Holmboesymposiet 2011

Så var det klart for årets Holmboesymposium, den årlige, tradisjonelle markeringen av Holmboeprisvinneren.

Sigbjørn Hals, årets prisvinner, hadde valgt tittelen "Kva ville Polya ha gjort mee GeoGebra?" Polya er jo kjent for boka "How to solve it" og mye annet. Hals fortalte om Polya og om hva problemløsning er og viste eksempler på problemløsningsstrategier ved noen fine oppgaveeksempler (som jeg ikke klarer å gjengi her).

Så kom han over på hjertebarnet, GeoGebra. Først et eksempel hvor han brukte regresjon til å finne en formel for antall deler en sirkel deles i av diagonalene i en innskrevet n-kant. (Tallfølgen blir 2, 4, 8, 16, 31 (!), ...) Deretter noen andre geometriske oppgaver hvor GeoGebra brukes til å teste hypoteser som utgangspunkt for å bevise noe algebraisk. Et av eksemplene var ganske enkelt standardillustrasjonen av Pytagoras - hvis du ser på trekantene som "ligger mellom" kvadratene, vil du se at de kan se ut til å ha samme areal som trekanten i midten. Det kan man utforske i GeoGebra.

Hals mener at Polya ville ha elsket GeoGebra fordi det er godt egnet til å visualisere matematikken, fordi det er gratis og fordi det er nyttig til å teste hypoteser.

Men er lærere og elever klare for utforskende oppgaver med GeoGebra? Neppe. Hals' egen masteroppgave viser at læreres hovedgrunn til ikke å arbeide med sånt er at det ikke er tilstrekkelig nyttig på eksamen. Men det er likevel viktig å holde på med. En lærer må aldri si at "det bare er sånn", det å finne ut av ting må være en viktig del av undervisningen. Forsking viser dessuten at det å arbeide med problemløsningsstrategier er effektivt for matematikklæring. (Hattie)

Så avsluttet Hals med en kavalkade av vakre matematikkformler til tonene av "It's a wonderful world".

I diskusjonen nevnte Einar Jahr at kalkulator og andre hjelpemidler kan brukes både som krykke og som treningsapparat. Det bør brukes som treningsapparat, men brukes altfor ofte som krykke.

Michael Naylor fra Matematikksenteret "tok tilhørerne med på en fantastisk reise..." for å sitere programmet, med tittelen "Abacaba! Utrolige mønster Utrolige forbindelser". Matematikk er studiet av mønstre, og lar oss forutsi, forbinde og skape ting. Hovedmønsteret som ble analysert på ulike måter var slik: a, aba, abacaba, abacabadabacaba... Hvert nytt ord får du ved å ta to kopier av forrige ord og sette på den neste bokstaven i alfabetet imellom. Analyse av antallet bokstaver i ord nr. n gir et fint mønster - like fint som antall håndtrykk... Siden dette blir eksponensiell vekst får man mange morsomme, store tall å arbeide med.

Han undersøkte (med hjelp av GarageBand) også hva "ordene" ville høres ut som som noter - og det ble riktig pent. Og så kom han inn på fraktaler, og koblet blant annet abacaba til trappefraktalen (og mer avanserte varianter).

Å skrive tallrekka i totallsystemet viser også abakaba-struktur (ved å se på antall nuller på slutten av tallene, når vi ignorerer de som slutter med 1). Han kom også inn på Hanoitårnet, hvor abacaba-mønsteret gir løsningen. Og han forklarte hvordan man kan unngå å gå seg vill på en firedimensjonal kube. Og han viste et valgtredikt.

Informasjon om mye av dette finner man på sida abacaba.org.

Torgeir Onstads tema var "Fotball og matematikk". Han nevnte først en rekke ting han ikke vil snakke om: serie, cup, poenggivning, statistikk (vinner man oftere hjemme enn borte...) og så videre.

Han snakket litt om fotballbanen: man kan arbeide med sentersirkelen, for eksempel. Og størst og minst mulige areal av banen (for lengden og bredden kan variere innen gitte rammer). Symmetrier kan man se på, og også fotballbane som måleenhet for areal. Hvilke plasseringer på sidelinja er best for å få god synsvinkel mot målet? Dette spørsmålet besvarte han ved hjelp av periferivinkelsatsen.

Men hovedtemaet var selve fotballen: den er sydd sammen av regulære polygoner - femkanter og sekskanter. Hvorfor ikke bare én type? Dette benyttet han som en mulighet til å snakke om polyedre, og kom blant annet innom Eulers polyedersetning og regulære polyedre. Han brukte polyedersetningen til å undersøke hvilke andre fotballer vi kunne ha hatt. Han definerte "vinkelgapet" som det som mangler på 360 grader når bitene vi setter sammen ligger flatt. Vinkelgapet på dodekaederet er 36 grader (og på for eksempel tetraderet 180 grader...). Med to sekskanter og en femkant blir vinkelgapet bare 12 grader, og det er derfor mye mindre "spisst" enn mange andre alternativer. Her ble det mye utforskning av hva som er mulige romfigurer.

I alt ble det tre kreative og artige foredrag som viser at matematikk er et artig fag. Så gjelder det å utdanne lærere som mener det samme og i framtida kjemper om Holmboeprisen!