Sommarøya - konferanse for lærerutdannere i matematikk dag 2

Tirsdagen startet med Johan Lithner og "Att lära matematik genom kreativa eller imitativa resonemang". Et utgangspunkt er at vi vet at studentene trenger å møte rike matematiske problemstillinger for å forstå matematiske ideer, men studentene fokuserer på fattig matematikk basert på imitering og pugging. Et eksempel er det han kalte nøkkelordstrategien, som vi gjerne kaller signalord-strategi. ("Hvis det står 'mindre' skal vi subtrahere") Et annet eksempel: "Anne løper 100 meter på 11 sekunder. Hvor fort vil hun løpe 10000 meter." Forskning viser at elevene ikke reflekterer over innholdet, men bare multipliserer med 100. (Torgeir Onstad pekte på begrepet "didaktisk kontrakt" - eleven regner med at når de får et par opplysninger av læreren i matematikktimen, skal de putte de sammen og gi et svar tilbake med strek under.)

Han viste flere eksempler på at elever/studenter leter etter en algoritme som kan ha med oppgaven å gjøre, forsøker algoritmen og så enten godtar svaret eller kaster algoritmen vekk hvis de ikke forstår svaret - og prøver neste algoritme. Valget av algoritme skjer ofte uten matematisk resonnement ut over ytre egenskaper ved oppgaven - for eksempel viste han eksempler hvor elever valgte derivasjonsregel ut fra utseendet av formelen til funksjonen som skulle deriveres, uten å bry seg om funksjonens egenskaper. (En av de skumle tingene med dette er naturligvis at elevene/studentene ofte får riktig svar - og på en prøve/eksamen vil få gode resultater - til tross for at forståelsen er laber.) Man resonnerer heller ikke over svaret - det overlates til fasit. Undersøkelser viser at 70 prosent av oppgavene i lærebøkene kan løses ved imitativt resonnement. De fleste elevene jobber hovedsakelig med disse oppgavene. Det eneste stedet hvor det ikke er så stor andel imitative oppgaver, er i Sverige de nasjonale prøvene.

Det er artig at han brukte prosentregning som eksempel, hvor elevene - gjennom mengdetrening på like oppgaver - lærer at de skal ta det minste tallet og dele på det største og så skrive som prosent. Det er nok denne mekaniske algoritmen studentene har brukt når de på matematikkrådstesten ikke klarer en "enkel" (men tostegs) prosentoppgave.

Lithner viste også til at svensk matematikkundervisning (som den norske) blir mer individualisert. Lærerne har mindre klasseundervisning og det er mer av at elevene sitter og jobber med oppgaver i sitt eget tempo, og læreren går rundt og hjelper - og har dermed svært lite kontakt med hver elev per time. Ofte blir det da bare tid til å gi elevene ledetråder på hvilken algoritme de kan gå videre med, og ikke til å sette seg inn i hva som er elevenes problemer. ("Person-guidet algoritmisk resonnering")

Alt dette kan karakteriseres som "misery research". Hva gjør vi med denne kunnskapen, som for øvrig har sterke fellestrekk med det folk som Stieg Mellin-Olsen påpekte alt i norsk matematikkdidaktikks barndom? For egen del vil jeg vil tro at arbeid med utvikling av egne algoritmer, slik det er mye om på 1-7-utdanningen (og sikkert også 5-10-utdanningen), er nyttig for å øke refleksjonsnivået om algoritmer. Lithner påpekte at algoritmer er utviklet for å "avoid meaning" (Brousseau), noe som ikke er noen fordel når man skal lære matematikk.

Lithner mente at motstykket til det han hadde funnet var Creative Mathematically Founded Reasoning (Lithner 2008): karakterisert av novelty, plausibility, mathematical foundation.

På slutten kom han inn på designforskning og Brousseaus "devolution of problem" - utvikling av læringssituasjoner med problemløsning og teorier om disse. Blant annet viste han små forsøk som viser at mer kreative oppgaver gir bedre læring enn algoritmiske måter. Ikke minst er det overraskende at dette gjelder enda sterkere for de svakeste elevene - skjønt det kanskje ikke er så rart; det kan hende at de noe sterkere elevene selv er i stand til å skape mening også ut av algoritmiske arbeidsmåter?

Utdanningsmøtet på 1-7 klarer jeg ikke å referere, siden jeg også hadde ansvar som ordstyrer. Men jeg husker at det ble mye diskusjon om hvordan vi kan utforske sammen med studentene våre.

Så var det foredrag om "strukturer og mønstre i samisk matematikk" ved lærere ved Kautokeino ungdomsskole. Dette er jo et aktuelt tema, siden grunnskolelærerutdanningene skal gi studentene kompetanse i det samiske. Man kan jo ha en mistanke om at det er litt variabelt fulgt opp, og dette skal visst også være et tema for følgegruppa i år.

Når det gjelder matematikk og det samiske er samiske tall og samiske båndmønstre det første jeg tenker på, og det eneste jeg har brukt noe særlig i min egen undervisning. I dette foredraget ble det også snakket om matematikken i en slede, i ei kofte (belte, søljer etc), i et reingjerde. Elevene har fått i oppgave å finne matematikk i disse samiske fenomenene. På 9. trinn jobbet de med fletting (ruvden), hvor lærerne har jobbet mye med å prøve å finne matematikken i flettinga.

Det er morsomt å høre hvordan lærere på en samisk skole jobber med matematikk knyttet til elevenes kultur - og det kan naturligvis generaliseres til at lærere jobber med utgangspunkt i elevenes kulturbakgrunn uansett hva den er. Men problemstillingen som vi ved HiOA står i er at vi har studenter som ikke ser for seg at de skal undervise elever som selv lever i en samisk kultur. (De har naturligvis samiske elever, men ikke nødvendigvis samiske elever som har noe forhold til kofter eller reinsdrift.) Hva slags kompetanse i det samiske trenger våre studenter og hvordan skal vi gi dem det? Sannsynligvis er det til dels naturlig å ha det med i samme sammenheng som annet hvor det handler om å tilpasse undervisningen til ulike kulturer, og naturligvis er det naturlig å ha med elementer fra historien. Er det rimelig å ha et eget undervisningsopplegg om det samiske som alle studenter skal gjennom, eller bør det forankres og være en naturlig del av det enkelte fag? I det siste tilfellet: hva bør være fellesnevner for å unngå at det blir for tilfeldig? Her er det nok et arbeid å gjøre.

Til slutt holdt Camilla Rodal og jeg en parallellsesjon om vårt FoU-prosjekt om matematikkstudentenes oppfatning av forholdet mellom "teoriundervisning" og praksis. Dette noterte jeg ikke noe fra, skjønt jeg aner hva som ble sagt...