Matematikkhistorie i matematikkundervisningen - i FoU-fronten og i klasserommet

Det har inntil nylig vært snakk om at jeg skulle holde en såkalt "opprykkforelesning" til uka. Nå viser det seg av flere grunner å bli vanskelig å få til det. Men da publiserer jeg heller "manuset" - så langt det var kommet - her. Innspill er dypt ønsket, for det kan jo tenkes at jeg skal forfølge noe av det som står her ved senere anledninger...

Jeg fikk opprykk til førstelektor i sommer, etter å ha søkt en stilling ved Høgskolen i Vestfold. Selve stillingen ble trukket tilbake, men kommisjonen var alt ferdig med arbeidet sitt og mente meg kvalifisert til opprykk. Dette kom før jeg hadde kommet veldig langt med profileringsdokumentet mitt, og jeg la det vekk da opprykket kom. Men da jeg skulle snakke her, ble det en mulighet til å videreutvikle ideene i det uferdige profileringsdokumentet (som for øvrig ligger på nett).

I dag vil jeg stort sett begrense meg til å snakke om temaet matematikkhistoriens plass i matematikkundervisningen. Dette temaet utgjør noe sånt som en tredjedel av grunnlaget for mitt opprykk, slik jeg ser det, men det er greit å begrense seg litt. De to andre delene, som jeg altså ikke berører noe særlig i dag, er IKT i undervisningen, herunder utviklingen av wikien eleviki og den generelle utviklingen av lærerutdanning i Norge. Arbeid med lærerutdanningenes LHBT-undervisning kommer også inn her.

La meg først understreke at jeg ser på førstelektorkvalifisering som en kvalifisering for en stilling som inneholder både undervisning, FoU-arbeid og formidling. Denne tredelte virksomheten skal skje på ulike arenaer - både helt lokalt, helt inn i eget klasserom, på egen institusjon, nasjonalt og internasjonalt. Jeg prøvde meg derfor på et tidspunkt med å sette opp en tabell som viste dette og hvor jeg kunne prøve å sette inn ulike ting jeg hadde gjort. For meg fungerer den noenlunde: for eksempel driver jeg stadige utviklingsarbeider i eget klasserom knyttet til at jeg jobber med FoU-arbeider internasjonalt, og mye av formidlingen basert på dette er nasjonalt rettet. Jeg mener at det for opprykk til førstelektor - og arbeid i stilling som førstelektor - er viktig å være oppmerksom på hele spennvidden her.

Stillingene vi har i lærerutdanning er ofte dessuten ganske brede faglig sett. Her nytter det ikke å påstå at man er geometriekspert og nekte å undervise om funksjoner og didaktikken knyttet til dem. En kompetanse som skal gi førstelektorkvalifisering bør derfor også være litt bred. I mitt avbrutte profileringsdokument var jeg opptatt av å få med bredden.

Tittelen på dette foredraget har med ordene “i FoU-fronten og i klasserommet”. Det er ikke bare fordi jeg legger vekt på at jeg har vært aktiv på disse ulike arenaene - eller fordi et poeng med førstelektorkvalifisering er at man skal være begge steder - men også fordi et sentralt tema i det jeg har jobbet med er den enorme kontrasten som finnes mellom hva forskerne internasjonalt mener om matematikkhistoriens plass i klasserommene og hva norske matematikklærere mener om det samme. Og mellom de gode eksemplene jeg ser internasjonalt og hva jeg ser gjort i norske klasserom.

På en konferanse i Wien i fjor satt jeg i et panel som skulle diskutere matematikkhistoriens plass i lærerutdanningene. Jeg valgte å ta utgangspunkt i Deborah Balls modell for hva slags kunnskap som matematikklærere trenger; modellen er velkjent i matematikkdidaktiske miljøer. Jeg brukte et par minutter på å argumentere for at matematikkhistorien spiller en rolle for alle de ulike elementene i Balls modell: for eksempel er det en fordel for en lærer å ha jobbet med ulike historiske algoritmer hvis hun selv raskt skal kunne sette seg inn i elevenes algoritmer. Alt dette var ukontroversielt på konferansen i Wien, men ville vært ukjente toner i mange norske klasserom.

