne om at grunnen til at vi ikke har en streng skole i Norge, egentlig er at vi tror at en mer demokratisk skole vil gi bedre læring. Da kan vi ikke samtidig bruke det som en unnskyldning for at elevenes læring blir dårligere enn i strengere skoler.
(Les også om konkurransen i Paul Chaffeys blog.)
Elevenes utsagn i den forbindelse er tankevekkende:
"Det jeg lærte av matte i 1. og 2. klasse i India var nok til at jeg klarte meg bra til 5. og 6. klasse her. Det er strengere der, elevene lærer mer, det er mer konkurranse mellom elevene."
"Det er stor forskjell på matteundervisningen her og i Pakistan. Pensumet vi har i første videregående, hadde jeg i 7. klasse i Pakistan, med unntak av sannsynlighetsregning."
Dette er naturligvis ikke noe nytt - internasjonale undersøkelser har jevnlig vist at norsk skole er helt på det jevne når det gjelder læring i kjernefagene. Men det er likevel verdt å tenke over på nytt. Greit nok at vi i Norge kanskje har en skole som først og fremst tar vare på de middels gode, mens andre land fokuserer på de flinkeste. Men er det nødvendig at dette skal føre til så store utslag?
Og for øvrig: det er også grunn til å minne om at grunnen til at vi ikke har en streng skole i Norge, egentlig er at vi tror at en mer demokratisk skole vil gi bedre læring. Da kan vi ikke samtidig bruke det som en unnskyldning for at elevenes læring blir dårligere enn i strengere skoler.
(Les også om konkurransen i Paul Chaffeys blog.)
mandag 1. mars 2010
Tangenten 4/09: Modellering, måling og meningsfull matematikk
Kyrre Johannesen: Modellering, måling og meningsfull matematikk. Tangenten 4/2009.
Modellering er et viktig stikkord når det gjelder å forklare hvorfor matematikk er et så sentralt kunnskapsområde. Men eksemplene på modellering som presenteres er ikke alltid overbevisende. Selv har jeg for eksempel vært med på å trille kuler ned en bakke og forsøkt å finne sammenhengen mellom hvor høyt oppe i bakken de startet og hvor lang tid de tok. Jeg har også sett at man holder på med å slippe Barbiedukker ned i strikkhopp. Begge deler unektelig morsomme aktiviteter, men det skal en del fantasi til for å overbevise elevene om at dette er matnyttig. (Og er det noe modellering jo nettopp er i den virkelige verden, er det matnyttig.)
Kyrre Johannesens artikkel viser derimot et slående nyttig eksempel: i kornlagre blir kornet gjerne liggende i kjegleaktige hauger, rett og slett fordi kornet fylles på fra et hull i taket. Det er nødvendig for de som eier kornet å kunne finne ut hvor mye korn de har - der det ligger. Det enkleste de kan måle er avstanden fra hullet i taket til toppen av haugen. Finnes det en formel?
Dette kan naturligvis testes i klasserommet og en god del matematikk kan trekkes inn. Elevene kan gjette hvordan sammenhengen er og prøve seg fram. Og de vet hele tiden at den matematikken de holder på med faktisk brukes ute i samfunnet.
Min eneste bekymring er at det fort blir relativt mye søl hvis ei klasse skal holde på med å lage sukkerkjegler i klasserommet. (Nei, det er ikke gøy å plukke sukkerkorn fra gulvet...) Kanskje man heller skulle legge denne timen til ei lokal sandkasse?
I samme nummer av Tangenten har Ragnhild Hansen en artikkel med tittelen "Modellering og kritisk demokratisk kompetanse".