Imidlertid tok jeg spørsmålet et skritt videre. For hva mener Ball med matematikk? Nesten alle eksemplene i hennes artikler handler om at elevene skal regne ut noe eller argumentere rundt noe - et syn på matematikk som nok mange lærere i skolen deler. Men mange av mine kolleger på disse internasjonale konferansene ville ha sagt at dette er et altfor snevert syn på matematikkfagets mål - det er en del av matematikkfaget at elevene også skal bli kjent med den delen av kulturarven som matematikkhistorien representerer.

Men her skal jeg ikke diskutere om matematikkhistorie bør ha noen plass i grunnskolen. Min interesse har hovedsakelig vært hvordan den skal undervises. Det må være legitimt, på samme måte som at det er legitimt å forske på hvordan brøk - eller litteraturhistorie - bør undervises uten samtidig å forske på om det skal undervises.

Nå vil jeg ta en kortversjon av bortimot 12 års arbeid med temaet “matematikkhistorie i matematikkundervisningen”.

Jeg fikk jobb ved Høgskolen i Finnmark i 1998, perfekt taimet siden L97 kom året før og hadde klare fagmål om matematikkhistorie i matematikkplanene. Jeg bestemte meg snart for at det å analysere lærebøkene som kom etter L97 ville være et passende førsteprosjekt. Det var nok noe større enn jeg så for meg fra starten - drøyt 15.000 læreboksider senere kunne jeg konkludere relativt negativt. Det var forholdsvis lite matematikkhistorie i lærebøkene, det var mange faktafeil og matematikkhistorien var sterkt knyttet til hvem som hadde utviklet dette og hint (ofte begrenset til navn, land og årstall). Det var for eksempel lite om hvordan matematikken ofte har vokst ut av behov i samfunnet eller hvordan matematikken har påvirket samfunnsutviklingen. Ideene til prosjektarbeid virket ofte dårlig funderte, der man sendte elevene ut på internett uten klare retningslinjer.

Et litt artig eksempel fra lærebøkene den gang: ei bok skrev at “Pascal laga den første lommereknaren”. Pascals kalkulator var 36 cm lang og passet ikke i lomma. Elevene bør forskånes for å tro at noe nær våre lommeregnere fantes midt på 1600-tallet. Det var for øvrig ikke Pascal som laget den første kalkulatoren.

Lærebokstudien ble et stort tankekors. Det generelle inntrykket var at matematikkhistorien var kommet inn i lærebøkene uten å ha basis i brede utviklingsarbeider i skolen og at lærebokforfatterne derfor hadde et tynt grunnlag å utvikle læreboktekster ut fra. Altså: de som skrev læreplanen var blitt overbevist om at matematikkhistorie burde med, men hadde ikke overbevist lærerne eller lærebokforfatterne, og lærerne og lærebokforfatterne hadde ikke noen eksempelsamling til inspirasjon. Det kunne ikke gå bra. I Kunnskapsløftet var matematikkhistorie definert som en “arbeidsmåte” og derfor noe som ikke læreplanen skulle bry seg med.

I 2000 var jeg på et par konferanser i Asia som ble viktige for meg. Jeg presenterte denne lærebokstudien og folk fra mange land bekreftet at det var slik lærebøkene ofte var. Men samtidig var konferansene fylt av strålende eksempler på hvordan det kunne gjøres - ikke minst fordi det ble presentert en ICMI Study om området - ei bok skrevet av mange av de største fagfolkene på området. Men jeg merket også noe som jeg aldri helt har godtatt: en tro på at matematikklærere måtte ha egne - helst lange - kurs i matematikkhistorie for å kunne inkludere det i egen undervisning på fornuftig måte. Å godta dette ville jo bety å kapitulere helt når det gjelder den norske konteksten, for her fikk studentene 30 studiepoeng i matematikk i allmennlærerutdanningen, og det var slett ikke plass til noen egne matematikkhistoriekurs.

I ettertid ser jeg at de to neste studiene jeg gjorde kan sies å undersøke videre dette gapet mellom forskningsfronten og klasserommet. Den første var et rent lykketreff, godt hjulpet av Otto Bekken ved Høgskolen i Agder. Jeg var på en jorda rundt-reise og stoppet i ei knapp uke i Los Angeles på hjemveien for å se Hollywood og besøke Otto. Han hadde kontakter i Lesson Lab, som satt på et unikt materiale av 638 matematikktimer fra 8. klasser i 7 land (TIMSS 1999 Video Study). Formålet med deres undersøkelse var å finne likheter eller ulikheter mellom landene, og under kodingen av materialet hadde de også tatt med matematikkhistorie. Denne koden forekom såpass sjelden at den ikke ga signifikant informasjon om forskjeller mellom landene, men for mitt formål kunne det gi et interessant bilde. Jeg fikk tilgang til videoer og transkripsjoner av de undervisningsøktene som hadde matematikkhistorieelementer og kunne analysere disse. Dette ga en mulighet til å si noe om situasjonen på tvers av land, noe jeg umulig kunne ha fått til på egen hånd. Resultatene av analysene stemte ganske godt overens med inntrykket fra de norske lærebøkene: Matematikkhistorie spilte en ganske liten rolle, og ofte var den redusert til korte, biografiske opplysninger.

For meg har denne undersøkelsen blitt stående som et stort tankekors: ved et par måneders analyse våren 2003 fikk jeg altså resultater som jeg ville ha måttet brukt mange år på hvis jeg selv skulle ha innhentet materialet fra disse sju landene. Det sitter en liten engel eller djevel på skulderen og sier at det er nesten “juks” å få så kraftige resultater uten selv å gjøre innsamlingsarbeidet, men sannheten er jo at disse resultatene ikke ville ha framkommet hvis ikke noen hadde vist interesse for dem. Uten Otto og meg ville ingen ha benyttet anledningen til å finne ut hva som 638 matematikktimer kan si oss om bruken av matematikkhistorie internasjonalt. Etter dette er jeg på evig jakt etter gode prosjekter som kan si interessante ting med minst mulig arbeid - altså rett og slett effektive prosjekter. For det er tross alt resultatene som er målet, ikke å ha en lang og brokete prosess fram mot dem...

Den neste studien var av læreres oppfatning av matematikkhistorie. Dette var en intervjustudie av fire lærere, og den viste at de hadde svært ulike oppfatninger av matematikkhistorie. For eksempel mente en lærer at hans elever (som gikk i 8. klasse) var altfor unge til å drive med matematikkhistorie, mens en annen lærer arbeidet ivrig med det med sine elever. Selv med kun fire lærere fikk jeg dokumentert at lærere er ulike når det gjelder nær sagt alle problemstillinger knyttet til matematikkhistorie i undervisningen: Hva er matematikkhistorie? (er det bare historien om hvordan matematikken ble “skapt” eller også hvordan matematikken har blitt brukt gjennom historien) Har lærerne utdanning i matematikkhistorie? Er de interessert i matematikkhistorie? Hvilke mål har de for inkludering av matematikkhistorie i sin undervisning - og hvordan gjør de det? Hvordan synes de at elevene reagerer? Og hvilke ressurser skulle de ønske de hadde? Og bør matematikkhistorie være med i læreplanen? Intervjustudien bidrar til å realitetsorientere meg - kanskje er det for eksempel ikke noe mål å nå alle disse ulike lærerne med en gang?

Intervjustudien var opprinnelig et arbeidskrav på et doktorgradskurs jeg tok, men den ble i høst publisert i en antologi fra Mathematical Association of America (MAA), og kom dermed også på plass i tellekantsystemet. Førstelektorkommisjonen skrev at “Artikkelen er viktig fordi den gir en indikasjon på den bredden av ståsteder som sannsynligvis er til stede blant norske lærere når det gjelder matematikkhistorie.”

Parallelt med all denne forskningen hadde jeg en del undervisning selv, og jeg utviklet etter hvert et hefte om sannsynlighetsregning med mye historisk stoff, blant annet med matematikkhistoriske tekster og med oppgaver knyttet til matematikkhistorie. Jeg ga også studentene på Matematikk 3 matematikkhistoriske prosjektarbeider (som jeg for øvrig analyserte i en senere artikkel). Og for øvrig knyttet jeg matematikkhistorie inn i en del av min øvrige undervisning.