Modellering er et viktig stikkord når det gjelder å forklare hvorfor matematikk er et så sentralt kunnskapsområde. Men eksemplene på modellering som presenteres er ikke alltid overbevisende. Selv har jeg for eksempel vært med på å trille kuler ned en bakke og forsøkt å finne sammenhengen mellom hvor høyt oppe i bakken de startet og hvor lang tid de tok. Jeg har også sett at man holder på med å slippe Barbiedukker ned i strikkhopp. Begge deler unektelig morsomme aktiviteter, men det skal en del fantasi til for å overbevise elevene om at dette er matnyttig. (Og er det noe modellering jo nettopp er i den virkelige verden, er det matnyttig.)
Kyrre Johannesens artikkel viser derimot et slående nyttig eksempel: i kornlagre blir kornet gjerne liggende i kjegleaktige hauger, rett og slett fordi kornet fylles på fra et hull i taket. Det er nødvendig for de som eier kornet å kunne finne ut hvor mye korn de har - der det ligger. Det enkleste de kan måle er avstanden fra hullet i taket til toppen av haugen. Finnes det en formel?
Dette kan naturligvis testes i klasserommet og en god del matematikk kan trekkes inn. Elevene kan gjette hvordan sammenhengen er og prøve seg fram. Og de vet hele tiden at den matematikken de holder på med faktisk brukes ute i samfunnet.
Min eneste bekymring er at det fort blir relativt mye søl hvis ei klasse skal holde på med å lage sukkerkjegler i klasserommet. (Nei, det er ikke gøy å plukke sukkerkorn fra gulvet...) Kanskje man heller skulle legge denne timen til ei lokal sandkasse?
I samme nummer av Tangenten har Ragnhild Hansen en artikkel med tittelen "Modellering og kritisk demokratisk kompetanse".
onsdag 17. februar 2010
Tangenten 4/09: Arbeidsplaner
Ole Kristian Bergem holdt et foredrag om arbeidsplaner på matematikklærerutdanningskonferansen i Loen i fjor høst. Det kommenterte jeg i et tidligere blogginnlegg. Artikkelen i Tangenten 4/09 har en del av det samme innholdet.
Bergem er altså opptatt av de negative virkningene av arbeidsplaner, slik de framkommer i ny forskning. Norsk matematikkundervisning er allerede i overkant individualisert, men med arbeidsplaner forsterkes dette. I tillegg uttrykker elevene at det læreren gjennomgår i liten grad passer med det elevene jobber med akkurat da. Arbeidsplanene skiller heller ikke mellom skole- og hjemmearbeid, med de opplagte negative følgene det får.
Som jeg skrev i september: "Til sammen dannet Bergems konklusjoner, underbygget av en rekke sitater fra elever som var blitt intervjuet, et ganske deprimerende bilde. Hvis lærergjerningen blir redusert til å sette en toukersperiode i gang og så avslutte den to uker senere, uten å ha elevens oppmerksomhet i mellomtiden, og uten å være den som hjelper elevene når de står fast, blir det hele ganske så håpløst. Og kjedelig." Arbeid med arbeidsplaner må skje med nøye blikk for slike mulige negative konsekvenser.
Bergem er altså opptatt av de negative virkningene av arbeidsplaner, slik de framkommer i ny forskning. Norsk matematikkundervisning er allerede i overkant individualisert, men med arbeidsplaner forsterkes dette. I tillegg uttrykker elevene at det læreren gjennomgår i liten grad passer med det elevene jobber med akkurat da. Arbeidsplanene skiller heller ikke mellom skole- og hjemmearbeid, med de opplagte negative følgene det får.
Som jeg skrev i september: "Til sammen dannet Bergems konklusjoner, underbygget av en rekke sitater fra elever som var blitt intervjuet, et ganske deprimerende bilde. Hvis lærergjerningen blir redusert til å sette en toukersperiode i gang og så avslutte den to uker senere, uten å ha elevens oppmerksomhet i mellomtiden, og uten å være den som hjelper elevene når de står fast, blir det hele ganske så håpløst. Og kjedelig." Arbeid med arbeidsplaner må skje med nøye blikk for slike mulige negative konsekvenser.
Abonner på:
Innlegg (Atom)
Innlegg