Etter hvert som jeg selv hadde brukt matematikkhistorie på mange ulike måter, holdt jeg et verksted ved en konferanse i Praha som jeg i ettertid ser som helt sentralt i utviklingen min. Det het: “Various Materials for Primary School Teacher Training: Or: Can you do something even if you can't do much?” Det ga en del eksempler på hvordan jeg tok matematikkhistorie i bruk i arbeidet med lærerstudenter, og viste dermed fram en bredde av metoder man kan bruke med matematikkhistorie. Og jeg gikk direkte i rette med de som mente at man måtte kunne matematikkhistorien svært godt før man kunne gjøre noenting som helst. Jeg begynte her å formulere eksplisitt min overbevisning: vi må tvert imot utvikle materialer som gjør at lærere kan komme i gang med å bruke matematikkhistorie, selv om de ikke kan så mye selv. Hvis de så ser at dette er meningsfylt og interessant vil de selv lete opp mer og utvikle interessante ting. Vi kan gjøre noe selv om vi ikke kan gjøre så mye.

Verkstedet var basert på funnene om at matematikkhistorie ofte reduseres til biografi og at lærere anser at matematikkhistorie tar tid bort fra matematikkhistorien. Jeg ønsket derfor å vise eksempler som hadde et klart matematisk fokus, som viste hvordan matematikkhistorie kan gi tilleggsverdi, og at det er mer enn tekster som studentene skal lese eller læreren presentere.

Jeg er jo redd for at dette skal bli lite konkret for dere. Så jeg kan jo liste opp hva jeg gjorde i verkstedet i Praha: Jeg viste hvordan matematikkhistorie kan være

• del av et foredrag, for eksempel om perspektivtegning
  
• arbeid med originalkilder, for eksempel Leonardo Pisanos Liber Abaci (som introduserte de hindu-arabiske tallene til europeerne, som på det tidspunktet brukte romertall)
  
• prosjekter (hvor studentene må lage undervisningsopplegg for skolen basert på matematikkhistorie)
  
• oppgaver tatt fra matematikkhistorien, for eksempel i sannsynlighetsregningen hvor studentene kan jobbe med de samme oppgavene som Pascal og Fermat diskuterte i den berømte brevvekslingen som regnes som startskuddet for sannsynlighetsregningen.
  
• spill - jeg har laget et etymologisk kortspill. Senere har jeg også laget en etymologisk kryssord...
  

Verkstedet fikk veldig god mottakelse under konferansen og artikkelen basert på verkstedet har også blitt publisert i antologien fra MAA som jeg nevnte tidligere. Jeg er ganske godt fornøyd med å få tellekantpoeng på en artikkel basert på undervisning jeg har hatt i grunnutdanningen vår. Da er det virkelig snakk om utdanningsbasert forskning.

Og undervisningen min er naturligvis FoU-basert. Det er jo selvsagt at undervisning med matematikkhistorie er nødt til å være basert på matematikkhistorisk forskning. Men det bygger jo også på matematikkhistoriedidaktisk forskning. I fjor ble jeg bedt om å holde et seks timers opplegg i matematikkhistorie for 5-10-utdanningen. Jeg la vekt på ulike måter matematikkhistorie kan brukes i grunnskolen - altså en rent didaktisk tilnærming - med mange eksempler knyttet til. På basis av min egen og mange andre sin forskning satte jeg opp en del målsettinger som undervisningsopplegget burde prøve å oppnå. For eksempel dette med å få med både utvikling og bruk av matematikk og få med matematikkens plass i samfunnsutviklingen. En del av de konkrete eksemplene var naturligvis hentet fra artikler og liknende internasjonalt. I år har jeg gjentatt “suksessen”, riktignok med et helt nytt opplegg basert på fjorårets erfaringer og for å passe inn i årets semesterplan. Erfaringene fra disse to undervisningsøktene vil igjen danne grunnlaget for et verksted på en konferanse i Korea til sommeren. Samtidig har jeg utnyttet undervisningsoppleggene til å ha noen små spørreskjemaer i for- og etterkant, og dette gir interessante innblikk i studentenes holdninger til matematikkhistorie - som jeg skal presentere i et foredrag i Korea i sommer.

Et av hovedprosjektene i førstelektorprogrammet var ment å være utvikling av en wiki for lærerutdanning; eleviki. Det prosjektet lever videre, blant annet med samarbeid med Universitetet i Agder, og wikien har nå over 100.000 treff i året. Men jeg knyttet det også til matematikkhistorien - jeg bestemte meg for at eleviki skulle være stedet hvor jeg skulle publisere ting som lærere kunne ha direkte nytte av i undervisningen knyttet til matematikkhistorie. Først gjennomførte jeg en analyse av all litteratur om matematikkhistorie som på forhånd eksisterte på norsk og var relevant for grunnskolen. Denne analysen skulle danne grunnlaget for videre arbeid med wikien - men først ble resultatene av analysen presentert på en konferanse i Wien. (Jeg har med andre ord blitt ganske god til å gjøre delundersøkelser som del av større prosjekter, hvor delundersøkelsene også gir interessante, publiserbare resultater.)

Det er interessant å stoppe opp litt ved disse analysene - rundt år 2000 presenterte jeg en analyse av lærebøker og i 2010 presenterte jeg en analyse av ressurser generelt. Hva hadde endret seg i analyseverktøyene på de ti årene? Jo, analysene var preget av diskusjoner i det internasjonale miljøet. For eksempel er en viktig trend de siste ti årene vekten på bruk av originalkilder i undervisningen - begrunnet i at man ved å se på originalkilder får et innblikk i en alternativ matematisk kultur som også gir et nytt syn på egen matematikkultur. Dette gjorde at originalkilder fikk en plass i analysen i 2010, mens de i 2000 ikke var med. Et annet poeng er at jeg er blitt opptatt av konkrete ting lærerne kan ta med til klasserommet, og at jeg leter aktivt etter dette. Et tredje poeng er vekten på barnetrinnet, hvor jeg ser en mangel i det internasjonale miljøet. I tillegg har naturligvis analysene blitt preget av at jeg har vært i matematikkdidaktiske fagmiljø i ti år til.

Hvis jeg skal oppsummere denne delen av førstelektorkvalifiseringen, handler det altså om at jeg har koblet egen undervisning og FoU-arbeid, jeg har utnyttet ulike former for metode, kvantitativ og kvalitativ. Det handler om at jeg kompetanse til å bedrive undervisning, formidling og FoU på et annet nivå nå enn da jeg var fersk lærerutdanner.

Til sommeren skal jeg lede en Discussion Group på ICME i Sør-Korea som skal handle om matematikkhistorie for grunnskolen. Dette er første gang at grunnskolen står i fokus for en slik diskusjon i HPM-miljøet, etter det jeg kan forstå. Jeg vil mene at det er summen av egen undervisning, forskning og utviklingsarbeider som gjør at jeg nå kan lede en slik diskusjonsgruppe. (At jeg har vært medredaktør for HPM Newsletter siden 2004 bidrar også til at jeg har en viss oversikt over det internasjonale forskningsmiljøet på området.)

Kommisjonen konkluderte altså på hyggelig vis i mitt tilfelle: “Han har innehatt diverse faglige og administrative lederverv, har formell praktisk pedagogisk utdanning og har produsert en rekke artikler, kompendier og konferansebidrag som har god bredde og spesielt god dybde innenfor matematikkhistorie. Arbeidene gir et solid inntrykk, og komiteen mener at kravet om at omfanget skal svare til et doktorgradsarbeid, er oppfylt.”

Men noe av det jeg var aller mest glad for, var at kommisjonen tydelig så fagligheten i det å lage et læremiddel om sannsynlighetsregning med historisk inngang: “Det finnes grøfter å falle i når man skal koble sammen sannsynlighetsregningen med sitt historiske opphav. Man kan begrave seg i detaljer i frykt for ikke å være historisk korrekt og man kan ta for lett på de historiske forutsetningene. Smestad er svært reflektert innenfor det matematikkhistoriske feltet og ser ut til å balansere dette fint.”

For det er vel og bra å få publiseringspoeng, men førstelektorveien handler mye om å vise en helhetlig kompetanse hvor det man gjør av FoU-arbeider gjerne skal gi en merverdi for studentene, samtidig som det man gjør med studentene gjerne skal ha FoU-interesse.